Страница 132, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

34.9 Решите графически уравнение:

a) $\sqrt{x} = -x;$

б) $\sqrt[3]{x} = 7 - 6x;$

в) $\sqrt[4]{x} = 2 - x;$

г) $\sqrt[5]{x} = -x^2.$

а)

Для того чтобы решить уравнение $\sqrt{x} = -x$ графически, необходимо построить графики двух функций в одной системе координат: $y = \sqrt{x}$ и $y = -x$.

График функции $y = \sqrt{x}$ представляет собой ветвь параболы, которая расположена в первой координатной четверти. Область определения этой функции — $x \ge 0$, а область значений — $y \ge 0$. Некоторые точки для построения: (0, 0), (1, 1), (4, 2).

График функции $y = -x$ — это прямая линия, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой второй и четвертой координатных четвертей.

При построении видно, что графики пересекаются в единственной точке — начале координат (0, 0). Это происходит потому, что для всех $x > 0$ функция $y = \sqrt{x}$ принимает положительные значения, а функция $y = -x$ — отрицательные. Абсцисса точки пересечения и есть решение уравнения.
Ответ: $x=0$

б)

Чтобы решить уравнение $\sqrt[3]{x} = 7 - 6x$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt[3]{x}$ и $y = 7 - 6x$.

График функции $y = \sqrt[3]{x}$ (кубический корень) определён для всех действительных чисел, является возрастающей функцией и симметричен относительно начала координат. Ключевые точки для построения: (-8, -2), (-1, -1), (0, 0), (1, 1), (8, 2).

График функции $y = 7 - 6x$ — это прямая. Так как угловой коэффициент (-6) отрицателен, функция является убывающей. Для построения прямой найдем две точки: при $x=0, y=7$ и при $x=1, y=1$.

Поскольку функция $y=\sqrt[3]{x}$ возрастает на всей своей области определения, а функция $y=7-6x$ убывает, их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Путем подбора можно легко найти, что при $x=1$ значения функций совпадают: $\sqrt[3]{1} = 1$ и $7 - 6 \cdot 1 = 1$. Таким образом, точка (1, 1) является точкой пересечения.
Ответ: $x=1$

в)

Для графического решения уравнения $\sqrt[4]{x} = 2 - x$ построим графики функций $y = \sqrt[4]{x}$ и $y = 2 - x$.

График функции $y = \sqrt[4]{x}$ определён при $x \ge 0$ и принимает неотрицательные значения ($y \ge 0$). Эта функция является возрастающей. Ключевые точки: (0, 0), (1, 1), (16, 2).

График функции $y = 2 - x$ — это убывающая прямая, пересекающая оси координат в точках (0, 2) и (2, 0).

Так как одна функция возрастающая, а другая убывающая, они могут иметь не более одной точки пересечения. Проверим целые значения. При $x=1$ получаем: $\sqrt[4]{1} = 1$ и $2 - 1 = 1$. Равенство верно, следовательно, графики пересекаются в точке (1, 1).
Ответ: $x=1$

г)

Чтобы решить уравнение $\sqrt[5]{x} = -x^2$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt[5]{x}$ и $y = -x^2$.

График функции $y = \sqrt[5]{x}$ определён для всех действительных чисел, является возрастающей функцией и симметричен относительно начала координат. Ключевые точки: (-1, -1), (0, 0), (1, 1).

График функции $y = -x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке (0, 0).

Построив графики, находим их точки пересечения.
1. Точка (0, 0) очевидно является точкой пересечения, так как $\sqrt[5]{0} = 0$ и $-0^2 = 0$.
2. При $x > 0$ значения функции $y=\sqrt[5]{x}$ положительны, а значения $y=-x^2$ отрицательны, поэтому других пересечений в этой области нет.
3. При $x < 0$ обе функции принимают отрицательные значения, поэтому пересечения возможны. Проверим значение $x=-1$: $y=\sqrt[5]{-1}=-1$ и $y=-(-1)^2=-1$. Значения совпали, значит, точка (-1, -1) также является точкой пересечения.
Других точек пересечения нет. Абсциссы найденных точек являются решениями уравнения.
Ответ: $x=0, x=-1$

Постройте и прочитайте график функции:

34.13 $y = \begin{cases} 2x^2, & \text{если } x < 0, \\ \sqrt[4]{x}, & \text{если } x \geq 0. \end{cases}$

Дана кусочно-заданная функция: $y = \begin{cases} 2x^2, & \text{если } x < 0 \\ \sqrt[4]{x}, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Построение графика

График данной функции состоит из двух частей, определённых на разных промежутках.

1. При $x < 0$ функция задается формулой $y = 2x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0, 0)$, растянутая в 2 раза вдоль оси Oy по сравнению с параболой $y=x^2$. Для построения мы берем только левую ветвь этой параболы, так как она определена для $x < 0$. Точка $(0, 0)$ является предельной для этой части графика, но не принадлежит ей (на графике её отмечают "выколотой" точкой), так как неравенство строгое.
Вычислим координаты нескольких контрольных точек:
- если $x = -1$, то $y = 2(-1)^2 = 2$. Точка $(-1, 2)$.
- если $x = -2$, то $y = 2(-2)^2 = 8$. Точка $(-2, 8)$.

2. При $x \ge 0$ функция задается формулой $y = \sqrt[4]{x}$. Это график степенной функции, который является ветвью параболы $x=y^4$, лежащей в первой координатной четверти. График начинается в точке $(0, 0)$ и плавно возрастает. Точка $(0, 0)$ принадлежит этой части графика, так как неравенство нестрогое ($x \ge 0$).
Вычислим координаты нескольких контрольных точек:
- если $x = 0$, то $y = \sqrt[4]{0} = 0$. Точка $(0, 0)$.
- если $x = 1$, то $y = \sqrt[4]{1} = 1$. Точка $(1, 1)$.
- если $x = 16$, то $y = \sqrt[4]{16} = 2$. Точка $(16, 2)$.

Соединяем обе части графика. В точке $x=0$ первая часть графика стремится к значению $y=0$ ($\lim_{x \to 0^-} 2x^2 = 0$), а вторая часть начинается со значения $y=0$ ($y(0)=\sqrt[4]{0}=0$). Это означает, что в точке $x=0$ разрыва нет, и график является непрерывной линией.

Свойства функции (чтение графика)

1. Область определения: Функция определена на объединении промежутков $(-\infty; 0)$ и $[0; +\infty)$, что составляет всю числовую ось.
Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: При $x < 0$, $y = 2x^2 > 0$. При $x \ge 0$, $y = \sqrt[4]{x} \ge 0$. Таким образом, функция принимает все неотрицательные значения.
Ответ: $E(y) = [0; +\infty)$.

3. Нули функции: Найдем $x$, при которых $y=0$.
- Уравнение $2x^2 = 0$ имеет корень $x=0$, который не входит в промежуток $x < 0$.
- Уравнение $\sqrt[4]{x} = 0$ имеет корень $x=0$, который входит в промежуток $x \ge 0$.
Следовательно, у функции один нуль.
Ответ: $x=0$.

4. Промежутки знакопостоянства: Функция равна нулю только при $x=0$. Для всех остальных $x \ne 0$, значение функции положительно.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$; нет промежутков, где $y < 0$.

5. Монотонность: На промежутке $(-\infty, 0)$ функция $y=2x^2$ убывает.
На промежутке $[0, +\infty)$ функция $y=\sqrt[4]{x}$ возрастает.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

6. Экстремумы: В точке $x=0$ убывание сменяется возрастанием, следовательно, $x=0$ — точка минимума.
Значение функции в этой точке: $y_{min} = y(0) = \sqrt[4]{0} = 0$.
Точек максимума у функции нет.
Ответ: $y_{min} = 0$ при $x=0$.

7. Четность и нечетность: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля. Проверим, выполняется ли равенство $y(-x) = y(x)$ или $y(-x) = -y(x)$.
Возьмем $x=1$: $y(1) = \sqrt[4]{1} = 1$.
Возьмем $x=-1$: $y(-1) = 2(-1)^2 = 2$.
Так как $y(-1) \ne y(1)$ и $y(-1) \ne -y(1)$, функция не является ни четной, ни нечетной.
Ответ: функция общего вида.

8. Непрерывность: На каждом из интервалов $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$ функция непрерывна как элементарная. Проверим непрерывность в точке "стыка" $x=0$.
Предел слева: $\lim_{x \to 0^-} y(x) = \lim_{x \to 0^-} 2x^2 = 0$.
Предел справа: $\lim_{x \to 0^+} y(x) = \lim_{x \to 0^+} \sqrt[4]{x} = 0$.
Значение функции в точке: $y(0) = \sqrt[4]{0} = 0$.
Так как пределы слева и справа равны значению функции в точке, функция непрерывна при $x=0$.
Ответ: функция непрерывна на всей области определения.

9. Ограниченность: Из области значений $E(y) = [0; +\infty)$ следует, что функция ограничена снизу числом 0. Сверху функция не ограничена, так как при $x \to \pm\infty$ значения $y \to +\infty$.
Ответ: функция ограничена снизу.

34.6 Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = \sqrt[4]{x}$:

а) на отрезке $[0; 1]$;

б) на полуинтервале $[1; 3)$;

в) на отрезке $[5; 16]$;

г) на луче $[16; +\infty)$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = \sqrt[4]{x}$ на различных промежутках, сначала исследуем ее на монотонность. Область определения функции — $x \ge 0$.

Найдем производную функции:

$y' = (x^{1/4})' = \frac{1}{4}x^{1/4 - 1} = \frac{1}{4}x^{-3/4} = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$

При $x > 0$ производная $y' > 0$, следовательно, функция $y = \sqrt[4]{x}$ является строго возрастающей на всей своей области определения $[0, +\infty)$. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$. На замкнутом отрезке $[a, b]$ наименьшее значение будет достигаться в левой границе $x=a$, а наибольшее — в правой границе $x=b$.

а) на отрезке [0; 1]

Так как функция возрастает, наименьшее значение на отрезке она принимает в его левой границе, а наибольшее — в правой.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(0) = \sqrt[4]{0} = 0$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(1) = \sqrt[4]{1} = 1$.

Ответ: наименьшее значение равно 0, наибольшее значение равно 1.

б) на полуинтервале [1; 3)

Функция возрастает на этом промежутке. Наименьшее значение достигается в левой точке $x=1$, которая входит в полуинтервал.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(1) = \sqrt[4]{1} = 1$.

Правая граница $x=3$ не принадлежит полуинтервалу. Значения функции стремятся к $y(3) = \sqrt[4]{3}$, но никогда не достигают этого значения. Следовательно, наибольшего значения на данном полуинтервале не существует.

Ответ: наименьшее значение равно 1, наибольшего значения не существует.

в) на отрезке [5; 16]

На данном отрезке функция возрастает. Наименьшее значение достигается в точке $x=5$, а наибольшее — в точке $x=16$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(5) = \sqrt[4]{5}$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(16) = \sqrt[4]{16} = 2$.

Ответ: наименьшее значение равно $\sqrt[4]{5}$, наибольшее значение равно 2.

г) на луче [16; +∞)

На этом луче функция возрастает. Наименьшее значение достигается в начальной точке луча $x=16$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(16) = \sqrt[4]{16} = 2$.

Поскольку аргумент $x$ неограниченно возрастает ($x \to +\infty$), значение функции $y = \sqrt[4]{x}$ также неограниченно возрастает. Таким образом, наибольшего значения на данном луче не существует.

Ответ: наименьшее значение равно 2, наибольшего значения не существует.

Определите число решений системы уравнений:

34.10 а) $ \begin{cases} y = \sqrt[4]{x}, \\ 2x - 3y = 6; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} y = \sqrt[3]{x}, \\ 3y - 4x = 0; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} y = \sqrt[5]{x}, \\ 6 - 2x - 3y = 0; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} y = \sqrt[6]{x}, \\ 5 + x - 2y = 0. \end{cases} $

Для определения числа решений системы уравнений удобно использовать графический метод. Число решений системы равно числу точек пересечения графиков функций, входящих в систему. Во всех случаях второе уравнение является линейным, его график — прямая. Первое уравнение — степенная функция с дробным показателем, график которой — кривая.

а) $ \begin{cases} y = \sqrt[4]{x} \\ 2x - 3y = 6 \end{cases} $

Первое уравнение $y = \sqrt[4]{x}$ — это функция, определённая при $x \ge 0$, и её значения также неотрицательны, $y \ge 0$. График этой функции — ветвь параболы, расположенная в первой координатной четверти, выходящая из начала координат.

Второе уравнение $2x - 3y = 6$ — это линейное уравнение. Выразим $y$ через $x$, чтобы построить график: $3y = 2x - 6 \implies y = \frac{2}{3}x - 2$. Это прямая с угловым коэффициентом $k = 2/3$ и пересекающая ось $Oy$ в точке $(0, -2)$, а ось $Ox$ в точке $(3, 0)$.

Для нахождения числа решений подставим $x=y^4$ из первого уравнения во второе (учитывая, что $y \ge 0$): $2y^4 - 3y = 6$ $2y^4 - 3y - 6 = 0$

Рассмотрим функцию $f(y) = 2y^4 - 3y - 6$ для $y \ge 0$. $f(0) = -6$. $f(1) = 2 - 3 - 6 = -7$. $f(2) = 2 \cdot 2^4 - 3 \cdot 2 - 6 = 32 - 6 - 6 = 20$. Так как функция $f(y)$ непрерывна, и на отрезке $[1, 2]$ она меняет знак с отрицательного на положительный, то на этом интервале существует как минимум один корень.

Чтобы определить точное количество корней, исследуем производную: $f'(y) = 8y^3 - 3$. Найдём точку, в которой производная равна нулю: $8y^3 - 3 = 0 \implies y^3 = 3/8 \implies y = \sqrt[3]{3/8}$. При $y > \sqrt[3]{3/8}$ производная $f'(y) > 0$, следовательно, функция $f(y)$ возрастает. При $0 \le y < \sqrt[3]{3/8}$ производная $f'(y) < 0$, следовательно, функция $f(y)$ убывает. Таким образом, функция сначала убывает от $f(0) = -6$ до своего минимального значения (которое также отрицательно), а затем монотонно возрастает. Так как $f(2)=20>0$, то график функции $f(y)$ пересекает ось абсцисс ровно один раз при $y>0$. Следовательно, система имеет одно решение.

Ответ: 1.

б) $ \begin{cases} y = \sqrt[3]{x} \\ 3y - 4x = 0 \end{cases} $

Функция $y = \sqrt[3]{x}$ определена для всех действительных чисел. Второе уравнение $3y - 4x = 0$ можно переписать как $y = \frac{4}{3}x$. Это прямая, проходящая через начало координат.

Поскольку оба графика проходят через точку $(0, 0)$, это уже одно решение. Для поиска других решений подставим $y = \sqrt[3]{x}$ во второе уравнение: $3\sqrt[3]{x} - 4x = 0$

Вынесем $\sqrt[3]{x}$ за скобки: $\sqrt[3]{x}(3 - 4x^{2/3}) = 0$

Это уравнение распадается на два: 1) $\sqrt[3]{x} = 0 \implies x = 0$. Соответствующее значение $y=0$. Решение: $(0, 0)$. 2) $3 - 4x^{2/3} = 0 \implies 4x^{2/3} = 3 \implies x^{2/3} = \frac{3}{4}$. Возведём обе части в степень $3/2$: $(x^{2/3})^{3/2} = (\frac{3}{4})^{3/2}$ $|x| = \frac{3^{3/2}}{4^{3/2}} = \frac{(\sqrt{3})^3}{(\sqrt{4})^3} = \frac{3\sqrt{3}}{8}$. Отсюда получаем два значения для $x$: $x_1 = \frac{3\sqrt{3}}{8}$ и $x_2 = -\frac{3\sqrt{3}}{8}$.

Для каждого значения $x$ найдём соответствующий $y$: При $x_1 = \frac{3\sqrt{3}}{8}$, $y_1 = \sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}}{8}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. При $x_2 = -\frac{3\sqrt{3}}{8}$, $y_2 = \sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}}{8}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Всего получается три различных решения.

Ответ: 3.

в) $ \begin{cases} y = \sqrt[5]{x} \\ 6 - 2x - 3y = 0 \end{cases} $

Функция $y = \sqrt[5]{x}$ определена и является строго возрастающей на всей числовой оси. Второе уравнение $6 - 2x - 3y = 0$ преобразуем к виду $3y = -2x + 6 \implies y = -\frac{2}{3}x + 2$. Это линейная функция, график которой — прямая. Её угловой коэффициент $k = -2/3 < 0$, значит, функция является строго убывающей.

Строго возрастающая и строго убывающая функции могут пересечься не более чем в одной точке. Чтобы убедиться, что пересечение существует, рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt[5]{x} - (-\frac{2}{3}x + 2) = \sqrt[5]{x} + \frac{2}{3}x - 2$. $f(1) = \sqrt[5]{1} + \frac{2}{3}(1) - 2 = 1 + \frac{2}{3} - 2 = -\frac{1}{3} < 0$. $f(32) = \sqrt[5]{32} + \frac{2}{3}(32) - 2 = 2 + \frac{64}{3} - 2 = \frac{64}{3} > 0$. Поскольку функция $f(x)$ непрерывна и принимает значения разных знаков, она имеет по крайней мере один корень. Так как она является суммой двух возрастающих функций и константы, она строго возрастает, а значит, корень единственный. Следовательно, система имеет одно решение.

Ответ: 1.

г) $ \begin{cases} y = \sqrt[6]{x} \\ 5 + x - 2y = 0 \end{cases} $

Функция $y = \sqrt[6]{x}$ определена при $x \ge 0$, её значения $y \ge 0$. Второе уравнение $5 + x - 2y = 0$ преобразуем к виду $2y = x + 5 \implies y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$.

Сравним значения функций в точке $x=0$: Для кривой: $y = \sqrt[6]{0} = 0$. Для прямой: $y = \frac{1}{2}(0) + \frac{5}{2} = 2.5$. В точке $x=0$ прямая находится выше кривой.

Обе функции возрастают при $x > 0$. Однако линейная функция $y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$ растет быстрее, чем степенная функция $y = x^{1/6}$. Это означает, что прямая, начав "выше" кривой, всегда будет оставаться выше нее. Таким образом, графики не пересекаются.

Проверим это аналитически. Подставим $x=y^6$ во второе уравнение (учитывая, что $y \ge 0$): $5 + y^6 - 2y = 0$. Рассмотрим функцию $f(y) = y^6 - 2y + 5$ при $y \ge 0$. Найдём её наименьшее значение. Производная $f'(y) = 6y^5 - 2$. $f'(y) = 0 \implies 6y^5 = 2 \implies y^5 = 1/3 \implies y = \sqrt[5]{1/3}$. Это точка минимума. Значение функции в этой точке: $f(\sqrt[5]{1/3}) = (\sqrt[5]{1/3})^6 - 2(\sqrt[5]{1/3}) + 5 = (1/3)^{6/5} - 2(1/3)^{1/5} + 5 = \frac{1}{3}(1/3)^{1/5} - 2(1/3)^{1/5} + 5 = 5 - \frac{5}{3}(1/3)^{1/5}$. Так как $3^{1/5} > 1$, то $(1/3)^{1/5} < 1$. Тогда $\frac{5}{3}(1/3)^{1/5} < \frac{5}{3} < 5$. Следовательно, минимальное значение $f(y)$ положительно. Это значит, что $f(y)$ никогда не равно нулю. Решений нет.

Ответ: 0.

34.7 Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = \sqrt[5]{x}$:

a) на отрезке $[-1; 1];

б) на луче $(-\infty; 1];

в) на отрезке $[-32; 32];

г) на луче $[2; +\infty)$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = \sqrt[5]{x}$ на заданных промежутках, сначала проанализируем её поведение.

Функция $y = x^{1/5}$ определена для всех действительных чисел $x$. Найдем её производную: $y' = (x^{1/5})' = \frac{1}{5}x^{-4/5} = \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}}$.

Знаменатель $\sqrt[5]{x^4}$ положителен для всех $x \neq 0$ (так как $x^4 > 0$). Следовательно, производная $y' > 0$ для всех $x$ из области определения, кроме $x=0$. Это означает, что функция $y = \sqrt[5]{x}$ является строго возрастающей на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$.

Для возрастающей функции на отрезке наименьшее значение достигается в его левом конце, а наибольшее — в правом. Для луча значение достигается на его конечном конце, а на бесконечности функция не ограничена (если луч уходит в бесконечность).

а) на отрезке [-1; 1]
Поскольку функция строго возрастает, наименьшее значение будет при $x = -1$, а наибольшее — при $x = 1$.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-1) = \sqrt[5]{-1} = -1$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(1) = \sqrt[5]{1} = 1$.
Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = -1$, наибольшее значение $y_{наиб} = 1$.

б) на луче $(-\infty; 1]$
Так как функция строго возрастает, наибольшее значение на этом луче достигается в его крайней правой точке $x = 1$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(1) = \sqrt[5]{1} = 1$.
Поскольку луч уходит в $-\infty$, а функция неограничена снизу (при $x \to -\infty$, $y \to -\infty$), наименьшего значения на данном луче не существует.
Ответ: наибольшее значение $y_{наиб} = 1$, наименьшего значения не существует.

в) на отрезке [-32; 32]
На отрезке $[-32; 32]$ возрастающая функция принимает наименьшее значение в его левом конце, а наибольшее — в правом.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-32) = \sqrt[5]{-32} = \sqrt[5]{(-2)^5} = -2$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(32) = \sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^5} = 2$.
Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = -2$, наибольшее значение $y_{наиб} = 2$.

г) на луче $[2; +\infty)$
На луче $[2; +\infty)$ возрастающая функция принимает наименьшее значение в его крайней левой точке $x = 2$.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(2) = \sqrt[5]{2}$.
Поскольку луч уходит в $+\infty$, а функция неограничена сверху (при $x \to +\infty$, $y \to +\infty$), наибольшего значения на данном луче не существует.
Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = \sqrt[5]{2}$, наибольшего значения не существует.

34.11 a) $y = \sqrt[4]{x} - 1,$

$y = x^2 - 2x - 8;$

б) $y = 2\sqrt[3]{x},$

$y = 10x - 16 - x^2.$

Для нахождения точек пересечения графиков функций, заданных уравнениями системы, приравняем правые части этих уравнений:

$y = \sqrt[4]{x} - 1$

$y = x^2 - 2x - 8$

$\sqrt[4]{x} - 1 = x^2 - 2x - 8$

Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$ определяется наличием корня четвертой степени, который определен для неотрицательных чисел: $x \ge 0$.

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$x^2 - 2x - \sqrt[4]{x} - 7 = 0$

Решить данное уравнение аналитически (найти точное значение корня) затруднительно. Проведем исследование, чтобы определить количество решений и их примерное расположение. Для этого рассмотрим функцию $h(x) = x^2 - 2x - \sqrt[4]{x} - 7$ и найдем ее корни.

Вычислим значения функции $h(x)$ в нескольких точках:

• При $x=4$: $h(4) = 4^2 - 2(4) - \sqrt[4]{4} - 7 = 16 - 8 - \sqrt{2} - 7 = 1 - \sqrt{2} \approx -0.414$. Таким образом, $h(4) < 0$.
• При $x=5$: $h(5) = 5^2 - 2(5) - \sqrt[4]{5} - 7 = 25 - 10 - \sqrt[4]{5} - 7 = 8 - \sqrt[4]{5}$. Так как $1^4=1$ и $2^4=16$, то $1 < \sqrt[4]{5} < 2$. Следовательно, $h(5) = 8 - \sqrt[4]{5} > 0$.

Функция $h(x)$ непрерывна на отрезке $[4, 5]$. Поскольку на концах этого отрезка она принимает значения разных знаков ($h(4) < 0$ и $h(5) > 0$), по теореме Больцано-Коши о промежуточном значении, на интервале $(4, 5)$ существует как минимум один корень уравнения $h(x)=0$.

Чтобы определить точное количество корней, можно исследовать функцию на монотонность с помощью производной. Вторая производная $h''(x) = 2 + \frac{3}{16}x^{-7/4}$ всегда положительна при $x > 0$. Это означает, что функция $h(x)$ является выпуклой вниз, а такая функция может пересекать ось абсцисс не более двух раз. Учитывая, что $h(0) = -7$ и функция имеет единственный глобальный минимум, можно заключить, что корень только один.

Таким образом, система имеет единственное решение, которое не является целым или простым рациональным числом и может быть найдено только численными методами.

Ответ: система имеет одно решение, причем координата $x$ этого решения лежит в интервале $(4, 5)$.

Приравняем правые части уравнений данной системы:

$y = 2\sqrt[3]{x}$

$y = 10x - 16 - x^2$

$2\sqrt[3]{x} = 10x - 16 - x^2$

Область допустимых значений $x$ — все действительные числа, так как корень кубический определен для любого числа.

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

$2\sqrt[3]{x} + x^2 - 10x + 16 = 0$

Как и в предыдущем случае, решим задачу с помощью исследования функции $f(x) = 2\sqrt[3]{x} + x^2 - 10x + 16$.

Вычислим значения функции в нескольких точках:

• При $x=2$: $f(2) = 2\sqrt[3]{2} + 2^2 - 10(2) + 16 = 2\sqrt[3]{2} + 4 - 20 + 16 = 2\sqrt[3]{2}$. Так как $\sqrt[3]{2} > 0$, то $f(2) > 0$.
• При $x=5$ (точка вершины параболы $y=-x^2+10x-16$): $f(5) = 2\sqrt[3]{5} + 5^2 - 10(5) + 16 = 2\sqrt[3]{5} + 25 - 50 + 16 = 2\sqrt[3]{5} - 9$. Так как $\sqrt[3]{5} < \sqrt[3]{27}=3$, то $2\sqrt[3]{5} < 6$, следовательно $f(5) = 2\sqrt[3]{5} - 9 < 0$.
• При $x=8$: $f(8) = 2\sqrt[3]{8} + 8^2 - 10(8) + 16 = 2(2) + 64 - 80 + 16 = 4 + 0 = 4$. Таким образом, $f(8) > 0$.

Функция $f(x)$ непрерывна на всей числовой оси. Проанализируем знаки на концах отрезков:

• На отрезке $[2, 5]$ функция меняет знак с положительного ($f(2)>0$) на отрицательный ($f(5)<0$). Следовательно, на интервале $(2, 5)$ есть как минимум один корень.
• На отрезке $[5, 8]$ функция меняет знак с отрицательного ($f(5)<0$) на положительный ($f(8)>0$). Следовательно, на интервале $(5, 8)$ есть как минимум один корень.

Дальнейший анализ с помощью производной подтверждает, что других корней нет.

Таким образом, система имеет два решения. Точные значения этих решений не выражаются через элементарные функции и могут быть найдены численными методами.

Ответ: система имеет два решения. Одно решение лежит в интервале $(2, 5)$, другое — в интервале $(5, 8)$.

34.8 Найдите точки пересечения графиков функций:

а) $y = \sqrt[4]{x}$ и $y = x^2$;

б) $y = \sqrt[3]{x}$ и $y = |x|$;

в) $y = \sqrt[6]{x}$ и $y = x$;

г) $y = \sqrt[5]{x}$ и $y = -x - 2$.

а) Для нахождения точек пересечения графиков функций $y = \sqrt[4]{x}$ и $y = x^2$ необходимо приравнять выражения для $y$:
$\sqrt[4]{x} = x^2$
Область допустимых значений (ОДЗ) для этой уравнения определяется наличием корня четной степени: $x \ge 0$.
Возведем обе части уравнения в 4-ю степень, чтобы избавиться от радикала:
$(\sqrt[4]{x})^4 = (x^2)^4$
$x = x^8$
Перенесем все члены в одну сторону:
$x^8 - x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^7 - 1) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$x = 0$ или $x^7 - 1 = 0$, откуда $x^7 = 1$, то есть $x = 1$.
Оба найденных значения $x=0$ и $x=1$ удовлетворяют ОДЗ ($x \ge 0$).
Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в любую из исходных функций, например, в $y = x^2$:
При $x = 0$, $y = 0^2 = 0$. Точка пересечения: $(0, 0)$.
При $x = 1$, $y = 1^2 = 1$. Точка пересечения: $(1, 1)$.
Ответ: $(0, 0)$, $(1, 1)$.

б) Для нахождения точек пересечения графиков функций $y = \sqrt[3]{x}$ и $y = |x|$ приравняем их:
$\sqrt[3]{x} = |x|$
Область допустимых значений для $x$ - все действительные числа.
Возведем обе части уравнения в 3-ю степень:
$(\sqrt[3]{x})^3 = |x|^3$
$x = |x|^3$
Так как $|x|^3 \ge 0$ для любого $x$, то и левая часть уравнения должна быть неотрицательной, то есть $x \ge 0$.
При условии $x \ge 0$, модуль $|x|$ равен $x$. Уравнение принимает вид:
$x = x^3$
$x^3 - x = 0$
$x(x^2 - 1) = 0$
$x(x-1)(x+1) = 0$
Получаем корни: $x=0$, $x=1$, $x=-1$.
Учитывая условие $x \ge 0$, нам подходят только $x=0$ и $x=1$.
Найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в функцию $y = |x|$:
При $x = 0$, $y = |0| = 0$. Точка пересечения: $(0, 0)$.
При $x = 1$, $y = |1| = 1$. Точка пересечения: $(1, 1)$.
Ответ: $(0, 0)$, $(1, 1)$.

в) Найдем точки пересечения графиков функций $y = \sqrt[6]{x}$ и $y = x$. Приравняем их:
$\sqrt[6]{x} = x$
ОДЗ: $x \ge 0$.
Возведем обе части уравнения в 6-ю степень:
$(\sqrt[6]{x})^6 = x^6$
$x = x^6$
$x^6 - x = 0$
$x(x^5 - 1) = 0$
Отсюда $x = 0$ или $x^5 - 1 = 0$, что дает $x^5 = 1$, то есть $x = 1$.
Оба корня ($x=0$ и $x=1$) входят в ОДЗ.
Найдем соответствующие значения $y$ из уравнения $y=x$:
При $x = 0$, $y = 0$. Точка пересечения: $(0, 0)$.
При $x = 1$, $y = 1$. Точка пересечения: $(1, 1)$.
Ответ: $(0, 0)$, $(1, 1)$.

г) Найдем точки пересечения графиков функций $y = \sqrt[5]{x}$ и $y = -x - 2$. Приравняем их:
$\sqrt[5]{x} = -x - 2$
ОДЗ для $x$ - все действительные числа.
Это уравнение сложно решить аналитически. Проанализируем функции.
Функция $f(x) = \sqrt[5]{x}$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси.
Функция $g(x) = -x - 2$ является монотонно убывающей (это прямая с отрицательным угловым коэффициентом).
Монотонно возрастающая и монотонно убывающая функции могут иметь не более одной точки пересечения.
Попробуем найти решение методом подбора, проверяя целые значения $x$.
Пусть $x = -1$.
Тогда левая часть: $\sqrt[5]{-1} = -1$.
Правая часть: $-(-1) - 2 = 1 - 2 = -1$.
Левая часть равна правой, значит $x = -1$ является корнем уравнения.
Найдем соответствующее значение $y$:
$y = \sqrt[5]{-1} = -1$.
Так как точка пересечения единственная, это и есть искомое решение.
Ответ: $(-1, -1)$.

34.12 a) $\begin{cases} y = \sqrt[5]{x}, \\ y = 2x^4 - 5; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = \sqrt[4]{x}, \\ y = (x + 3)^6 - 1. \end{cases}$

а)

Требуется найти количество решений системы уравнений:$\begin{cases} y = \sqrt[5]{x} \\ y = 2x^4 - 5\end{cases}$

Количество решений системы равно количеству точек пересечения графиков функций $f(x) = \sqrt[5]{x}$ и $g(x) = 2x^4 - 5$.

Проанализируем свойства этих функций.
1. Функция $f(x) = \sqrt[5]{x} = x^{1/5}$ определена для всех действительных чисел ($D(f) = \mathbb{R}$). Её производная $f'(x) = \frac{1}{5}x^{-4/5} = \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}}$. Поскольку $x^4 \ge 0$, производная $f'(x) > 0$ для всех $x \neq 0$. Следовательно, функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей своей области определения.
2. Функция $g(x) = 2x^4 - 5$ также определена для всех действительных чисел ($D(g) = \mathbb{R}$). Это чётная функция, её график симметричен относительно оси ординат. Производная $g'(x) = 8x^3$.
- При $x < 0$, $g'(x) < 0$, следовательно, функция $g(x)$ убывает.
- При $x > 0$, $g'(x) > 0$, следовательно, функция $g(x)$ возрастает.
- В точке $x = 0$ функция $g(x)$ имеет минимум, равный $g(0) = 2(0)^4 - 5 = -5$.

Рассмотрим количество пересечений графиков на разных промежутках:

1. При $x < 0$:
Функция $f(x) = \sqrt[5]{x}$ возрастает, а функция $g(x) = 2x^4 - 5$ убывает. Возрастающая и убывающая функции могут пересечься не более одного раза.
Проверим значения функций в некоторых точках:
- При $x = -1$: $f(-1) = \sqrt[5]{-1} = -1$, $g(-1) = 2(-1)^4 - 5 = 2 - 5 = -3$. Здесь $f(-1) > g(-1)$.
- При $x = -2$: $f(-2) = \sqrt[5]{-2} \approx -1.15$, $g(-2) = 2(-2)^4 - 5 = 2 \cdot 16 - 5 = 27$. Здесь $f(-2) < g(-2)$.
Поскольку обе функции непрерывны, а на концах отрезка $[-2, -1]$ разность $f(x) - g(x)$ меняет знак, то по теореме о промежуточном значении на интервале $(-2, -1)$ есть хотя бы одна точка пересечения. Так как на промежутке $(-\infty, 0)$ одна функция возрастает, а другая убывает, эта точка пересечения единственная. Таким образом, есть одно отрицательное решение.

2. При $x = 0$:
$f(0) = \sqrt[5]{0} = 0$.
$g(0) = 2(0)^4 - 5 = -5$.
Поскольку $f(0) \neq g(0)$, $x=0$ не является решением.

3. При $x > 0$:
Обе функции $f(x)$ и $g(x)$ возрастают.
Сравним их значения:
- При $x=0$ (на границе области): $f(0)=0$, $g(0)=-5$. То есть $f(0) > g(0)$.
- При $x=2$: $f(2) = \sqrt[5]{2} \approx 1.15$, $g(2) = 2(2)^4 - 5 = 32 - 5 = 27$. Здесь $f(2) < g(2)$.
Поскольку при $x=0$ график $f(x)$ находится выше графика $g(x)$, а при $x=2$ — ниже, и обе функции непрерывны, то на интервале $(0, 2)$ есть как минимум одна точка пересечения.
Степень $x$ у функции $g(x)$ (равная 4) больше степени $x$ у функции $f(x)$ (равной $1/5$), поэтому при больших $x$ функция $g(x)$ растет значительно быстрее, чем $f(x)$. Это говорит о том, что после пересечения график $g(x)$ будет всегда выше графика $f(x)$. Графически это означает наличие одного пересечения.
Более строго, рассмотрим разность $h(x) = g(x) - f(x) = 2x^4 - 5 - x^{1/5}$. Её производная $h'(x) = 8x^3 - \frac{1}{5}x^{-4/5}$. Уравнение $h'(x)=0$ имеет единственный положительный корень. Это означает, что у функции $h(x)$ на промежутке $(0, \infty)$ есть только один экстремум (минимум). Поскольку $h(x)$ начинается со значения $h(0)=-5$, убывает до некоторого минимального отрицательного значения, а затем возрастает до $+\infty$, она пересекает ось абсцисс ровно один раз. Таким образом, есть одно положительное решение.

Суммируя, мы имеем одно отрицательное решение и одно положительное решение. Всего 2 решения.

Ответ: 2.

б)

Требуется найти количество решений системы уравнений:$\begin{cases} y = \sqrt[4]{x} \\ y = (x+3)^6 - 1\end{cases}$

Количество решений системы равно количеству точек пересечения графиков функций $f(x) = \sqrt[4]{x}$ и $g(x) = (x+3)^6 - 1$.

Функция $f(x) = \sqrt[4]{x}$ определена только при $x \ge 0$. Следовательно, мы ищем решения только в этой области.

Проанализируем поведение функций на промежутке $[0, \infty)$:
1. Функция $f(x) = \sqrt[4]{x}$ возрастает на всей своей области определения. В точке $x=0$ её значение $f(0)=0$.
2. Функция $g(x) = (x+3)^6 - 1$ имеет минимум в точке $x=-3$. Следовательно, на промежутке $[0, \infty)$ она является строго возрастающей.
Найдем наименьшее значение функции $g(x)$ на промежутке $[0, \infty)$. Так как она возрастает, минимум достигается в точке $x=0$:
$g(0) = (0+3)^6 - 1 = 3^6 - 1 = 729 - 1 = 728$.
Таким образом, для любого $x \ge 0$, значение $g(x) \ge 728$.

Сравним функции $f(x)$ и $g(x)$ на $[0, \infty)$.

1. На отрезке $[0, 1]$:
Для любого $x \in [0, 1]$, значение $f(x) = \sqrt[4]{x}$ находится в диапазоне $[0, 1]$, то есть $f(x) \le 1$.
В то же время, для любого $x \in [0, 1]$, значение $g(x) = (x+3)^6 - 1 \ge g(0) = 728$.
Поскольку $g(x) \ge 728$, а $f(x) \le 1$, очевидно, что на отрезке $[0, 1]$ $g(x) > f(x)$, и пересечений нет.

2. На промежутке $[1, \infty)$:
Рассмотрим разность функций $h(x) = g(x) - f(x) = (x+3)^6 - 1 - \sqrt[4]{x}$.
В точке $x=1$: $h(1) = g(1) - f(1) = ((1+3)^6 - 1) - \sqrt[4]{1} = (4^6 - 1) - 1 = 4096 - 2 = 4094$.
Так как $h(1) = 4094 > 0$, в точке $x=1$ график $g(x)$ находится выше графика $f(x)$.
Теперь сравним скорости роста функций, то есть их производные, при $x \ge 1$:
$f'(x) = \frac{1}{4}x^{-3/4} = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$. При $x \ge 1$, $x^3 \ge 1$, поэтому $f'(x) \le \frac{1}{4}$.
$g'(x) = 6(x+3)^5$. При $x \ge 1$, $x+3 \ge 4$, поэтому $g'(x) \ge 6(4)^5 = 6 \cdot 1024 = 6144$.
Таким образом, для любого $x \ge 1$, $g'(x) > f'(x)$. Это означает, что функция $g(x)$ растет гораздо быстрее, чем $f(x)$, и разрыв между ними только увеличивается.
Так как $h(1) > 0$ и $h'(x) = g'(x) - f'(x) > 0$ для всех $x \ge 1$, функция $h(x)$ на промежутке $[1, \infty)$ строго возрастает. Следовательно, $h(x) > h(1) > 0$ для всех $x>1$. Это значит, что $g(x) > f(x)$ на всем промежутке $[1, \infty)$.

Мы показали, что $g(x) > f(x)$ на $[0, 1]$ и на $[1, \infty)$. Следовательно, $g(x) > f(x)$ для всех $x \ge 0$. Графики функций не пересекаются.

Ответ: 0.