Страница 140, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

36.21 а) $\sqrt[5]{2\sqrt[3]{2\sqrt{2}}}$;

б) $\sqrt[4]{\frac{4}{3}\sqrt[3]{\frac{3}{4}\sqrt{\frac{4}{3}}}}$;

В) $\sqrt[3]{\frac{2}{3}\sqrt[3]{\frac{3}{2}\sqrt{\frac{2}{3}}}}$;

Г) $\sqrt{3\sqrt[4]{3\sqrt[3]{3}}}$.

а) Упростим выражение $\sqrt[5]{2\sqrt[3]{2\sqrt{2}}}$, последовательно внося множители под знаки корней, двигаясь от самого внутреннего корня к внешнему. Для этого будем использовать свойства $a\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a^n b}$ и $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$.
1. Внесем множитель 2 под самый внутренний (квадратный) корень: $2\sqrt{2} = \sqrt{2^2 \cdot 2} = \sqrt{2^3}$.
2. Выражение примет вид: $\sqrt[5]{2\sqrt[3]{\sqrt{2^3}}}$.
3. Объединим внутренние корни: $\sqrt[3]{\sqrt{2^3}} = \sqrt[3 \cdot 2]{2^3} = \sqrt[6]{2^3}$.
4. Выражение станет таким: $\sqrt[5]{2\sqrt[6]{2^3}}$.
5. Теперь внесем множитель 2 под корень шестой степени: $2\sqrt[6]{2^3} = \sqrt[6]{2^6 \cdot 2^3} = \sqrt[6]{2^9}$.
6. Выражение примет вид: $\sqrt[5]{\sqrt[6]{2^9}}$.
7. Объединим оставшиеся корни: $\sqrt[5]{\sqrt[6]{2^9}} = \sqrt[5 \cdot 6]{2^9} = \sqrt[30]{2^9}$.
8. Сократим показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их общий делитель 3: $\sqrt[30/3]{2^{9/3}} = \sqrt[10]{2^3} = \sqrt[10]{8}$.
Ответ: $\sqrt[10]{8}$

б) Упростим выражение $\sqrt[4]{\frac{4}{3}\sqrt[3]{\frac{3}{4}\sqrt{\frac{4}{3}}}}$.
1. Внесем внутренний множитель $\frac{3}{4}$ под квадратный корень: $\frac{3}{4}\sqrt{\frac{4}{3}} = \sqrt{(\frac{3}{4})^2 \cdot \frac{4}{3}} = \sqrt{\frac{9}{16} \cdot \frac{4}{3}} = \sqrt{\frac{3}{4}}$.
2. Выражение примет вид: $\sqrt[4]{\frac{4}{3}\sqrt[3]{\sqrt{\frac{3}{4}}}}$.
3. Объединим внутренние корни: $\sqrt[3]{\sqrt{\frac{3}{4}}} = \sqrt[3 \cdot 2]{\frac{3}{4}} = \sqrt[6]{\frac{3}{4}}$.
4. Выражение станет таким: $\sqrt[4]{\frac{4}{3}\sqrt[6]{\frac{3}{4}}}$.
5. Внесем множитель $\frac{4}{3}$ под корень шестой степени: $\frac{4}{3}\sqrt[6]{\frac{3}{4}} = \sqrt[6]{(\frac{4}{3})^6 \cdot \frac{3}{4}} = \sqrt[6]{\frac{4^6}{3^6} \cdot \frac{3}{4}} = \sqrt[6]{\frac{4^5}{3^5}} = \sqrt[6]{(\frac{4}{3})^5}$.
6. Теперь выражение выглядит так: $\sqrt[4]{\sqrt[6]{(\frac{4}{3})^5}}$.
7. Объединим внешние корни: $\sqrt[4]{\sqrt[6]{(\frac{4}{3})^5}} = \sqrt[4 \cdot 6]{(\frac{4}{3})^5} = \sqrt[24]{(\frac{4}{3})^5}$.
Ответ: $\sqrt[24]{(\frac{4}{3})^5}$

в) Упростим выражение $\sqrt[3]{\frac{2}{3}\sqrt[3]{\frac{3}{2}\sqrt{\frac{2}{3}}}}$.
1. Внесем внутренний множитель $\frac{3}{2}$ под квадратный корень: $\frac{3}{2}\sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{9}{4} \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$.
2. Выражение примет вид: $\sqrt[3]{\frac{2}{3}\sqrt[3]{\sqrt{\frac{3}{2}}}}$.
3. Объединим внутренние корни: $\sqrt[3]{\sqrt{\frac{3}{2}}} = \sqrt[3 \cdot 2]{\frac{3}{2}} = \sqrt[6]{\frac{3}{2}}$.
4. Выражение станет таким: $\sqrt[3]{\frac{2}{3}\sqrt[6]{\frac{3}{2}}}$.
5. Внесем множитель $\frac{2}{3}$ под корень шестой степени: $\frac{2}{3}\sqrt[6]{\frac{3}{2}} = \sqrt[6]{(\frac{2}{3})^6 \cdot \frac{3}{2}} = \sqrt[6]{\frac{2^6}{3^6} \cdot \frac{3}{2}} = \sqrt[6]{\frac{2^5}{3^5}} = \sqrt[6]{(\frac{2}{3})^5}$.
6. Теперь выражение выглядит так: $\sqrt[3]{\sqrt[6]{(\frac{2}{3})^5}}$.
7. Объединим внешние корни: $\sqrt[3]{\sqrt[6]{(\frac{2}{3})^5}} = \sqrt[3 \cdot 6]{(\frac{2}{3})^5} = \sqrt[18]{(\frac{2}{3})^5}$.
Ответ: $\sqrt[18]{(\frac{2}{3})^5}$

г) Упростим выражение $\sqrt{3\sqrt[4]{3\sqrt[3]{3}}}$. Внешний корень является квадратным, то есть его показатель равен 2.
1. Внесем внутренний множитель 3 под кубический корень: $3\sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^4}$.
2. Выражение примет вид: $\sqrt{3\sqrt[4]{\sqrt[3]{3^4}}}$.
3. Объединим внутренние корни: $\sqrt[4]{\sqrt[3]{3^4}} = \sqrt[4 \cdot 3]{3^4} = \sqrt[12]{3^4}$.
4. Выражение станет таким: $\sqrt{3\sqrt[12]{3^4}}$.
5. Внесем множитель 3 под корень двенадцатой степени: $3\sqrt[12]{3^4} = \sqrt[12]{3^{12} \cdot 3^4} = \sqrt[12]{3^{16}}$.
6. Теперь выражение выглядит так: $\sqrt{\sqrt[12]{3^{16}}}$.
7. Объединим внешние корни: $\sqrt[2]{\sqrt[12]{3^{16}}} = \sqrt[2 \cdot 12]{3^{16}} = \sqrt[24]{3^{16}}$.
8. Сократим показатель корня и степень подкоренного выражения на их наибольший общий делитель, равный 8: $\sqrt[24/8]{3^{16/8}} = \sqrt[3]{3^2} = \sqrt[3]{9}$.
Ответ: $\sqrt[3]{9}$

Выполните действия:

36.25 a) $(1 + \sqrt{a})(1 + \sqrt[4]{a})(1 - \sqrt[4]{a});$

б) $(\sqrt{m} + \sqrt{n})(\sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n})(\sqrt[4]{m} + \sqrt[4]{n}).$

а) $(1 + \sqrt{a})(1 + \sqrt[4]{a})(1 - \sqrt[4]{a})$

Для решения данного примера воспользуемся формулой разности квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

1. Сначала сгруппируем и умножим последние две скобки: $(1 + \sqrt[4]{a})(1 - \sqrt[4]{a})$.
Применяя формулу разности квадратов, где $x=1$ и $y=\sqrt[4]{a}$, получаем:
$(1 + \sqrt[4]{a})(1 - \sqrt[4]{a}) = 1^2 - (\sqrt[4]{a})^2 = 1 - a^{\frac{2}{4}} = 1 - a^{\frac{1}{2}} = 1 - \sqrt{a}$.

2. Теперь подставим полученное выражение в исходное:
$(1 + \sqrt{a})(1 - \sqrt{a})$.

3. Снова применяем формулу разности квадратов, где $x=1$ и $y=\sqrt{a}$:
$(1 + \sqrt{a})(1 - \sqrt{a}) = 1^2 - (\sqrt{a})^2 = 1 - a$.

Ответ: $1 - a$.

б) $(\sqrt{m} + \sqrt{n})(\sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n})(\sqrt[4]{m} + \sqrt[4]{n})$

Решение этого примера аналогично предыдущему и также основано на формуле разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

1. Сначала сгруппируем и умножим последние две скобки: $(\sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n})(\sqrt[4]{m} + \sqrt[4]{n})$.
Применяя формулу, где $x=\sqrt[4]{m}$ и $y=\sqrt[4]{n}$, получаем:
$(\sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n})(\sqrt[4]{m} + \sqrt[4]{n}) = (\sqrt[4]{m})^2 - (\sqrt[4]{n})^2 = m^{\frac{2}{4}} - n^{\frac{2}{4}} = m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}} = \sqrt{m} - \sqrt{n}$.

2. Теперь подставим полученное выражение в исходное:
$(\sqrt{m} + \sqrt{n})(\sqrt{m} - \sqrt{n})$.

3. Снова применяем формулу разности квадратов, где $x=\sqrt{m}$ и $y=\sqrt{n}$:
$(\sqrt{m} + \sqrt{n})(\sqrt{m} - \sqrt{n}) = (\sqrt{m})^2 - (\sqrt{n})^2 = m - n$.

Ответ: $m - n$.

36.22 Сравните числа:

а) $-\sqrt[5]{2\sqrt[4]{10}}$ и $-\sqrt[4]{\sqrt[5]{99}};

б) $\sqrt{2\sqrt[3]{3}}$ и $\sqrt[3]{5};

в) $\sqrt[4]{3}$ и $\sqrt[8]{6\sqrt{2}};

г) $-\sqrt{2\sqrt[3]{6}}$ и $-\sqrt[3]{5\sqrt{2}}.

а) Сравним числа $-\sqrt[5]{2\sqrt[4]{10}}$ и $-\sqrt[4]{5\sqrt[5]{99}}$.

Оба числа отрицательные. Чтобы их сравнить, сначала сравним их модули: $\sqrt[5]{2\sqrt[4]{10}}$ и $\sqrt[4]{5\sqrt[5]{99}}$. Для этого приведем оба выражения к корню одинаковой степени.

Преобразуем первое выражение:

$\sqrt[5]{2\sqrt[4]{10}} = \sqrt[5]{\sqrt[4]{2^4 \cdot 10}} = \sqrt[5]{\sqrt[4]{16 \cdot 10}} = \sqrt[5 \cdot 4]{160} = \sqrt[20]{160}$.

Преобразуем второе выражение:

$\sqrt[4]{5\sqrt[5]{99}} = \sqrt[4]{\sqrt[5]{5^5 \cdot 99}} = \sqrt[4]{\sqrt[5]{3125 \cdot 99}} = \sqrt[4 \cdot 5]{309375} = \sqrt[20]{309375}$.

Теперь сравним подкоренные выражения: $160$ и $309375$.

Так как $160 < 309375$, то $\sqrt[20]{160} < \sqrt[20]{309375}$.

Это означает, что $|\-\sqrt[5]{2\sqrt[4]{10}}| < |-\sqrt[4]{5\sqrt[5]{99}}|$.

При сравнении отрицательных чисел, большим является то, модуль которого меньше. Следовательно, $-\sqrt[5]{2\sqrt[4]{10}} > -\sqrt[4]{5\sqrt[5]{99}}$.

Ответ: $-\sqrt[5]{2\sqrt[4]{10}} > -\sqrt[4]{5\sqrt[5]{99}}$.

б) Сравним числа $\sqrt{2\sqrt[3]{3}}$ и $\sqrt[3]{5}$.

Приведем оба положительных числа к корню одинаковой степени, в данном случае к корню 6-й степени.

Преобразуем первое число:

$\sqrt{2\sqrt[3]{3}} = \sqrt{\sqrt[3]{2^3 \cdot 3}} = \sqrt{\sqrt[3]{8 \cdot 3}} = \sqrt[2 \cdot 3]{24} = \sqrt[6]{24}$.

Преобразуем второе число:

$\sqrt[3]{5} = \sqrt[3 \cdot 2]{5^2} = \sqrt[6]{25}$.

Теперь сравним подкоренные выражения: $24$ и $25$.

Так как $24 < 25$, то $\sqrt[6]{24} < \sqrt[6]{25}$.

Следовательно, $\sqrt{2\sqrt[3]{3}} < \sqrt[3]{5}$.

Ответ: $\sqrt{2\sqrt[3]{3}} < \sqrt[3]{5}$.

в) Сравним числа $\sqrt[4]{3}$ и $\sqrt[8]{6\sqrt{2}}$.

Приведем оба положительных числа к корню одинаковой степени. Наименьший общий показатель корней будет $16$.

Преобразуем первое число:

$\sqrt[4]{3} = \sqrt[4 \cdot 4]{3^4} = \sqrt[16]{81}$.

Преобразуем второе число:

$\sqrt[8]{6\sqrt{2}} = \sqrt[8]{\sqrt{6^2 \cdot 2}} = \sqrt[8]{\sqrt{36 \cdot 2}} = \sqrt[8 \cdot 2]{72} = \sqrt[16]{72}$.

Теперь сравним подкоренные выражения: $81$ и $72$.

Так как $81 > 72$, то $\sqrt[16]{81} > \sqrt[16]{72}$.

Следовательно, $\sqrt[4]{3} > \sqrt[8]{6\sqrt{2}}$.

Ответ: $\sqrt[4]{3} > \sqrt[8]{6\sqrt{2}}$.

г) Сравним числа $-\sqrt{2\sqrt[3]{6}}$ и $-\sqrt[3]{5\sqrt{2}}$.

Оба числа отрицательные. Сравним их модули, приведя выражения к корню 6-й степени.

Найдем модуль первого числа:

$|\-\sqrt{2\sqrt[3]{6}}| = \sqrt{2\sqrt[3]{6}} = \sqrt{\sqrt[3]{2^3 \cdot 6}} = \sqrt{\sqrt[3]{8 \cdot 6}} = \sqrt[6]{48}$.

Найдем модуль второго числа:

$|\-\sqrt[3]{5\sqrt{2}}| = \sqrt[3]{5\sqrt{2}} = \sqrt[3]{\sqrt{5^2 \cdot 2}} = \sqrt[3]{\sqrt{25 \cdot 2}} = \sqrt[6]{50}$.

Теперь сравним модули: $\sqrt[6]{48}$ и $\sqrt[6]{50}$.

Так как $48 < 50$, то $\sqrt[6]{48} < \sqrt[6]{50}$.

Это означает, что $|\-\sqrt{2\sqrt[3]{6}}| < |-\sqrt[3]{5\sqrt{2}}|$.

При сравнении отрицательных чисел, большим является то, модуль которого меньше.

Следовательно, $-\sqrt{2\sqrt[3]{6}} > -\sqrt[3]{5\sqrt{2}}$.

Ответ: $-\sqrt{2\sqrt[3]{6}} > -\sqrt[3]{5\sqrt{2}}$.

36.26 a) $(\sqrt[3]{9a^2x} - 2\sqrt[3]{3abx} + \sqrt[3]{b^2x}) : (\sqrt[3]{3a} - \sqrt[3]{b});

б) $(\sqrt[3]{16x^2} - \sqrt[3]{25y^2}) : (\sqrt[3]{4x} - \sqrt[3]{5y}).

Рассмотрим выражение $(\sqrt[3]{9a^2x} - 2\sqrt[3]{3abx} + \sqrt[3]{b^2x}) : (\sqrt[3]{3a} - \sqrt[3]{b})$.

Сначала преобразуем делимое. Вынесем общий множитель $\sqrt[3]{x}$ за скобки:

$\sqrt[3]{9a^2x} - 2\sqrt[3]{3abx} + \sqrt[3]{b^2x} = \sqrt[3]{x}(\sqrt[3]{9a^2} - 2\sqrt[3]{3ab} + \sqrt[3]{b^2})$

Теперь рассмотрим выражение в скобках: $\sqrt[3]{9a^2} - 2\sqrt[3]{3ab} + \sqrt[3]{b^2}$.

Заметим, что $\sqrt[3]{9a^2} = \sqrt[3]{(3a)^2} = (\sqrt[3]{3a})^2$ и $\sqrt[3]{b^2} = (\sqrt[3]{b})^2$.

Также, $2\sqrt[3]{3ab} = 2\sqrt[3]{3a}\sqrt[3]{b}$.

Таким образом, выражение в скобках представляет собой квадрат разности. Пусть $u = \sqrt[3]{3a}$ и $v = \sqrt[3]{b}$. Тогда выражение принимает вид $u^2 - 2uv + v^2 = (u-v)^2$.

Подставляя обратно, получаем:

$\sqrt[3]{9a^2} - 2\sqrt[3]{3ab} + \sqrt[3]{b^2} = (\sqrt[3]{3a} - \sqrt[3]{b})^2$

Следовательно, все делимое равно:

$\sqrt[3]{x}(\sqrt[3]{3a} - \sqrt[3]{b})^2$

Теперь выполним деление:

$\frac{\sqrt[3]{x}(\sqrt[3]{3a} - \sqrt[3]{b})^2}{\sqrt[3]{3a} - \sqrt[3]{b}}$

Сокращая на общий множитель $(\sqrt[3]{3a} - \sqrt[3]{b})$, при условии, что он не равен нулю (т.е. $3a \neq b$), получаем:

$\sqrt[3]{x}(\sqrt[3]{3a} - \sqrt[3]{b})$

Ответ: $\sqrt[3]{x}(\sqrt[3]{3a} - \sqrt[3]{b})$.

Рассмотрим выражение $(\sqrt[3]{16x^2} - \sqrt[3]{25y^2}) : (\sqrt[3]{4x} - \sqrt[3]{5y})$.

Преобразуем делимое, используя свойства корней:

$\sqrt[3]{16x^2} = \sqrt[3]{(4x)^2} = (\sqrt[3]{4x})^2$

$\sqrt[3]{25y^2} = \sqrt[3]{(5y)^2} = (\sqrt[3]{5y})^2$

Таким образом, делимое можно представить в виде разности квадратов:

$(\sqrt[3]{4x})^2 - (\sqrt[3]{5y})^2$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = \sqrt[3]{4x}$ и $b = \sqrt[3]{5y}$:

$(\sqrt[3]{4x})^2 - (\sqrt[3]{5y})^2 = (\sqrt[3]{4x} - \sqrt[3]{5y})(\sqrt[3]{4x} + \sqrt[3]{5y})$

Теперь выполним деление всего выражения:

$\frac{(\sqrt[3]{4x} - \sqrt[3]{5y})(\sqrt[3]{4x} + \sqrt[3]{5y})}{\sqrt[3]{4x} - \sqrt[3]{5y}}$

Сокращаем дробь на общий множитель $(\sqrt[3]{4x} - \sqrt[3]{5y})$, при условии, что он не равен нулю (т.е. $4x \neq 5y$):

$\sqrt[3]{4x} + \sqrt[3]{5y}$

Ответ: $\sqrt[3]{4x} + \sqrt[3]{5y}$.

36.23 Расположите числа в порядке возрастания:

а) $\sqrt{3\sqrt[3]{4}}$, $\sqrt[3]{5\sqrt{3}}$ и $\sqrt[6]{100}$;

б) $\sqrt[5]{4}$, $\sqrt[6]{3\sqrt[5]{3}}$ и $\sqrt[10]{25}$;

в) $\sqrt[5]{3\sqrt[3]{4}}$, $\sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[3]{2\sqrt[5]{2}}$;

г) $\sqrt[16]{64}$, $\sqrt[48]{7\sqrt{7}}$ и $\sqrt[4]{2\sqrt{1,25}}$.

а) Для того чтобы сравнить числа $\sqrt{3\sqrt[3]{4}}$, $\sqrt[3]{5\sqrt{3}}$ и $\sqrt[6]{100}$, приведем их к одному показателю корня. Для этого преобразуем каждое число, внося множители под корень и используя свойство вложенных корней: $\sqrt{3\sqrt[3]{4}} = \sqrt{\sqrt[3]{3^3 \cdot 4}} = \sqrt{\sqrt[3]{27 \cdot 4}} = \sqrt[6]{108}$; $\sqrt[3]{5\sqrt{3}} = \sqrt[3]{\sqrt{5^2 \cdot 3}} = \sqrt[3]{\sqrt{25 \cdot 3}} = \sqrt[6]{75}$. Третье число $\sqrt[6]{100}$ уже имеет нужный показатель 6.

Сравниваем подкоренные выражения: $75 < 100 < 108$. Так как функция корня является возрастающей, то и сами корни будут располагаться в том же порядке: $\sqrt[6]{75} < \sqrt[6]{100} < \sqrt[6]{108}$. Следовательно, исходные числа в порядке возрастания располагаются следующим образом.

Ответ: $\sqrt[3]{5\sqrt{3}}$, $\sqrt[6]{100}$, $\sqrt{3\sqrt[3]{4}}$.

б) Чтобы сравнить числа $\sqrt[5]{4}$, $\sqrt[6]{3\sqrt[5]{3}}$ и $\sqrt[10]{25}$, приведем их к общему показателю корня. Сначала упростим второе число: $\sqrt[6]{3\sqrt[5]{3}} = \sqrt[6]{\sqrt[5]{3^5 \cdot 3}} = \sqrt[30]{3^6} = \sqrt[30]{729}$. Наименьший общий показатель для корней с показателями 5, 30 и 10 равен 30. Приведем остальные числа к этому показателю: $\sqrt[5]{4} = \sqrt[5 \cdot 6]{4^6} = \sqrt[30]{4096}$; $\sqrt[10]{25} = \sqrt[10 \cdot 3]{25^3} = \sqrt[30]{(5^2)^3} = \sqrt[30]{5^6} = \sqrt[30]{15625}$.

Теперь сравним подкоренные выражения: $729 < 4096 < 15625$. Это означает, что $\sqrt[30]{729} < \sqrt[30]{4096} < \sqrt[30]{15625}$. Записав исходные числа в этом порядке, получаем итоговый результат.

Ответ: $\sqrt[6]{3\sqrt[5]{3}}$, $\sqrt[5]{4}$, $\sqrt[10]{25}$.

в) Для сравнения чисел $\sqrt[5]{3\sqrt[3]{4}}$, $\sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[3]{2\sqrt[5]{2}}$ приведем их к корням с одинаковым показателем. Упростим сложные корни: $\sqrt[5]{3\sqrt[3]{4}} = \sqrt[5]{\sqrt[3]{3^3 \cdot 4}} = \sqrt[15]{108}$; $\sqrt[3]{2\sqrt[5]{2}} = \sqrt[3]{\sqrt[5]{2^5 \cdot 2}} = \sqrt[15]{2^6} = \sqrt[15]{64}$. Общий показатель корней равен 15. Приведем число $\sqrt[3]{2}$ к этому показателю: $\sqrt[3]{2} = \sqrt[3 \cdot 5]{2^5} = \sqrt[15]{32}$.

Теперь у нас есть числа $\sqrt[15]{108}$, $\sqrt[15]{32}$ и $\sqrt[15]{64}$. Сравнивая подкоренные выражения, получаем $32 < 64 < 108$. Следовательно, $\sqrt[15]{32} < \sqrt[15]{64} < \sqrt[15]{108}$. Расположим исходные числа в соответствующем порядке.

Ответ: $\sqrt[3]{2}$, $\sqrt[3]{2\sqrt[5]{2}}$, $\sqrt[5]{3\sqrt[3]{4}}$.

г) Для сравнения чисел $\sqrt[16]{64}$, $\sqrt[48]{7\sqrt{7}}$ и $\sqrt[4]{2\sqrt{1,25}}$ упростим каждое из них и приведем к общему показателю корня.
$\sqrt[16]{64} = \sqrt[16]{2^6} = 2^{6/16} = 2^{3/8} = \sqrt[8]{8}$;
$\sqrt[48]{7\sqrt{7}} = \sqrt[48]{7 \cdot 7^{1/2}} = \sqrt[48]{7^{3/2}} = 7^{\frac{3}{2 \cdot 48}} = 7^{1/32} = \sqrt[32]{7}$;
$\sqrt[4]{2\sqrt{1,25}} = \sqrt[4]{2\sqrt{\frac{5}{4}}} = \sqrt[4]{2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{2}} = \sqrt[4]{\sqrt{5}} = \sqrt[8]{5}$.
Общий показатель для корней $\sqrt[8]{8}$, $\sqrt[32]{7}$ и $\sqrt[8]{5}$ равен 32. Приведем корни к этому показателю: $\sqrt[8]{8} = \sqrt[8 \cdot 4]{8^4} = \sqrt[32]{(2^3)^4} = \sqrt[32]{2^{12}} = \sqrt[32]{4096}$; $\sqrt[8]{5} = \sqrt[8 \cdot 4]{5^4} = \sqrt[32]{625}$.

Теперь сравним числа $\sqrt[32]{4096}$, $\sqrt[32]{7}$ и $\sqrt[32]{625}$. Сравнивая подкоренные выражения, имеем $7 < 625 < 4096$. Таким образом, $\sqrt[32]{7} < \sqrt[32]{625} < \sqrt[32]{4096}$.

Ответ: $\sqrt[48]{7\sqrt{7}}$, $\sqrt[4]{2\sqrt{1,25}}$, $\sqrt[16]{64}$.

Разложите на множители:

36.27 а) $\sqrt{2x} - \sqrt{3y} + \sqrt{2y} - \sqrt{3x};$

б) $\sqrt[3]{4x^2} + \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[4]{y^3} - \sqrt[4]{2y^3};$

в) $\sqrt[3]{a^4} + \sqrt[3]{ab^3} - \sqrt[3]{a^3b} - \sqrt[3]{b^4};$

г) $b\sqrt{a} - ab + \sqrt{ab} - ab\sqrt{b}.$

а) Для разложения на множители выражения $\sqrt{2x} - \sqrt{3y} + \sqrt{2y} - \sqrt{3x}$ применим метод группировки. Сгруппируем слагаемые, содержащие $\sqrt{x}$, и слагаемые, содержащие $\sqrt{y}$.
$(\sqrt{2x} - \sqrt{3x}) + (\sqrt{2y} - \sqrt{3y})$
Используя свойство корня $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$, перепишем выражение:
$(\sqrt{2}\sqrt{x} - \sqrt{3}\sqrt{x}) + (\sqrt{2}\sqrt{y} - \sqrt{3}\sqrt{y})$
Вынесем общие множители $\sqrt{x}$ и $\sqrt{y}$ за скобки в каждой группе:
$\sqrt{x}(\sqrt{2} - \sqrt{3}) + \sqrt{y}(\sqrt{2} - \sqrt{3})$
Теперь вынесем общий множитель $(\sqrt{2} - \sqrt{3})$ за скобки:
$(\sqrt{2} - \sqrt{3})(\sqrt{x} + \sqrt{y})$
Ответ: $(\sqrt{2} - \sqrt{3})(\sqrt{x} + \sqrt{y})$.

б) Рассмотрим выражение $\sqrt[3]{4x^2} + \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[4]{y^3} - \sqrt[4]{2y^3}$.
Сначала упростим некоторые члены: $\sqrt[3]{4x^2} = \sqrt[3]{4}\sqrt[3]{x^2}$ и $\sqrt[4]{2y^3} = \sqrt[4]{2}\sqrt[4]{y^3}$.
Выражение принимает вид: $\sqrt[3]{4}\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[4]{2}\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{4}\sqrt[4]{y^3} - \sqrt[4]{2}\sqrt[4]{y^3}$.
Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым:
$(\sqrt[3]{4}\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[4]{2}\sqrt[3]{x^2}) - (\sqrt[3]{4}\sqrt[4]{y^3} + \sqrt[4]{2}\sqrt[4]{y^3})$
Вынесем общие множители в каждой группе:
$\sqrt[3]{x^2}(\sqrt[3]{4} + \sqrt[4]{2}) - \sqrt[4]{y^3}(\sqrt[3]{4} + \sqrt[4]{2})$
Теперь вынесем общий множитель $(\sqrt[3]{4} + \sqrt[4]{2})$ за скобки:
$(\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[4]{y^3})(\sqrt[3]{4} + \sqrt[4]{2})$
Ответ: $(\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[4]{y^3})(\sqrt[3]{4} + \sqrt[4]{2})$.

в) Рассмотрим выражение $\sqrt[3]{a^4} + \sqrt[3]{ab^3} - \sqrt[3]{a^3b} - \sqrt[3]{b^4}$.
Упростим каждый член, вынося множители из-под знака корня:
$\sqrt[3]{a^4} = \sqrt[3]{a^3 \cdot a} = a\sqrt[3]{a}$
$\sqrt[3]{ab^3} = \sqrt[3]{a \cdot b^3} = b\sqrt[3]{a}$
$\sqrt[3]{a^3b} = \sqrt[3]{a^3 \cdot b} = a\sqrt[3]{b}$
$\sqrt[3]{b^4} = \sqrt[3]{b^3 \cdot b} = b\sqrt[3]{b}$
Подставим упрощенные слагаемые в исходное выражение:
$a\sqrt[3]{a} + b\sqrt[3]{a} - a\sqrt[3]{b} - b\sqrt[3]{b}$
Сгруппируем слагаемые:
$(a\sqrt[3]{a} + b\sqrt[3]{a}) - (a\sqrt[3]{b} + b\sqrt[3]{b})$
Вынесем общие множители в каждой группе:
$\sqrt[3]{a}(a + b) - \sqrt[3]{b}(a + b)$
Вынесем общий множитель $(a + b)$ за скобки:
$(a + b)(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})$
Ответ: $(a + b)(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})$.

г) Для разложения на множители выражения $b\sqrt{a} - ab + \sqrt{ab} - ab\sqrt{b}$ применим метод группировки. Сгруппируем первое слагаемое с четвертым, а второе с третьим.
$(b\sqrt{a} - ab\sqrt{b}) + (\sqrt{ab} - ab)$
Вынесем общий множитель из каждой группы. В первой группе это $b\sqrt{a}$, во второй — $\sqrt{ab}$.
$b\sqrt{a}(1 - \sqrt{a}\sqrt{b}) + \sqrt{ab}(1 - \sqrt{ab})$
$b\sqrt{a}(1 - \sqrt{ab}) + \sqrt{ab}(1 - \sqrt{ab})$
Теперь вынесем общий множитель $(1 - \sqrt{ab})$ за скобки:
$(b\sqrt{a} + \sqrt{ab})(1 - \sqrt{ab})$
В первом множителе $(b\sqrt{a} + \sqrt{ab})$ можно вынести за скобку $\sqrt{a}$:
$(\sqrt{a}(b + \sqrt{b}))(1 - \sqrt{ab})$
В выражении $(b + \sqrt{b})$ можно вынести за скобку $\sqrt{b}$:
$(\sqrt{a}\sqrt{b}(\sqrt{b} + 1))(1 - \sqrt{ab})$
$\sqrt{ab}(\sqrt{b} + 1)(1 - \sqrt{ab})$
Ответ: $\sqrt{ab}(\sqrt{b} + 1)(1 - \sqrt{ab})$.

36.24 Найдите значение выражения:

а) $\frac{4 - 3\sqrt{2}}{(\sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{8})^2};$

б) $\frac{(\sqrt[3]{9} + \sqrt{3})^2}{\sqrt[3]{3} + 2\sqrt[6]{3} + 1};$

в) $\frac{(\sqrt[4]{24} + \sqrt[4]{6})^2}{4\sqrt{3} + 3\sqrt{6}};$

г) $\frac{1 - 2\sqrt[4]{5} + \sqrt{5}}{(\sqrt{3} - \sqrt[4]{45})^2}.$

а) Найдем значение выражения $\frac{4 - 3\sqrt{2}}{(\sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{8})^2}$.
Сначала упростим знаменатель. Для этого преобразуем $\sqrt[4]{8}$ и вынесем общий множитель за скобки:
$\sqrt[4]{8} = \sqrt[4]{2^3}$
$(\sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{8})^2 = (\sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{2^3})^2 = (\sqrt[4]{2}(1 - \sqrt[4]{2^2}))^2$
Так как $\sqrt[4]{2^2} = \sqrt{2}$, получаем:
$(\sqrt[4]{2}(1 - \sqrt{2}))^2 = (\sqrt[4]{2})^2(1 - \sqrt{2})^2 = \sqrt{2}(1^2 - 2\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2) = \sqrt{2}(1 - 2\sqrt{2} + 2) = \sqrt{2}(3 - 2\sqrt{2})$
Раскроем скобки: $3\sqrt{2} - 2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 3\sqrt{2} - 4$.
Теперь подставим полученное выражение в знаменатель дроби:
$\frac{4 - 3\sqrt{2}}{3\sqrt{2} - 4}$
Вынесем $-1$ за скобки в числителе:
$\frac{-(3\sqrt{2} - 4)}{3\sqrt{2} - 4} = -1$
Ответ: -1

б) Найдем значение выражения $\frac{(\sqrt[3]{9} + \sqrt{3})^2}{\sqrt[3]{3} + 2\sqrt[6]{3} + 1}$.
Рассмотрим знаменатель. Заметим, что $\sqrt[3]{3} = (\sqrt[6]{3})^2$. Тогда знаменатель можно представить в виде формулы квадрата суммы:
$\sqrt[3]{3} + 2\sqrt[6]{3} + 1 = (\sqrt[6]{3})^2 + 2\sqrt[6]{3} + 1 = (\sqrt[6]{3} + 1)^2$.
Теперь преобразуем числитель. Представим $\sqrt[3]{9}$ и $\sqrt{3}$ через корень шестой степени и вынесем общий множитель:
$\sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{3^2} = 3^{2/3} = 3^{4/6} = \sqrt[6]{3^4}$
$\sqrt{3} = 3^{1/2} = 3^{3/6} = \sqrt[6]{3^3}$
Вынесем общий множитель $\sqrt{3}$ из скобок в числителе. Для этого представим $\sqrt[3]{9}$ как произведение:
$\sqrt[3]{9} = 3^{2/3} = 3^{1/2 + 1/6} = 3^{1/2} \cdot 3^{1/6} = \sqrt{3}\sqrt[6]{3}$.
$(\sqrt[3]{9} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{3}\sqrt[6]{3} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{3}(\sqrt[6]{3} + 1))^2 = (\sqrt{3})^2(\sqrt[6]{3} + 1)^2 = 3(\sqrt[6]{3} + 1)^2$.
Подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходное выражение:
$\frac{3(\sqrt[6]{3} + 1)^2}{(\sqrt[6]{3} + 1)^2} = 3$
Ответ: 3

в) Найдем значение выражения $\frac{(\sqrt[4]{24} + \sqrt[4]{6})^2}{4\sqrt{3} + 3\sqrt{6}}$.
Упростим выражение в числителе. Для этого преобразуем $\sqrt[4]{24}$:
$\sqrt[4]{24} = \sqrt[4]{4 \cdot 6} = \sqrt[4]{4} \cdot \sqrt[4]{6} = \sqrt[4]{2^2} \cdot \sqrt[4]{6} = 2^{2/4}\sqrt[4]{6} = 2^{1/2}\sqrt[4]{6} = \sqrt{2}\sqrt[4]{6}$.
Подставим это в числитель и вынесем общий множитель $\sqrt[4]{6}$ за скобки:
$(\sqrt{2}\sqrt[4]{6} + \sqrt[4]{6})^2 = (\sqrt[4]{6}(\sqrt{2} + 1))^2 = (\sqrt[4]{6})^2(\sqrt{2} + 1)^2$
Возведем в квадрат:
$\sqrt{6}((\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2} + 1^2) = \sqrt{6}(2 + 2\sqrt{2} + 1) = \sqrt{6}(3 + 2\sqrt{2})$
Раскроем скобки: $3\sqrt{6} + 2\sqrt{6}\sqrt{2} = 3\sqrt{6} + 2\sqrt{12} = 3\sqrt{6} + 2\sqrt{4 \cdot 3} = 3\sqrt{6} + 2 \cdot 2\sqrt{3} = 3\sqrt{6} + 4\sqrt{3}$.
Теперь подставим полученное выражение в исходную дробь:
$\frac{3\sqrt{6} + 4\sqrt{3}}{4\sqrt{3} + 3\sqrt{6}}$
Числитель и знаменатель равны, следовательно, их отношение равно 1.
Ответ: 1

г) Найдем значение выражения $\frac{1 - 2\sqrt[4]{5} + \sqrt{5}}{(\sqrt{3} - \sqrt[4]{45})^2}$.
Рассмотрим числитель. Заметим, что $\sqrt{5} = (\sqrt[4]{5})^2$. Тогда числитель является полным квадратом разности:
$1 - 2\sqrt[4]{5} + \sqrt{5} = 1 - 2\sqrt[4]{5} + (\sqrt[4]{5})^2 = (1 - \sqrt[4]{5})^2$.
Теперь преобразуем знаменатель. Упростим $\sqrt[4]{45}$:
$\sqrt[4]{45} = \sqrt[4]{9 \cdot 5} = \sqrt[4]{9}\sqrt[4]{5} = \sqrt[4]{3^2}\sqrt[4]{5} = 3^{2/4}\sqrt[4]{5} = 3^{1/2}\sqrt[4]{5} = \sqrt{3}\sqrt[4]{5}$.
Подставим это в знаменатель и вынесем общий множитель $\sqrt{3}$ за скобки:
$(\sqrt{3} - \sqrt{3}\sqrt[4]{5})^2 = (\sqrt{3}(1 - \sqrt[4]{5}))^2 = (\sqrt{3})^2(1 - \sqrt[4]{5})^2 = 3(1 - \sqrt[4]{5})^2$.
Подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходное выражение:
$\frac{(1 - \sqrt[4]{5})^2}{3(1 - \sqrt[4]{5})^2} = \frac{1}{3}$
Ответ: $\frac{1}{3}$