Страница 135, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Вычислите:

35.7 а) $\sqrt[4]{4} \cdot \sqrt[4]{4}$;

б) $\sqrt[3]{135} \cdot \sqrt[3]{25}$;

в) $\sqrt{20} \cdot \sqrt{5}$;

г) $\sqrt[5]{16} \cdot \sqrt[5]{486}$.

а) Для вычисления произведения корней с одинаковым показателем используется свойство $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$. Применяя это свойство, получаем:

$\sqrt[4]{4} \cdot \sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{4 \cdot 4} = \sqrt[4]{16}$

Так как $2^4 = 16$, то корень четвертой степени из 16 равен 2.

Ответ: 2

б) Используем то же свойство произведения корней:

$\sqrt[3]{135} \cdot \sqrt[3]{25} = \sqrt[3]{135 \cdot 25}$

Для упрощения вычисления разложим числа под корнем на множители. Зная, что $135 = 5 \cdot 27 = 5 \cdot 3^3$ и $25 = 5^2$, получаем:

$\sqrt[3]{(5 \cdot 3^3) \cdot 5^2} = \sqrt[3]{5^1 \cdot 5^2 \cdot 3^3} = \sqrt[3]{5^3 \cdot 3^3} = \sqrt[3]{(5 \cdot 3)^3} = \sqrt[3]{15^3} = 15$

Ответ: 15

в) Произведение квадратных корней вычисляется по тому же правилу $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$:

$\sqrt{20} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{20 \cdot 5} = \sqrt{100}$

Корень квадратный из 100 равен 10, так как $10^2 = 100$.

Ответ: 10

г) Применяем свойство произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$\sqrt[5]{16} \cdot \sqrt[5]{486} = \sqrt[5]{16 \cdot 486}$

Разложим подкоренные выражения на простые множители, чтобы найти множители в пятой степени. $16 = 2^4$ и $486 = 2 \cdot 243 = 2 \cdot 3^5$.

$\sqrt[5]{16 \cdot 486} = \sqrt[5]{2^4 \cdot (2 \cdot 3^5)} = \sqrt[5]{(2^4 \cdot 2^1) \cdot 3^5} = \sqrt[5]{2^5 \cdot 3^5} = \sqrt[5]{(2 \cdot 3)^5} = \sqrt[5]{6^5} = 6$

Ответ: 6

35.11 а) $(2\sqrt{5})^4$;

б) $(b \cdot \sqrt[n]{\frac{1}{b}})^{2n}$;

в) $(3 \cdot \sqrt[5]{\frac{1}{2}})^5$;

г) $(\frac{1}{b} \sqrt[p]{b})^{2p}$.

а) Чтобы упростить выражение $(2\sqrt{5})^4$, воспользуемся свойством степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$ и свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$.
$(2\sqrt{5})^4 = 2^4 \cdot (\sqrt{5})^4$.
Вычислим каждую часть по отдельности:
$2^4 = 16$.
Квадратный корень можно представить в виде степени $1/2$. Тогда $(\sqrt{5})^4 = (5^{1/2})^4 = 5^{\frac{1}{2} \cdot 4} = 5^2 = 25$.
Теперь перемножим полученные результаты:
$16 \cdot 25 = 400$.
Ответ: 400.

б) Упростим выражение $(b \cdot \sqrt[n]{\frac{1}{b}})^{2n}$. Будем считать, что переменные $b$ и $n$ принимают значения, при которых выражение определено ($b > 0$, $n \in \mathbb{N}, n \ge 2$).
Применим свойство степени произведения $(xy)^m = x^m y^m$ к исходному выражению:
$(b \cdot \sqrt[n]{\frac{1}{b}})^{2n} = b^{2n} \cdot (\sqrt[n]{\frac{1}{b}})^{2n}$.
Упростим второй множитель, представив корень n-ой степени как возведение в степень $1/n$:
$(\sqrt[n]{\frac{1}{b}})^{2n} = ((\frac{1}{b})^{1/n})^{2n} = (\frac{1}{b})^{\frac{1}{n} \cdot 2n} = (\frac{1}{b})^2 = \frac{1}{b^2}$.
Подставим результат обратно в выражение и воспользуемся свойством частного степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$:
$b^{2n} \cdot \frac{1}{b^2} = \frac{b^{2n}}{b^2} = b^{2n-2}$.
Ответ: $b^{2n-2}$.

в) Упростим выражение $(3 \cdot \sqrt[5]{\frac{1}{2}})^5$.
Используем свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$:
$(3 \cdot \sqrt[5]{\frac{1}{2}})^5 = 3^5 \cdot (\sqrt[5]{\frac{1}{2}})^5$.
Вычислим значение $3^5$:
$3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$.
Согласно определению корня n-ой степени, $(\sqrt[n]{a})^n = a$. Поэтому:
$(\sqrt[5]{\frac{1}{2}})^5 = \frac{1}{2}$.
Перемножим полученные результаты:
$243 \cdot \frac{1}{2} = \frac{243}{2}$.
Ответ: $\frac{243}{2}$.

г) Упростим выражение $(\frac{1}{b} \sqrt[p]{b})^{2p}$. Будем считать, что $b>0$ и $p \in \mathbb{N}, p \ge 2$.
Воспользуемся свойством степени произведения:
$(\frac{1}{b} \sqrt[p]{b})^{2p} = (\frac{1}{b})^{2p} \cdot (\sqrt[p]{b})^{2p}$.
Упростим каждый из множителей. Для первого множителя: $(\frac{1}{b})^{2p} = \frac{1}{b^{2p}} = b^{-2p}$.
Для второго множителя, представим корень в виде степени: $(\sqrt[p]{b})^{2p} = (b^{1/p})^{2p} = b^{\frac{1}{p} \cdot 2p} = b^2$.
Теперь перемножим упрощенные выражения, используя свойство произведения степеней с одинаковым основанием $a^m a^k = a^{m+k}$:
$b^{-2p} \cdot b^2 = b^{-2p+2} = b^{2-2p}$.
Ответ: $b^{2-2p}$.

35.15 a) $\sqrt{a^2b^4}$;

б) $\sqrt[3]{a^3b^6}$;

В) $\sqrt[4]{a^4b^8}$;

Г) $\sqrt[5]{a^5b^{15}}$.

а) Чтобы упростить выражение $ \sqrt{a^2b^4} $, воспользуемся свойством корня из произведения: $ \sqrt{a^2b^4} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b^4} $. Поскольку корень квадратный (четной степени), при извлечении корня из выражения в четной степени необходимо использовать модуль: $ \sqrt{x^2} = |x| $. Таким образом, $ \sqrt{a^2} = |a| $. Для второго множителя имеем $ \sqrt{b^4} = \sqrt{(b^2)^2} $. Так как $ b^2 \ge 0 $ для любого действительного $ b $, то $ \sqrt{(b^2)^2} = b^2 $. Объединяя результаты, получаем $ |a|b^2 $. Ответ: $ |a|b^2 $

б) Для упрощения выражения $ \sqrt[3]{a^3b^6} $ применим свойство корня из произведения: $ \sqrt[3]{a^3b^6} = \sqrt[3]{a^3} \cdot \sqrt[3]{b^6} $. Корень кубический является корнем нечетной степени, поэтому $ \sqrt[n]{x^n} = x $ для любого действительного $ x $, если $ n $ нечетно. Следовательно, $ \sqrt[3]{a^3} = a $. Второй множитель $ b^6 $ можно представить как $ (b^2)^3 $, тогда $ \sqrt[3]{b^6} = \sqrt[3]{(b^2)^3} = b^2 $. Перемножая полученные выражения, имеем $ a \cdot b^2 = ab^2 $. Ответ: $ ab^2 $

в) Упростим выражение $ \sqrt[4]{a^4b^8} $. Это корень четвертой степени, то есть корень четной степени. Используем свойство корня из произведения: $ \sqrt[4]{a^4b^8} = \sqrt[4]{a^4} \cdot \sqrt[4]{b^8} $. Для корня четной степени справедливо равенство $ \sqrt[n]{x^n} = |x| $. Поэтому $ \sqrt[4]{a^4} = |a| $. Выражение $ b^8 $ можно записать как $ (b^2)^4 $, тогда $ \sqrt[4]{b^8} = \sqrt[4]{(b^2)^4} = |b^2| $. Так как $ b^2 $ всегда неотрицательно, $ |b^2| = b^2 $. Итоговый результат: $ |a|b^2 $. Ответ: $ |a|b^2 $

г) Чтобы упростить выражение $ \sqrt[5]{a^5b^{15}} $, которое содержит корень нечетной (пятой) степени, воспользуемся свойством корня из произведения: $ \sqrt[5]{a^5b^{15}} = \sqrt[5]{a^5} \cdot \sqrt[5]{b^{15}} $. Для корня нечетной степени $ \sqrt[n]{x^n} = x $. Таким образом, $ \sqrt[5]{a^5} = a $. Степень $ b^{15} $ можно представить как $ (b^3)^5 $, поэтому $ \sqrt[5]{b^{15}} = \sqrt[5]{(b^3)^5} = b^3 $. Перемножив результаты, получаем $ a \cdot b^3 = ab^3 $. Ответ: $ ab^3 $

35.8 a) $\frac{\sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{2}}$;

б) $\frac{\sqrt[5]{3}}{\sqrt[5]{96}}$;

В) $\frac{\sqrt[7]{256}}{\sqrt[7]{2}}$;

Г) $\frac{\sqrt[4]{1024}}{\sqrt[4]{4}}$.

а)

Чтобы упростить выражение $\frac{\sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{2}}$, воспользуемся свойством частного корней одинаковой степени: $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$.
Применим это свойство к нашему выражению:
$\frac{\sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{\frac{54}{2}}$
Выполним деление под знаком корня:
$\sqrt[3]{27}$
Так как $3^3 = 27$, то кубический корень из 27 равен 3.
$\sqrt[3]{27} = 3$
Ответ: 3

б)

Для упрощения выражения $\frac{\sqrt[5]{3}}{\sqrt[5]{96}}$ используем то же свойство частного корней: $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$.
$\frac{\sqrt[5]{3}}{\sqrt[5]{96}} = \sqrt[5]{\frac{3}{96}}$
Сократим дробь под знаком корня:
$\sqrt[5]{\frac{1}{32}}$
Теперь извлечем корень пятой степени из числителя и знаменателя:
$\sqrt[5]{\frac{1}{32}} = \frac{\sqrt[5]{1}}{\sqrt[5]{32}}$
Мы знаем, что $\sqrt[5]{1} = 1$ и $2^5 = 32$, поэтому $\sqrt[5]{32} = 2$.
Таким образом, результат равен $\frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

в)

Упростим выражение $\frac{\sqrt[7]{256}}{\sqrt[7]{2}}$, используя свойство $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$.
$\frac{\sqrt[7]{256}}{\sqrt[7]{2}} = \sqrt[7]{\frac{256}{2}}$
Выполним деление под корнем:
$\sqrt[7]{128}$
Найдем число, седьмая степень которого равна 128. Это число 2, так как $2^7 = 128$.
$\sqrt[7]{128} = 2$
Ответ: 2

г)

Упростим выражение $\frac{\sqrt[4]{1024}}{\sqrt[4]{4}}$, используя свойство $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$.
$\frac{\sqrt[4]{1024}}{\sqrt[4]{4}} = \sqrt[4]{\frac{1024}{4}}$
Выполним деление под корнем:
$\sqrt[4]{256}$
Найдем число, четвертая степень которого равна 256. Это число 4, так как $4^4 = 256$.
$\sqrt[4]{256} = 4$
Ответ: 4

35.12 а) $(\sqrt[3]{3a})^9$;

б) $(5a \cdot \sqrt[3]{a})^2$;

в) $(-5 \cdot \sqrt[3]{a^2})^2$;

г) $(2\sqrt[3]{-3a^2})^5$.

а) Для решения используем свойство возведения корня в степень $(\sqrt[n]{x})^m = \sqrt[n]{x^m}$ или, что эквивалентно, $(\sqrt[n]{x})^m = x^{m/n}$.
Первый способ: представим корень как степень с рациональным показателем.
$(\sqrt[3]{3a})^9 = ((3a)^{1/3})^9$
Применяем свойство возведения степени в степень $(x^p)^q = x^{p \cdot q}$:
$(3a)^{(1/3) \cdot 9} = (3a)^3$
Раскрываем скобки, используя свойство $(xy)^n = x^n y^n$:
$3^3 \cdot a^3 = 27a^3$
Ответ: $27a^3$

б) Используем свойство возведения произведения в степень $(xy)^n = x^n y^n$.
$(5a \cdot \sqrt[3]{a})^2 = 5^2 \cdot a^2 \cdot (\sqrt[3]{a})^2$
Вычисляем и упрощаем каждый множитель:
$5^2 = 25$
$a^2$ остается без изменений.
$(\sqrt[3]{a})^2 = \sqrt[3]{a^2}$
Собираем все вместе:
$25 \cdot a^2 \cdot \sqrt[3]{a^2} = 25a^2\sqrt[3]{a^2}$
Ответ: $25a^2\sqrt[3]{a^2}$

в) Применим свойство возведения произведения в степень $(xy)^n = x^n y^n$.
$(-5 \cdot \sqrt[3]{a^2})^2 = (-5)^2 \cdot (\sqrt[3]{a^2})^2$
Вычисляем и упрощаем каждый множитель:
$(-5)^2 = 25$
$(\sqrt[3]{a^2})^2 = \sqrt[3]{(a^2)^2} = \sqrt[3]{a^4}$
Упростим корень, вынося множитель из-под его знака. Для этого представим подкоренное выражение $a^4$ в виде произведения $a^3 \cdot a$:
$\sqrt[3]{a^4} = \sqrt[3]{a^3 \cdot a} = \sqrt[3]{a^3} \cdot \sqrt[3]{a} = a\sqrt[3]{a}$
Объединяем полученные результаты:
$25 \cdot a\sqrt[3]{a} = 25a\sqrt[3]{a}$
Ответ: $25a\sqrt[3]{a}$

г) Используем свойство возведения произведения в степень $(xy)^n = x^n y^n$.
$(2\sqrt[3]{-3a^2})^5 = 2^5 \cdot (\sqrt[3]{-3a^2})^5$
Вычисляем первый множитель: $2^5 = 32$.
Упростим второй множитель. Сначала вынесем минус из-под знака корня нечетной степени, используя свойство $\sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x}$.
$(\sqrt[3]{-3a^2})^5 = (-\sqrt[3]{3a^2})^5$
Так как степень нечетная (5), минус сохраняется при возведении в степень:
$(-\sqrt[3]{3a^2})^5 = -(\sqrt[3]{3a^2})^5 = -\sqrt[3]{(3a^2)^5}$
Раскроем скобки под корнем:
$-\sqrt[3]{3^5 \cdot (a^2)^5} = -\sqrt[3]{243a^{10}}$
Вынесем множители из-под знака корня. Для этого представим $243$ как $3^3 \cdot 3^2 = 27 \cdot 9$ и $a^{10}$ как $a^9 \cdot a$.
$-\sqrt[3]{27 \cdot 9 \cdot a^9 \cdot a} = -\sqrt[3]{(27a^9) \cdot 9a} = -(\sqrt[3]{27a^9} \cdot \sqrt[3]{9a}) = -(3a^3\sqrt[3]{9a}) = -3a^3\sqrt[3]{9a}$
Теперь умножим на первый множитель (32):
$32 \cdot (-3a^3\sqrt[3]{9a}) = -96a^3\sqrt[3]{9a}$
Ответ: $-96a^3\sqrt[3]{9a}$

35.16 а) $\sqrt{\frac{49a^4}{169b^2}}$;

б) $\sqrt[4]{\frac{16a^4b^8}{c^{12}}}$;

в) $\sqrt[3]{\frac{27a^6}{64b^3}}$;

г) $\sqrt[5]{\frac{32a^{40}b^{10}}{243c^{15}}}$.

а)

Для упрощения выражения $\sqrt{\frac{49a^4}{169b^2}}$ воспользуемся свойством корня из дроби $\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$ и корня из произведения $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$.

$\sqrt{\frac{49a^4}{169b^2}} = \frac{\sqrt{49a^4}}{\sqrt{169b^2}} = \frac{\sqrt{49}\sqrt{a^4}}{\sqrt{169}\sqrt{b^2}}$

Теперь извлечем корни из каждого множителя:

$\sqrt{49} = 7$

$\sqrt{a^4} = \sqrt{(a^2)^2} = a^2$ (поскольку $a^2$ всегда неотрицательно)

$\sqrt{169} = 13$

$\sqrt{b^2} = |b|$ (поскольку корень квадратный из квадрата числа есть его модуль; $b \ne 0$)

Собираем все вместе:

$\frac{7a^2}{13|b|}$

Ответ: $\frac{7a^2}{13|b|}$

б)

Для упрощения выражения $\sqrt[4]{\frac{16a^4b^8}{c^{12}}}$ воспользуемся свойством корня n-ой степени из дроби $\sqrt[n]{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}}$ и из произведения $\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x}\sqrt[n]{y}$.

$\sqrt[4]{\frac{16a^4b^8}{c^{12}}} = \frac{\sqrt[4]{16a^4b^8}}{\sqrt[4]{c^{12}}} = \frac{\sqrt[4]{16}\sqrt[4]{a^4}\sqrt[4]{b^8}}{\sqrt[4]{c^{12}}}$

Извлечем корни из каждого множителя, учитывая, что корень четной степени (4) из выражения в четной степени равен модулю основания этой степени, то есть $\sqrt[2k]{x^{2k}} = |x|$.

$\sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2$

$\sqrt[4]{a^4} = |a|$

$\sqrt[4]{b^8} = \sqrt[4]{(b^2)^4} = |b^2| = b^2$ (поскольку $b^2$ всегда неотрицательно)

$\sqrt[4]{c^{12}} = \sqrt[4]{(c^3)^4} = |c^3|$ (здесь $c \ne 0$)

Собираем все вместе:

$\frac{2|a|b^2}{|c^3|}$

Ответ: $\frac{2|a|b^2}{|c^3|}$

в)

Для упрощения выражения $\sqrt[3]{\frac{27a^6}{64b^3}}$ используем те же свойства, что и в предыдущих пунктах. Особенность в том, что корень нечетной степени (3) извлекается из любого числа, и $\sqrt[2k+1]{x^{2k+1}} = x$, поэтому знак модуля не требуется.

$\sqrt[3]{\frac{27a^6}{64b^3}} = \frac{\sqrt[3]{27a^6}}{\sqrt[3]{64b^3}} = \frac{\sqrt[3]{27}\sqrt[3]{a^6}}{\sqrt[3]{64}\sqrt[3]{b^3}}$

Извлечем корни из каждого множителя:

$\sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^3} = 3$

$\sqrt[3]{a^6} = \sqrt[3]{(a^2)^3} = a^2$

$\sqrt[3]{64} = \sqrt[3]{4^3} = 4$

$\sqrt[3]{b^3} = b$ (здесь $b \ne 0$)

Собираем все вместе:

$\frac{3a^2}{4b}$

Ответ: $\frac{3a^2}{4b}$

г)

Упростим выражение $\sqrt[5]{\frac{32a^{40}b^{10}}{243c^{15}}}$. Корень нечетной степени (5), поэтому, как и в предыдущем примере, знак модуля не потребуется.

$\sqrt[5]{\frac{32a^{40}b^{10}}{243c^{15}}} = \frac{\sqrt[5]{32a^{40}b^{10}}}{\sqrt[5]{243c^{15}}} = \frac{\sqrt[5]{32}\sqrt[5]{a^{40}}\sqrt[5]{b^{10}}}{\sqrt[5]{243}\sqrt[5]{c^{15}}}$

Извлечем корни из каждого множителя:

$\sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^5} = 2$

$\sqrt[5]{a^{40}} = \sqrt[5]{(a^8)^5} = a^8$

$\sqrt[5]{b^{10}} = \sqrt[5]{(b^2)^5} = b^2$

$\sqrt[5]{243} = \sqrt[5]{3^5} = 3$

$\sqrt[5]{c^{15}} = \sqrt[5]{(c^3)^5} = c^3$ (здесь $c \ne 0$)

Собираем все вместе:

$\frac{2a^8b^2}{3c^3}$

Ответ: $\frac{2a^8b^2}{3c^3}$

35.5 a) $\sqrt[3]{5^6 \cdot 2^9}$;

б) $\sqrt[5]{0,2^{10} \cdot 10^{10}}$;

В) $\sqrt[3]{0,2^3 \cdot 5^6}$;

Г) $\sqrt[6]{36^3 \cdot 2^6}$.

а) $\sqrt[3]{5^6 \cdot 2^9}$

Для решения воспользуемся свойством корня $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ и свойством извлечения корня из степени $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.

$\sqrt[3]{5^6 \cdot 2^9} = \sqrt[3]{5^6} \cdot \sqrt[3]{2^9}$

Вычислим каждый множитель отдельно:

$\sqrt[3]{5^6} = 5^{\frac{6}{3}} = 5^2 = 25$

$\sqrt[3]{2^9} = 2^{\frac{9}{3}} = 2^3 = 8$

Теперь перемножим результаты:

$25 \cdot 8 = 200$

Альтернативный способ — сгруппировать степени под корнем:

$\sqrt[3]{5^6 \cdot 2^9} = \sqrt[3]{(5^2)^3 \cdot (2^3)^3} = \sqrt[3]{(5^2 \cdot 2^3)^3} = 5^2 \cdot 2^3 = 25 \cdot 8 = 200$

Ответ: $200$

б) $\sqrt[5]{0,2^{10} \cdot 10^{10}}$

Воспользуемся свойством степеней $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ для подкоренного выражения:

$\sqrt[5]{0,2^{10} \cdot 10^{10}} = \sqrt[5]{(0,2 \cdot 10)^{10}}$

Выполним умножение в скобках:

$0,2 \cdot 10 = 2$

Подставим результат обратно в выражение:

$\sqrt[5]{2^{10}}$

Теперь используем свойство корня $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$:

$\sqrt[5]{2^{10}} = 2^{\frac{10}{5}} = 2^2 = 4$

Ответ: $4$

в) $\sqrt[3]{0,2^3 \cdot 5^6}$

Используем свойство $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$, чтобы разбить корень на произведение корней:

$\sqrt[3]{0,2^3 \cdot 5^6} = \sqrt[3]{0,2^3} \cdot \sqrt[3]{5^6}$

Вычислим каждый корень отдельно, используя свойство $\sqrt[n]{a^n}=a$ и $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$:

$\sqrt[3]{0,2^3} = 0,2$

$\sqrt[3]{5^6} = 5^{\frac{6}{3}} = 5^2 = 25$

Перемножим полученные значения:

$0,2 \cdot 25 = \frac{1}{5} \cdot 25 = 5$

Ответ: $5$

г) $\sqrt[6]{36^3 \cdot 2^6}$

Сначала преобразуем основание степени $36$:

$36 = 6^2$

Тогда $36^3 = (6^2)^3 = 6^{2 \cdot 3} = 6^6$.

Подставим это в исходное выражение:

$\sqrt[6]{6^6 \cdot 2^6}$

Воспользуемся свойством $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ для подкоренного выражения:

$\sqrt[6]{(6 \cdot 2)^6} = \sqrt[6]{12^6}$

Так как корень шестой степени извлекается из выражения в шестой степени, они взаимно уничтожаются (для положительных чисел):

$12$

Ответ: $12$

35.9 a) $\sqrt[4]{32 \cdot 3} \cdot \sqrt[4]{8 \cdot 27}$;

б) $\sqrt[5]{2^5 \cdot 7^2} \cdot \sqrt[5]{7^3}$.

а)

Для решения данного примера воспользуемся свойством произведения корней с одинаковыми показателями: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

Применим это свойство к нашему выражению:

$\sqrt[4]{32 \cdot 3} \cdot \sqrt[4]{8 \cdot 27} = \sqrt[4]{(32 \cdot 3) \cdot (8 \cdot 27)}$

Сгруппируем множители под корнем для удобства вычисления:

$\sqrt[4]{(32 \cdot 8) \cdot (3 \cdot 27)}$

Теперь представим числа в виде степеней, чтобы упростить извлечение корня.

$32 = 2^5$

$8 = 2^3$

$27 = 3^3$

Подставим эти значения в выражение под корнем:

$\sqrt[4]{(2^5 \cdot 2^3) \cdot (3^1 \cdot 3^3)}$

Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сложим показатели степеней с одинаковыми основаниями:

$\sqrt[4]{2^{5+3} \cdot 3^{1+3}} = \sqrt[4]{2^8 \cdot 3^4}$

Теперь воспользуемся свойством корня из произведения $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ и свойством $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$:

$\sqrt[4]{2^8} \cdot \sqrt[4]{3^4} = 2^{\frac{8}{4}} \cdot 3^{\frac{4}{4}} = 2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12$

Ответ: $12$

б)

Для решения этого примера мы также воспользуемся свойством произведения корней с одинаковыми показателями: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

Применим это свойство:

$\sqrt[5]{2^5 \cdot 7^2} \cdot \sqrt[5]{7^3} = \sqrt[5]{(2^5 \cdot 7^2) \cdot 7^3}$

Объединим множители с одинаковым основанием под корнем, используя правило умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$\sqrt[5]{2^5 \cdot (7^2 \cdot 7^3)} = \sqrt[5]{2^5 \cdot 7^{2+3}} = \sqrt[5]{2^5 \cdot 7^5}$

Теперь воспользуемся свойством корня из произведения $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ и свойством $\sqrt[n]{a^n} = a$:

$\sqrt[5]{2^5} \cdot \sqrt[5]{7^5} = 2 \cdot 7 = 14$

Ответ: $14$

Упростите выражение, считая, что все переменные принимают только положительные значения:

35.13 а) $\sqrt[4]{x^2}$;
б) $\sqrt[6]{y^4}$;
в) $\sqrt[10]{a^5}$;
г) $\sqrt[24]{n^{16}}$.

а) Для упрощения выражения $\sqrt[4]{x^2}$ используется основное свойство корня: если показатель корня и показатель степени подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится. Это можно записать в виде формулы $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$ (при $a > 0$).
В нашем случае показатель корня равен 4, а показатель степени подкоренного выражения равен 2. Мы можем разделить оба показателя на их наибольший общий делитель, который равен 2.
$\sqrt[4]{x^2} = \sqrt[4/2]{x^{2/2}} = \sqrt[2]{x^1} = \sqrt{x}$.
Также можно перейти к степеням с рациональным показателем:
$\sqrt[4]{x^2} = x^{\frac{2}{4}} = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$.
Поскольку по условию переменная $x$ принимает только положительные значения, оба метода корректны.
Ответ: $\sqrt{x}$

б) Упростим выражение $\sqrt[6]{y^4}$. Показатель корня равен 6, а показатель степени подкоренного выражения — 4. Наибольший общий делитель для 6 и 4 равен 2. Разделим оба показателя на 2:
$\sqrt[6]{y^4} = \sqrt[6/2]{y^{4/2}} = \sqrt[3]{y^2}$.
Используя степени с рациональным показателем, получим тот же результат:
$\sqrt[6]{y^4} = y^{\frac{4}{6}} = y^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{y^2}$.
Условие $y > 0$ обеспечивает справедливость преобразований.
Ответ: $\sqrt[3]{y^2}$

в) Рассмотрим выражение $\sqrt[10]{a^5}$. Показатель корня — 10, показатель степени под корнем — 5. Наибольший общий делитель этих чисел равен 5. Сократим оба показателя на 5:
$\sqrt[10]{a^5} = \sqrt[10/5]{a^{5/5}} = \sqrt[2]{a^1} = \sqrt{a}$.
Через степени с рациональным показателем:
$\sqrt[10]{a^5} = a^{\frac{5}{10}} = a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$.
Так как $a > 0$, упрощение является верным.
Ответ: $\sqrt{a}$

г) Упростим выражение $\sqrt[24]{n^{16}}$. Показатель корня равен 24, а показатель степени подкоренного выражения — 16. Найдем наибольший общий делитель для 24 и 16. Это число 8. Разделим оба показателя на 8:
$\sqrt[24]{n^{16}} = \sqrt[24/8]{n^{16/8}} = \sqrt[3]{n^2}$.
Проверим с помощью степеней с рациональным показателем:
$\sqrt[24]{n^{16}} = n^{\frac{16}{24}} = n^{\frac{2 \cdot 8}{3 \cdot 8}} = n^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{n^2}$.
Так как по условию $n > 0$, результат корректен.
Ответ: $\sqrt[3]{n^2}$

35.6 a) $\sqrt[4]{\frac{7^8}{3^4}}$;

б) $\sqrt[3]{\frac{5^6}{3^9}}$;

в) $\sqrt[4]{\frac{3^{12}}{2^8}}$;

г) $\sqrt[5]{\frac{5^5}{13^{10}}}$.

а)

Чтобы упростить данное выражение, воспользуемся свойствами корней. Свойство корня из дроби гласит, что корень n-ой степени из дроби равен дроби, числитель и знаменатель которой являются корнями n-ой степени из исходных числителя и знаменателя: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$.

Применим это свойство к нашему выражению:

$\sqrt[4]{\frac{7^8}{3^4}} = \frac{\sqrt[4]{7^8}}{\sqrt[4]{3^4}}$

Далее используем свойство извлечения корня из степени, которое можно представить в виде степени с рациональным показателем: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.

$\frac{\sqrt[4]{7^8}}{\sqrt[4]{3^4}} = \frac{7^{\frac{8}{4}}}{3^{\frac{4}{4}}} = \frac{7^2}{3^1} = \frac{49}{3}$

Результат можно представить в виде смешанного числа: $16\frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{49}{3}$

б)

Упростим выражение $\sqrt[3]{\frac{5^6}{3^9}}$, используя аналогичные свойства корней.

Разделим корень на числитель и знаменатель:

$\sqrt[3]{\frac{5^6}{3^9}} = \frac{\sqrt[3]{5^6}}{\sqrt[3]{3^9}}$

Теперь преобразуем каждый корень в степень с дробным показателем:

$\frac{\sqrt[3]{5^6}}{\sqrt[3]{3^9}} = \frac{5^{\frac{6}{3}}}{3^{\frac{9}{3}}} = \frac{5^2}{3^3} = \frac{25}{27}$

Ответ: $\frac{25}{27}$

в)

Упростим выражение $\sqrt[4]{\frac{3^{12}}{2^8}}$.

Применяем свойство корня из дроби:

$\sqrt[4]{\frac{3^{12}}{2^8}} = \frac{\sqrt[4]{3^{12}}}{\sqrt[4]{2^8}}$

Применяем свойство корня из степени:

$\frac{\sqrt[4]{3^{12}}}{\sqrt[4]{2^8}} = \frac{3^{\frac{12}{4}}}{2^{\frac{8}{4}}} = \frac{3^3}{2^2} = \frac{27}{4}$

Результат можно представить в виде смешанного числа: $6\frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{27}{4}$

г)

Упростим выражение $\sqrt[5]{\frac{5^5}{13^{10}}}$.

Используем свойство корня из дроби:

$\sqrt[5]{\frac{5^5}{13^{10}}} = \frac{\sqrt[5]{5^5}}{\sqrt[5]{13^{10}}}$

Далее преобразуем в степени с рациональными показателями:

$\frac{\sqrt[5]{5^5}}{\sqrt[5]{13^{10}}} = \frac{5^{\frac{5}{5}}}{13^{\frac{10}{5}}} = \frac{5^1}{13^2} = \frac{5}{169}$

Ответ: $\frac{5}{169}$

Возведите в степень:

35.10 a) $ (\sqrt{3})^2; $

б) $ (\sqrt[n]{a})^n; $

в) $ (\sqrt[5]{7})^5; $

г) $ (\sqrt[p]{b})^p. $

Для решения всех пунктов используется основное свойство арифметического корня n-ой степени, которое гласит, что для любого неотрицательного числа $a$ и любого натурального числа $n \ge 2$ справедливо равенство $(\sqrt[n]{a})^n = a$. Это равенство следует непосредственно из определения корня n-ой степени: $\sqrt[n]{a}$ — это такое неотрицательное число, n-ая степень которого равна $a$. Также можно использовать представление корня в виде степени с рациональным показателем: $\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$.

а)

Требуется возвести в квадрат выражение $\sqrt{3}$. Квадратный корень из числа 3 — это по определению такое число, квадрат которого равен 3.

Следовательно: $(\sqrt{3})^2 = 3$

Альтернативно, представим корень в виде степени с показателем $1/2$: $\sqrt{3} = 3^{1/2}$. Тогда, используя свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{mn}$: $(\sqrt{3})^2 = (3^{1/2})^2 = 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 3^1 = 3$.

Ответ: 3

б)

Это общий случай. Корень n-ой степени из числа $a$ по определению — это такое число, которое при возведении в степень $n$ дает в результате $a$.

$(\sqrt[n]{a})^n = a$

Данное равенство справедливо при условиях, что выражение $\sqrt[n]{a}$ определено (т.е. если $n$ — четное число, то $a \ge 0$).

Используя степени с рациональным показателем: $\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$. Тогда: $(\sqrt[n]{a})^n = (a^{1/n})^n = a^{\frac{1}{n} \cdot n} = a^1 = a$.

Ответ: a

в)

Данный пример является частным случаем предыдущего, где степень корня и показатель степени равны 5.

По определению корня пятой степени: $(\sqrt[5]{7})^5 = 7$

Используя степени с рациональным показателем: $\sqrt[5]{7} = 7^{1/5}$. Тогда: $(\sqrt[5]{7})^5 = (7^{1/5})^5 = 7^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 7^1 = 7$.

Ответ: 7

г)

Этот пример также иллюстрирует основное свойство корня, где степень корня и показатель степени равны $p$.

По определению корня p-ой степени из числа $b$: $(\sqrt[p]{b})^p = b$

Предполагается, что переменные $p$ и $b$ таковы, что выражение имеет смысл (например, $p$ — натуральное число, $p \ge 2$, и если $p$ — четное, то $b \ge 0$).

Используя степени с рациональным показателем: $\sqrt[p]{b} = b^{1/p}$. Тогда: $(\sqrt[p]{b})^p = (b^{1/p})^p = b^{\frac{1}{p} \cdot p} = b^1 = b$.

Ответ: b

35.14 а) $\sqrt[4]{b^8}$;

б) $\sqrt{l^6}$;

в) $\sqrt[5]{d^{15}}$;

г) $\sqrt[3]{t^{12}}$.

а)

Для упрощения выражения $\sqrt[4]{b^8}$ воспользуемся свойством корня $n$-ой степени, которое можно записать в виде формулы $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$. В данном случае $n=4$ и $m=8$.

Применим это свойство: $ \sqrt[4]{b^8} = b^{\frac{8}{4}} = b^2 $

Другой способ решения — представить подкоренное выражение в виде степени с показателем, равным показателю корня: $ b^8 = (b^2)^4 $

Тогда выражение примет вид: $ \sqrt[4]{b^8} = \sqrt[4]{(b^2)^4} $

Используем свойство $\sqrt[n]{x^n} = |x|$ для четного $n$. В нашем случае $n=4$ (четное), а выражение под знаком корня — это $(b^2)^4$. Следовательно: $ \sqrt[4]{(b^2)^4} = |b^2| $

Поскольку любое число в квадрате, $b^2$, является неотрицательным ($b^2 \ge 0$), модуль можно опустить: $ |b^2| = b^2 $

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $b^2$

б)

Для упрощения выражения $\sqrt{l^6}$ нужно учесть, что квадратный корень является корнем четной степени ($n=2$).

Представим подкоренное выражение $l^6$ в виде квадрата другого выражения: $ l^6 = (l^3)^2 $

Тогда исходное выражение можно переписать так: $ \sqrt{l^6} = \sqrt{(l^3)^2} $

При извлечении корня четной степени из выражения в той же степени необходимо использовать модуль, так как результат арифметического корня должен быть неотрицательным. Используем правило $\sqrt{x^2} = |x|$: $ \sqrt{(l^3)^2} = |l^3| $

Важно отметить, что ответ $l^3$ был бы неверным, так как $l^3$ может быть отрицательным (например, если $l = -2$, то $l^3 = -8$), в то время как значение квадратного корня не может быть отрицательным. Проверим: пусть $l=-2$. $ \sqrt{(-2)^6} = \sqrt{64} = 8 $. Наш результат: $|(-2)^3| = |-8| = 8$. Результаты совпадают.

Ответ: $|l^3|$

в)

Для упрощения выражения $\sqrt[5]{d^{15}}$ воспользуемся свойством корня $n$-ой степени: $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$.

В данном случае показатель корня $n=5$ (нечетный), а показатель степени под корнем $m=15$. $ \sqrt[5]{d^{15}} = d^{\frac{15}{5}} = d^3 $

Также можно представить подкоренное выражение в виде степени с показателем 5: $ d^{15} = (d^3)^5 $

Тогда: $ \sqrt[5]{d^{15}} = \sqrt[5]{(d^3)^5} $

Для нечетной степени корня справедливо тождество $\sqrt[n]{x^n} = x$ (модуль не нужен, так как корень нечетной степени может быть и отрицательным). $ \sqrt[5]{(d^3)^5} = d^3 $

Ответ: $d^3$

г)

Рассмотрим выражение $\sqrt[3]{t^{12}}$. Показатель корня $n=3$ является нечетным числом.

Воспользуемся свойством представления корня в виде степени с рациональным показателем: $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$. $ \sqrt[3]{t^{12}} = t^{\frac{12}{3}} = t^4 $

Альтернативный способ — представить подкоренное выражение в виде куба: $ t^{12} = (t^4)^3 $

Подставляем в исходное выражение: $ \sqrt[3]{t^{12}} = \sqrt[3]{(t^4)^3} $

Поскольку корень нечетной степени ($n=3$), применяем свойство $\sqrt[n]{x^n} = x$: $ \sqrt[3]{(t^4)^3} = t^4 $

Результат $t^4$ всегда неотрицателен, что соответствует тому, что подкоренное выражение $t^{12}$ также всегда неотрицательно.

Ответ: $t^4$