Страница 147, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

37.41 а) Известно, что $f(x) = x^{\frac{1}{4}}$, $g(x) = x^{-2}$. Докажите, что $f(16x^8) = 2(g(x))^{-1}.

б) Известно, что $f(x) = x^{\frac{2}{3}}$, $g(x) = x^{-3}$. Докажите, что $f(27x^9) = 9(g(x))^{-2}.

а)

Даны функции $f(x) = x^{\frac{1}{4}}$ и $g(x) = x^{-2}$. Необходимо доказать тождество $f(16x^8) = 2(g(x))^{-1}$.

Для доказательства преобразуем левую и правую части равенства по отдельности.

Вычислим левую часть: $f(16x^8)$.

Подставим выражение $16x^8$ в функцию $f(x)$: $f(16x^8) = (16x^8)^{\frac{1}{4}}$.

Используем свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$: $(16x^8)^{\frac{1}{4}} = 16^{\frac{1}{4}} \cdot (x^8)^{\frac{1}{4}}$.

Теперь вычислим каждый множитель. $16^{\frac{1}{4}}$ — это корень четвертой степени из 16, что равно 2. Для второго множителя используем свойство $(a^m)^n = a^{mn}$: $(x^8)^{\frac{1}{4}} = x^{8 \cdot \frac{1}{4}} = x^2$.

Таким образом, левая часть равна: $f(16x^8) = 2 \cdot x^2 = 2x^2$.

Вычислим правую часть: $2(g(x))^{-1}$.

Подставим в выражение функцию $g(x) = x^{-2}$: $2(g(x))^{-1} = 2(x^{-2})^{-1}$.

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем: $2(x^{-2})^{-1} = 2 \cdot x^{(-2) \cdot (-1)} = 2 \cdot x^2 = 2x^2$.

Мы получили, что левая часть равна $2x^2$ и правая часть равна $2x^2$. Поскольку обе части тождественно равны, равенство доказано.

Ответ: Преобразование левой части дает $f(16x^8) = (16x^8)^{\frac{1}{4}} = 16^{\frac{1}{4}}(x^8)^{\frac{1}{4}} = 2x^2$. Преобразование правой части дает $2(g(x))^{-1} = 2(x^{-2})^{-1} = 2x^2$. Так как $2x^2 = 2x^2$, тождество верно.

б)

Даны функции $f(x) = x^{\frac{2}{3}}$ и $g(x) = x^{-3}$. Необходимо доказать тождество $f(27x^9) = 9(g(x))^{-2}$.

Для доказательства преобразуем левую и правую части равенства по отдельности.

Вычислим левую часть: $f(27x^9)$.

Подставим выражение $27x^9$ в функцию $f(x)$: $f(27x^9) = (27x^9)^{\frac{2}{3}}$.

Используем свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$: $(27x^9)^{\frac{2}{3}} = 27^{\frac{2}{3}} \cdot (x^9)^{\frac{2}{3}}$.

Теперь вычислим каждый множитель. Используем свойства $a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m$ и $(a^m)^n = a^{mn}$: $27^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9$. $(x^9)^{\frac{2}{3}} = x^{9 \cdot \frac{2}{3}} = x^6$.

Таким образом, левая часть равна: $f(27x^9) = 9 \cdot x^6 = 9x^6$.

Вычислим правую часть: $9(g(x))^{-2}$.

Подставим в выражение функцию $g(x) = x^{-3}$: $9(g(x))^{-2} = 9(x^{-3})^{-2}$.

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем: $9(x^{-3})^{-2} = 9 \cdot x^{(-3) \cdot (-2)} = 9 \cdot x^6 = 9x^6$.

Мы получили, что левая часть равна $9x^6$ и правая часть равна $9x^6$. Поскольку обе части тождественно равны, равенство доказано.

Ответ: Преобразование левой части дает $f(27x^9) = (27x^9)^{\frac{2}{3}} = 27^{\frac{2}{3}}(x^9)^{\frac{2}{3}} = 9x^6$. Преобразование правой части дает $9(g(x))^{-2} = 9(x^{-3})^{-2} = 9x^6$. Так как $9x^6 = 9x^6$, тождество верно.

Постройте график функции:

38.1 а) $y = x^{10}$;

б) $y = x^{-3}$;

в) $y = x^{5}$;

г) $y = x^{-4}$.

а) $y = x^{10}$

Это степенная функция вида $y = x^n$, где показатель $n = 10$ — целое положительное четное число.

1. Область определения: Функция определена для всех действительных чисел $x$, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Четность: Так как показатель степени 10 — четное число, функция является четной. Это означает, что $y(-x) = (-x)^{10} = x^{10} = y(x)$. График функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).
3. Область значений: Поскольку любое число в четной степени неотрицательно, $y \ge 0$. Область значений $E(y) = [0; +\infty)$.
4. Ключевые точки для построения:
   • При $x=0$, $y=0^{10}=0$. График проходит через начало координат $(0, 0)$.
   • При $x=1$, $y=1^{10}=1$. График проходит через точку $(1, 1)$.
   • При $x=-1$, $y=(-1)^{10}=1$. График проходит через точку $(-1, 1)$.
   • При $|x| < 1$, значения $y$ очень малы (например, при $x=0.5$, $y \approx 0.001$). График "прижимается" к оси OX.
   • При $|x| > 1$, значения $y$ очень быстро растут (например, при $x=2$, $y = 1024$). График очень круто уходит вверх.
5. Форма графика: График похож на параболу $y=x^2$, но имеет более плоское "дно" вблизи точки $(0,0)$ и более крутые ветви при $|x|>1$. График целиком лежит в верхней полуплоскости (I и II координатные четверти).

Ответ: График функции — кривая, похожая на параболу, симметричная относительно оси OY. Она проходит через точки $(-1, 1)$, $(0, 0)$ и $(1, 1)$. Ветви графика направлены вверх и расположены в I и II координатных четвертях.

б) $y = x^{-3}$

Эту функцию можно записать в виде $y = \frac{1}{x^3}$. Это степенная функция вида $y=x^n$, где показатель $n = -3$ — целое отрицательное нечетное число.

1. Область определения: Функция не определена, когда знаменатель равен нулю, то есть при $x=0$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
2. Четность: Так как показатель степени -3 — нечетное число, функция является нечетной. Это означает, что $y(-x) = (-x)^{-3} = -\frac{1}{x^3} = -y(x)$. График функции симметричен относительно начала координат.
3. Асимптоты:
   • Прямая $x=0$ (ось OY) является вертикальной асимптотой. При $x \to 0^+$ $y \to +\infty$; при $x \to 0^-$ $y \to -\infty$.
   • Прямая $y=0$ (ось OX) является горизонтальной асимптотой. При $x \to \pm\infty$, $y \to 0$.
4. Ключевые точки для построения:
   • При $x=1$, $y=1^{-3}=1$. График проходит через точку $(1, 1)$.
   • При $x=-1$, $y=(-1)^{-3}=-1$. График проходит через точку $(-1, -1)$.
   • При $x=2$, $y=2^{-3}=\frac{1}{8}$. При $x \to +\infty$, график приближается к оси OX сверху.
   • При $x=-2$, $y=(-2)^{-3}=-\frac{1}{8}$. При $x \to -\infty$, график приближается к оси OX снизу.
5. Форма графика: График представляет собой гиперболу, состоящую из двух ветвей. Одна ветвь расположена в I координатной четверти, а вторая — в III координатной четверти.

Ответ: График функции — гипербола, состоящая из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. Ветви расположены в I и III координатных четвертях и имеют асимптоты $x=0$ и $y=0$. График проходит через точки $(1, 1)$ и $(-1, -1)$.

в) $y = x^5$

Это степенная функция вида $y = x^n$, где показатель $n = 5$ — целое положительное нечетное число.

1. Область определения: Функция определена для всех действительных чисел $x$, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Четность: Так как показатель степени 5 — нечетное число, функция является нечетной. $y(-x) = (-x)^5 = -x^5 = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
3. Область значений: Функция может принимать любые действительные значения. Область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
4. Ключевые точки для построения:
   • При $x=0$, $y=0^5=0$. График проходит через начало координат $(0, 0)$.
   • При $x=1$, $y=1^5=1$. График проходит через точку $(1, 1)$.
   • При $x=-1$, $y=(-1)^5=-1$. График проходит через точку $(-1, -1)$.
   • При $0 < x < 1$, $0 < y < x$. При $-1 < x < 0$, $x < y < 0$. График "прижимается" к оси OX в окрестности нуля.
   • При $x > 1$, $y$ быстро растет; при $x < -1$, $y$ быстро убывает.
5. Форма графика: График похож на график кубической параболы $y=x^3$. Это S-образная кривая, проходящая через начало координат, расположенная в I и III координатных четвертях.

Ответ: График функции — кривая, симметричная относительно начала координат (S-образная форма). Она проходит через точки $(-1, -1)$, $(0, 0)$ и $(1, 1)$, и расположена в I и III координатных четвертях.

г) $y = x^{-4}$

Эту функцию можно записать в виде $y = \frac{1}{x^4}$. Это степенная функция вида $y=x^n$, где показатель $n = -4$ — целое отрицательное четное число.

1. Область определения: Функция не определена при $x=0$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
2. Четность: Так как показатель степени -4 — четное число, функция является четной. $y(-x) = (-x)^{-4} = \frac{1}{(-x)^4} = \frac{1}{x^4} = y(x)$. График симметричен относительно оси ординат (оси OY).
3. Область значений: Так как $x^4 > 0$ для всех $x \neq 0$, то и $y = \frac{1}{x^4} > 0$. Область значений $E(y) = (0; +\infty)$.
4. Асимптоты:
   • Прямая $x=0$ (ось OY) является вертикальной асимптотой. При $x \to 0$ с обеих сторон, $y \to +\infty$.
   • Прямая $y=0$ (ось OX) является горизонтальной асимптотой. При $x \to \pm\infty$, $y \to 0$ (сверху).
5. Ключевые точки для построения:
   • При $x=1$, $y=1^{-4}=1$. График проходит через точку $(1, 1)$.
   • При $x=-1$, $y=(-1)^{-4}=1$. График проходит через точку $(-1, 1)$.
6. Форма графика: График состоит из двух ветвей, расположенных в I и II координатных четвертях (над осью OX). Ветви симметричны относительно оси OY.

Ответ: График функции состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси OY. Ветви расположены в I и II координатных четвертях и имеют асимптоты $x=0$ и $y=0$. График проходит через точки $(1, 1)$ и $(-1, 1)$.

38.5 Известно, что $f(x) = x^{-\frac{2}{3}}$. Вычислите:

а) $f(1)$;

б) $f(8)$;

в) $f\left(\frac{1}{8}\right)$;

г) $f(0)$.

а) Для того чтобы вычислить $f(1)$, необходимо подставить значение $x=1$ в исходную функцию $f(x) = x^{-\frac{2}{3}}$.

$f(1) = 1^{-\frac{2}{3}}$

Поскольку число 1 в любой степени равно 1, то:

$f(1) = 1$

Ответ: 1

б) Для того чтобы вычислить $f(8)$, подставим значение $x=8$ в функцию:

$f(8) = 8^{-\frac{2}{3}}$

Используем свойство степеней $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и $a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m$:

$f(8) = \frac{1}{8^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{(\sqrt[3]{8})^2}$

Так как кубический корень из 8 равен 2 ($\sqrt[3]{8}=2$), получаем:

$f(8) = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$

в) Для того чтобы вычислить $f(\frac{1}{8})$, подставим значение $x=\frac{1}{8}$ в функцию:

$f(\frac{1}{8}) = (\frac{1}{8})^{-\frac{2}{3}}$

Используем свойство степени $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:

$(\frac{1}{8})^{-\frac{2}{3}} = (8)^{\frac{2}{3}}$

Это выражение было вычислено в предыдущем пункте:

$8^{\frac{2}{3}} = 4$

Таким образом:

$f(\frac{1}{8}) = 4$

Ответ: 4

г) Для того чтобы вычислить $f(0)$, подставим значение $x=0$ в функцию:

$f(0) = 0^{-\frac{2}{3}}$

Преобразуем выражение, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$f(0) = \frac{1}{0^{\frac{2}{3}}}$

Знаменатель $0^{\frac{2}{3}}$ равен $(\sqrt[3]{0})^2 = 0^2 = 0$. В результате мы получаем деление на ноль: $\frac{1}{0}$.

Данная операция не определена в математике, следовательно, функция $f(x)$ не определена в точке $x=0$.

Ответ: Значение функции в точке $x=0$ не определено.

38.2 a) $y = x^{\frac{3}{2}};

б) $y = x^{\frac{1}{4}};

в) $y = x^{-\frac{1}{2}};

г) $y = x^{\frac{5}{4}}.$

Для решения всех пунктов используется формула производной степенной функции: $(x^p)' = p \cdot x^{p-1}$.

а)

Дана функция $y = x^{\frac{3}{2}}$.

В этом случае показатель степени $p = \frac{3}{2}$.

Находим производную, применяя формулу:

$y' = (x^{\frac{3}{2}})' = \frac{3}{2} \cdot x^{\frac{3}{2} - 1} = \frac{3}{2} \cdot x^{\frac{3-2}{2}} = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}$.

Ответ: $y' = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}$.

б)

Дана функция $y = x^{\frac{1}{4}}$.

Здесь показатель степени $p = \frac{1}{4}$.

Находим производную:

$y' = (x^{\frac{1}{4}})' = \frac{1}{4} \cdot x^{\frac{1}{4} - 1} = \frac{1}{4} \cdot x^{\frac{1-4}{4}} = \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}}$.

в)

Дана функция $y = x^{-\frac{1}{2}}$.

Показатель степени в данном случае $p = -\frac{1}{2}$.

Вычисляем производную:

$y' = (x^{-\frac{1}{2}})' = -\frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2} - 1} = -\frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1+2}{2}} = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}$.

Ответ: $y' = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}$.

г)

Дана функция $y = x^{\frac{5}{4}}$.

Здесь показатель степени $p = \frac{5}{4}$.

Находим производную по формуле:

$y' = (x^{\frac{5}{4}})' = \frac{5}{4} \cdot x^{\frac{5}{4} - 1} = \frac{5}{4} \cdot x^{\frac{5-4}{4}} = \frac{5}{4}x^{\frac{1}{4}}$.

Ответ: $y' = \frac{5}{4}x^{\frac{1}{4}}$.

38.6 Исследуйте степенную функцию на чётность:

a) $y = x^{10}$

б) $y = x^{-\frac{1}{3}}$

в) $y = x^{-15}$

г) $y = x^{\frac{4}{3}}$

а) $y = x^{10}$

1. Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как это степенная функция с целым положительным показателем. Область определения является симметричной относительно начала координат.

2. Проверим выполнение условия чётности/нечётности. Найдем $y(-x)$:

$y(-x) = (-x)^{10}$. Поскольку показатель степени 10 — чётное число, то $(-x)^{10} = x^{10}$.

Следовательно, $y(-x) = x^{10} = y(x)$.

Так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = y(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная.

б) $y = x^{-\frac{1}{3}}$

Представим функцию в виде $y = \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$.

1. Область определения функции: $x$ может быть любым действительным числом, кроме нуля (так как на ноль делить нельзя). Таким образом, $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область определения симметрична относительно начала координат.

2. Проверим выполнение условия чётности/нечётности. Найдем $y(-x)$:

$y(-x) = (-x)^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{-x}}$. Поскольку корень нечётной степени из отрицательного числа равен корню из противоположного положительного числа, взятому со знаком минус, то $\sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x}$.

Следовательно, $y(-x) = \frac{1}{-\sqrt[3]{x}} = -\frac{1}{\sqrt[3]{x}} = -y(x)$.

Так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = -y(x)$, функция является нечётной.

Ответ: нечётная.

в) $y = x^{-15}$

Представим функцию в виде $y = \frac{1}{x^{15}}$.

1. Область определения функции: $x$ может быть любым действительным числом, кроме нуля (так как знаменатель $x^{15}$ обращается в ноль при $x=0$). Таким образом, $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область определения симметрична относительно начала координат.

2. Проверим выполнение условия чётности/нечётности. Найдем $y(-x)$:

$y(-x) = (-x)^{-15} = \frac{1}{(-x)^{15}}$. Поскольку показатель степени 15 — нечётное число, то $(-x)^{15} = -x^{15}$.

Следовательно, $y(-x) = \frac{1}{-x^{15}} = -\frac{1}{x^{15}} = -y(x)$.

Так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = -y(x)$, функция является нечётной.

Ответ: нечётная.

г) $y = x^{\frac{4}{3}}$

Представим функцию в виде $y = \sqrt[3]{x^4}$.

1. Область определения функции: корень нечётной степени (кубический) извлекается из любого действительного числа. Выражение $x^4$ определено для всех $x \in \mathbb{R}$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Эта область определения симметрична относительно начала координат.

2. Проверим выполнение условия чётности/нечётности. Найдем $y(-x)$:

$y(-x) = (-x)^{\frac{4}{3}} = \sqrt[3]{(-x)^4}$. Поскольку показатель степени 4 — чётное число, то $(-x)^4 = x^4$.

Следовательно, $y(-x) = \sqrt[3]{x^4} = y(x)$.

Так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = y(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная.

38.3 Постройте и сравните графики функций:

a) $y = \sqrt[3]{x}$ и $y = x^{\frac{1}{3}};

б) $y = \sqrt[4]{x}$ и $y = x^{\frac{1}{4}}.

а)

Рассмотрим функции $y = \sqrt[3]{x}$ и $y = x^{\frac{1}{3}}$.

По определению степенной функции с рациональным показателем, если показатель $p = \frac{m}{n}$, где $n$ — нечетное натуральное число, то функция $y=x^p$ определена для всех действительных чисел $x$. При этом для любого $x \in \mathbb{R}$ выполняется равенство $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}$.

В нашем случае показатель равен $\frac{1}{3}$, знаменатель 3 — нечетное число. Следовательно, функция $y = x^{\frac{1}{3}}$ определена для всех действительных $x$, и для всех $x$ справедливо $x^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x}$.

Таким образом, функции $y = \sqrt[3]{x}$ и $y = x^{\frac{1}{3}}$ являются тождественно равными, а их графики полностью совпадают.

Для построения графика исследуем свойства функции $y = \sqrt[3]{x}$:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Функция является нечетной, так как $y(-x) = \sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x} = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
• Функция возрастает на всей области определения.
• График проходит через точки $(-8, -2), (-1, -1), (0, 0), (1, 1), (8, 2)$.

График функции $y = \sqrt[3]{x}$ (и, соответственно, $y = x^{\frac{1}{3}}$) представляет собой кривую, симметричную относительно начала координат, которая является зеркальным отражением графика кубической параболы $y=x^3$ относительно прямой $y=x$.

Сравнение: Функции $y = \sqrt[3]{x}$ и $y = x^{\frac{1}{3}}$ тождественно равны на всей числовой оси. Их графики — это одна и та же линия.

Ответ: Графики функций $y = \sqrt[3]{x}$ и $y = x^{\frac{1}{3}}$ совпадают, так как по определению степенной функции с нечетным знаменателем в показателе $x^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x}$ для всех действительных чисел $x$.

б)

Рассмотрим функции $y = \sqrt[4]{x}$ и $y = x^{\frac{1}{4}}$.

Функция $y = \sqrt[4]{x}$ (арифметический корень четвертой степени) по определению задана только для неотрицательных значений аргумента, то есть ее область определения $D(y) = [0; +\infty)$.

По определению степенной функции с рациональным показателем $p = \frac{m}{n}$, если знаменатель $n$ — четное натуральное число, то функция $y=x^p$ определена только для $x \ge 0$.

В нашем случае показатель равен $\frac{1}{4}$, знаменатель 4 — четное число. Следовательно, функция $y = x^{\frac{1}{4}}$ также определена только для $x \ge 0$. На этой области определения справедливо равенство $x^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{x}$.

Таким образом, функции $y = \sqrt[4]{x}$ и $y = x^{\frac{1}{4}}$ являются тождественно равными на их общей области определения $x \ge 0$, и их графики полностью совпадают.

Для построения графика исследуем свойства функции $y = \sqrt[4]{x}$:

• Область определения: $D(y) = [0; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
• Функция не является ни четной, ни нечетной, так как область определения несимметрична относительно нуля.
• Функция возрастает на всей области определения.
• График проходит через точки $(0, 0), (1, 1), (16, 2)$.

График функции $y = \sqrt[4]{x}$ (и, соответственно, $y = x^{\frac{1}{4}}$) — это ветвь кривой, выходящая из начала координат и расположенная в первой координатной четверти. Он является зеркальным отражением графика функции $y=x^4$ (при $x \ge 0$) относительно прямой $y=x$.

Сравнение: Функции $y = \sqrt[4]{x}$ и $y = x^{\frac{1}{4}}$ имеют одинаковую область определения $[0; +\infty)$ и на этой области их значения совпадают. Следовательно, их графики идентичны.

Ответ: Графики функций $y = \sqrt[4]{x}$ и $y = x^{\frac{1}{4}}$ совпадают. Обе функции определены для $x \ge 0$, и на этой области по определению $x^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{x}$.

38.7 Исследуйте степенную функцию на ограниченность:

а) $y = x^8$;

б) $y = x^{-\frac{3}{4}}$;

в) $y = x^{-5}$;

г) $y = x^{\frac{2}{5}}$.

а) Функция $y = x^8$. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Поскольку показатель степени 8 является четным числом, для любого действительного $x$ значение $x^8$ будет неотрицательным, то есть $y = x^8 \ge 0$. Наименьшее значение функции равно 0 (при $x=0$). Таким образом, функция ограничена снизу числом 0. При $x \to \pm\infty$, значение $y = x^8$ неограниченно возрастает ($y \to +\infty$), следовательно, функция не ограничена сверху.
Ответ: функция ограничена снизу и не ограничена сверху.

б) Функция $y = x^{-\frac{3}{4}}$ может быть записана как $y = \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} = \frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}$. Область определения этой функции определяется двумя условиями: выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным ($x^3 \ge 0$, что эквивалентно $x \ge 0$) и знаменатель не должен быть равен нулю ($x \ne 0$). Таким образом, область определения $D(y) = (0; +\infty)$. На этой области $x > 0$, следовательно $x^3 > 0$, $\sqrt[4]{x^3} > 0$, и $y = \frac{1}{\sqrt[4]{x^3}} > 0$. Это означает, что функция ограничена снизу (например, числом 0). При $x \to 0^+$, знаменатель $\sqrt[4]{x^3} \to 0^+$, а значение функции $y \to +\infty$. Следовательно, функция не ограничена сверху.
Ответ: функция ограничена снизу и не ограничена сверху.

в) Функция $y = x^{-5}$ может быть записана как $y = \frac{1}{x^5}$. Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=0$, так как знаменатель не может быть равен нулю: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Исследуем поведение функции. При $x$, стремящемся к 0 справа ($x \to 0^+$), $x^5 \to 0^+$, и $y \to +\infty$. Это значит, что функция не ограничена сверху. При $x$, стремящемся к 0 слева ($x \to 0^-$), $x^5 \to 0^-$, и $y \to -\infty$. Это значит, что функция не ограничена снизу.
Ответ: функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

г) Функция $y = x^{\frac{2}{5}}$ может быть записана как $y = \sqrt[5]{x^2}$. Поскольку корень пятой степени (нечетной) определен для любого действительного числа, а выражение $x^2$ определено для всех $x$, область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то и $y = \sqrt[5]{x^2} \ge 0$. Наименьшее значение функции равно 0 и достигается при $x=0$. Таким образом, функция ограничена снизу числом 0. При $x \to \pm\infty$, значение $x^2 \to +\infty$, и $y = \sqrt[5]{x^2}$ неограниченно возрастает ($y \to +\infty$). Следовательно, функция не ограничена сверху.
Ответ: функция ограничена снизу и не ограничена сверху.

38.4 Известно, что $f(x) = x^{\frac{5}{2}}$. Вычислите:

а) $f(4)$;

б) $f\left(\frac{1}{9}\right)$;

в) $f(0)$;

г) $f(0,01)$.

а) Для вычисления $f(4)$ подставим значение $x=4$ в заданную функцию $f(x) = x^{\frac{5}{2}}$.
$f(4) = 4^{\frac{5}{2}}$
Используя свойство степеней $a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m$, преобразуем выражение. В данном случае $n=2$ (квадратный корень) и $m=5$.
$4^{\frac{5}{2}} = (\sqrt{4})^5$
Так как $\sqrt{4} = 2$, то получаем:
$f(4) = 2^5 = 32$
Ответ: $32$

б) Для вычисления $f(\frac{1}{9})$ подставим $x=\frac{1}{9}$ в выражение для функции.
$f(\frac{1}{9}) = (\frac{1}{9})^{\frac{5}{2}}$
Применяя то же свойство степени, что и в предыдущем пункте, получаем:
$(\frac{1}{9})^{\frac{5}{2}} = (\sqrt{\frac{1}{9}})^5$
Корень из дроби $\sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$. Тогда:
$f(\frac{1}{9}) = (\frac{1}{3})^5 = \frac{1^5}{3^5} = \frac{1}{243}$
Ответ: $\frac{1}{243}$

в) Для вычисления $f(0)$ подставим $x=0$ в выражение для функции.
$f(0) = 0^{\frac{5}{2}}$
Ноль в любой положительной степени равен нулю. Поскольку показатель степени $\frac{5}{2}$ является положительным числом, то:
$f(0) = 0$
Ответ: $0$

г) Для вычисления $f(0,01)$ подставим $x=0,01$ в выражение для функции.
$f(0,01) = (0,01)^{\frac{5}{2}}$
Для удобства вычислений представим основание степени $0,01$ как $(0,1)^2$.
$f(0,01) = ((0,1)^2)^{\frac{5}{2}}$
Теперь воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^p)^q = a^{pq}$:
$((0,1)^2)^{\frac{5}{2}} = (0,1)^{2 \cdot \frac{5}{2}} = (0,1)^5$
Вычисляем полученное значение:
$(0,1)^5 = 0,00001$
Ответ: $0,00001$