Страница 126, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

32.20 Сумма двух целых чисел равна 24. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наибольшее значение.

Обозначим два искомых целых числа как $x$ и $y$.

Согласно условию задачи, их сумма равна 24, что можно записать в виде уравнения: $x + y = 24$.

Нам нужно найти такие целые $x$ и $y$, чтобы их произведение $P = x \cdot y$ было максимальным.

Выразим переменную $y$ из уравнения суммы: $y = 24 - x$.

Подставим это выражение в формулу для произведения, чтобы получить функцию, зависящую от одной переменной $x$:
$P(x) = x \cdot (24 - x) = 24x - x^2$.

Функция $P(x) = -x^2 + 24x$ является квадратичной. Ее график — это парабола, ветви которой направлены вниз (поскольку коэффициент при $x^2$ отрицателен, $a = -1$). Следовательно, функция достигает своего наибольшего значения в вершине параболы.

Абсцисса вершины параболы, заданной уравнением $f(x) = ax^2 + bx + c$, находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

Для нашей функции $P(x)$ коэффициенты равны $a = -1$ и $b = 24$. Найдем координату $x$ вершины: $x_0 = -\frac{24}{2 \cdot (-1)} = -\frac{24}{-2} = 12$.

Значение $x=12$ является целым числом, что соответствует условию задачи. Теперь найдем соответствующее значение $y$: $y = 24 - x = 24 - 12 = 12$.

Таким образом, два искомых числа — это 12 и 12. Проверим: их сумма $12 + 12 = 24$, а их произведение $12 \cdot 12 = 144$ является максимальным. Любая другая пара целых чисел, дающая в сумме 24 (например, 11 и 13, или 10 и 14), даст меньшее произведение (143, 140 и т.д.).

Ответ: 12 и 12.

32.24 Представьте число 5 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы произведение первого слагаемого и куба второго слагаемого было наибольшим.

Пусть первое и второе положительные слагаемые равны $x$ и $y$ соответственно. Согласно условию задачи, их сумма равна 5. Это можно записать в виде уравнения:

$x + y = 5$

Так как слагаемые положительные, должны выполняться неравенства $x > 0$ и $y > 0$.

Нам необходимо найти такие $x$ и $y$, чтобы произведение первого слагаемого и куба второго слагаемого было наибольшим. Составим функцию, которую нужно максимизировать:

$P = x \cdot y^3$

Для того чтобы найти максимум этой функции, выразим одну переменную через другую, используя уравнение связи $x + y = 5$. Выразим $x$:

$x = 5 - y$

Теперь подставим это выражение в функцию $P$:

$P(y) = (5 - y)y^3 = 5y^3 - y^4$

Мы получили функцию одной переменной $y$. Найдем область определения этой функции. Так как $y > 0$ и $x > 0$, то $5 - y > 0$, что означает $y < 5$. Следовательно, мы ищем максимум функции $P(y)$ на интервале $(0, 5)$.

Для нахождения точки максимума найдем производную функции $P(y)$ по переменной $y$:

$P'(y) = (5y^3 - y^4)' = 15y^2 - 4y^3$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$15y^2 - 4y^3 = 0$

Вынесем общий множитель $y^2$ за скобки:

$y^2(15 - 4y) = 0$

Это уравнение имеет два решения: $y = 0$ и $15 - 4y = 0$.

Первое решение $y = 0$ не входит в наш интервал $(0, 5)$, так как слагаемые должны быть положительными.

Решим второе уравнение:

$15 - 4y = 0 \implies 4y = 15 \implies y = \frac{15}{4}$

Значение $y = \frac{15}{4} = 3.75$ принадлежит интервалу $(0, 5)$, поэтому это единственная критическая точка в рассматриваемой области.

Чтобы убедиться, что это точка максимума, исследуем знак производной $P'(y) = y^2(15 - 4y)$ слева и справа от точки $y = \frac{15}{4}$.

• При $0 < y < \frac{15}{4}$, множитель $(15 - 4y)$ положителен, $y^2$ тоже положителен, значит $P'(y) > 0$. Функция $P(y)$ на этом интервале возрастает.
• При $y > \frac{15}{4}$ (и $y < 5$), множитель $(15 - 4y)$ отрицателен, $y^2$ положителен, значит $P'(y) < 0$. Функция $P(y)$ на этом интервале убывает.

Поскольку при переходе через точку $y = \frac{15}{4}$ знак производной меняется с «+» на «−», эта точка является точкой максимума.

Теперь найдем соответствующее значение первого слагаемого $x$:

$x = 5 - y = 5 - \frac{15}{4} = \frac{20}{4} - \frac{15}{4} = \frac{5}{4}$

Таким образом, число 5 нужно представить в виде суммы двух слагаемых: $\frac{5}{4}$ (первое слагаемое) и $\frac{15}{4}$ (второе слагаемое).

Ответ: $5 = \frac{5}{4} + \frac{15}{4}$.

32.28 Огораживают спортивную площадку прямоугольной формы площадью $2500 \text{ м}^2$. Каковы должны быть её размеры, чтобы на забор ушло наименьшее количество сетки «рабицы»?

Это задача на оптимизацию. Нам нужно найти размеры прямоугольника, которые при заданной площади минимизируют его периметр.

Пусть стороны прямоугольной спортивной площадки равны $a$ и $b$ метров.

Площадь площадки $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. По условию, $S = 2500$ м², следовательно, у нас есть уравнение:
$a \cdot b = 2500$

Количество сетки, необходимое для забора, равно периметру площадки $P$. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$. Нам нужно найти такие значения $a$ и $b$, при которых периметр $P$ будет наименьшим.

Из уравнения площади выразим одну из сторон через другую. Например, выразим $b$ через $a$:
$b = \frac{2500}{a}$

Теперь подставим это выражение в формулу для периметра. Таким образом, мы получим функцию периметра, зависящую только от одной переменной $a$:
$P(a) = 2(a + \frac{2500}{a}) = 2a + \frac{5000}{a}$

Чтобы найти минимальное значение функции $P(a)$, нужно найти её производную по $a$ и приравнять её к нулю.
$P'(a) = (2a + \frac{5000}{a})' = (2a + 5000a^{-1})' = 2 - 5000a^{-2} = 2 - \frac{5000}{a^2}$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек (точек возможного экстремума):
$P'(a) = 0$
$2 - \frac{5000}{a^2} = 0$
$2 = \frac{5000}{a^2}$
$2a^2 = 5000$
$a^2 = 2500$
Поскольку длина стороны не может быть отрицательной, берём положительный корень:
$a = \sqrt{2500} = 50$ м.

Чтобы убедиться, что это точка минимума, а не максимума, найдем вторую производную:
$P''(a) = (2 - 5000a^{-2})' = -5000 \cdot (-2)a^{-3} = \frac{10000}{a^3}$
При $a=50$, значение второй производной $P''(50) = \frac{10000}{50^3} > 0$. Положительное значение второй производной подтверждает, что при $a=50$ м функция периметра достигает своего минимума.

Теперь, зная одну сторону, найдём вторую сторону $b$:
$b = \frac{2500}{a} = \frac{2500}{50} = 50$ м.

Таким образом, для того чтобы на забор ушло наименьшее количество сетки, спортивная площадка должна иметь форму квадрата со стороной 50 метров. Это общий принцип: для заданной площади наименьший периметр имеет квадрат.

Ответ: Размеры площадки должны быть 50 м на 50 м.

32.21 Произведение двух положительных чисел равно 484. Найдите эти числа, если известно, что их сумма принимает наибольшее значение.

Пусть искомые положительные числа – это $x$ и $y$. Согласно условию задачи, мы имеем два соотношения:
1. Произведение чисел равно 484: $x \cdot y = 484$.
2. Сумма чисел $S = x + y$ должна принимать наибольшее значение.

Поскольку оба числа положительные ($x > 0, y > 0$), мы можем выразить одно через другое из первого уравнения. Например, выразим $y$ через $x$: $y = \frac{484}{x}$

Теперь подставим это выражение в формулу для суммы, чтобы получить функцию суммы, зависящую только от одной переменной $x$: $S(x) = x + \frac{484}{x}$

Нам необходимо найти наибольшее значение функции $S(x)$ на ее области определения, которая для положительного числа $x$ является интервалом $(0, +\infty)$. Для этого исследуем поведение функции на границах этого интервала.

1. Рассмотрим, что происходит с суммой, когда одно из чисел становится очень маленьким (стремится к нулю). Пусть $x \to 0^+$. Тогда второе число $y = \frac{484}{x}$ будет стремиться к плюс бесконечности ($+\infty$). Их сумма $S(x)$ также будет стремиться к плюс бесконечности: $\lim_{x \to 0^+} S(x) = \lim_{x \to 0^+} \left(x + \frac{484}{x}\right) = 0 + \infty = +\infty$

2. Теперь рассмотрим, что происходит, когда одно из чисел становится очень большим. Пусть $x \to +\infty$. Тогда второе число $y = \frac{484}{x}$ будет стремиться к нулю. Их сумма $S(x)$ будет стремиться к плюс бесконечности за счет первого слагаемого: $\lim_{x \to +\infty} S(x) = \lim_{x \to +\infty} \left(x + \frac{484}{x}\right) = \infty + 0 = +\infty$

Поскольку в обоих случаях, когда одно из чисел очень маленькое, а другое очень большое, их сумма неограниченно возрастает, функция $S(x)$ не имеет максимального (наибольшего) значения. Всегда можно найти такую пару чисел, произведение которых равно 484, а сумма будет больше любого наперед заданного значения.

Например:
- Если $x=1$, то $y=484$, и их сумма $S = 485$.
- Если $x=0.1$, то $y=4840$, и их сумма $S = 4840.1$.
- Если $x=10000$, то $y=0.0484$, и их сумма $S = 10000.0484$.
Как видно, чем дальше множители друг от друга, тем больше их сумма.

Таким образом, не существует двух положительных чисел, произведение которых равно 484, а сумма принимает наибольшее значение.

Примечание: Вероятно, в условии задачи допущена опечатка, и требовалось найти наименьшее значение суммы. В этом случае задача имела бы решение. Наименьшее значение суммы достигается, когда числа равны друг другу: $x = y = \sqrt{484} = 22$.

Ответ: Заданная задача не имеет решения. Не существует таких двух положительных чисел, произведение которых равно 484, а их сумма принимает наибольшее значение, поскольку эта сумма может быть сколь угодно большой.

32.25 Периметр прямоугольника составляет $56\text{ см}$. Каковы его стороны, если этот прямоугольник имеет наибольшую площадь?

Для решения этой задачи обозначим стороны прямоугольника как $a$ и $b$.

Периметр прямоугольника $P$ определяется по формуле $P = 2(a + b)$. Согласно условию, периметр равен 56 см:

$2(a + b) = 56$

Отсюда можно найти сумму длин сторон:

$a + b = \frac{56}{2} = 28$

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. Нам нужно найти такое соотношение сторон $a$ и $b$, при котором площадь $S$ будет максимальной.

Из уравнения для суммы сторон выразим одну сторону через другую, например, $b$:

$b = 28 - a$

Теперь подставим это выражение в формулу площади, чтобы получить функцию площади $S$, зависящую от длины одной стороны $a$:

$S(a) = a \cdot (28 - a) = 28a - a^2$

Функция $S(a) = -a^2 + 28a$ является квадратичной. Ее график — это парабола, ветви которой направлены вниз (поскольку коэффициент при $a^2$ отрицательный). Максимальное значение такой функции достигается в вершине параболы.

Абсциссу вершины параболы, заданной уравнением $y = kx^2 + lx + m$, находят по формуле $x_0 = -\frac{l}{2k}$. В нашем случае переменная — это $a$, а коэффициенты: $k = -1$ и $l = 28$. Найдем значение $a$, при котором площадь будет максимальной:

$a = -\frac{28}{2 \cdot (-1)} = -\frac{28}{-2} = 14$

Таким образом, одна из сторон прямоугольника равна 14 см. Теперь найдем вторую сторону $b$:

$b = 28 - a = 28 - 14 = 14$

Получается, что для достижения максимальной площади при заданном периметре, прямоугольник должен быть квадратом.

Ответ: стороны прямоугольника равны 14 см и 14 см.

32.29 Сторона квадрата $ABCD$ равна $8$ см. На сторонах $AB$ и $BC$ взяты соответственно точки $P$ и $E$ так, что $BP = BE = 3$ см. На сторонах $AD$ и $CD$ берутся точки соответственно $K$ и $M$ так, что четырёхугольник $KPEM$ — трапеция. Чему равна наибольшая площадь такой трапеции?

Для решения задачи введем декартову систему координат. Поместим вершину D квадрата в начало координат (0,0). Так как сторона квадрата ABCD равна 8 см, то координаты его вершин будут: D(0, 0), A(0, 8), B(8, 8), C(8, 0).

Теперь определим координаты точек P, E, K, M:

• Точка P лежит на стороне AB, которая является отрезком прямой $y=8$ для $x \in [0, 8]$. По условию $BP = 3$ см. Так как B имеет координаты (8, 8), то координаты точки P будут $(8-3, 8)$, то есть P(5, 8).
• Точка E лежит на стороне BC, которая является отрезком прямой $x=8$ для $y \in [0, 8]$. По условию $BE = 3$ см. Так как B имеет координаты (8, 8), то координаты точки E будут $(8, 8-3)$, то есть E(8, 5).
• Точка K лежит на стороне AD, которая является отрезком прямой $x=0$ для $y \in [0, 8]$. Обозначим расстояние от D до K как $k$, тогда точка K имеет координаты (0, k), где $0 \le k \le 8$.
• Точка M лежит на стороне CD, которая является отрезком прямой $y=0$ для $x \in [0, 8]$. Обозначим расстояние от D до M как $m$, тогда точка M имеет координаты (m, 0), где $0 \le m \le 8$.

Четырехугольник KPEM является трапецией, если у него есть пара параллельных сторон. Рассмотрим все возможные случаи.

1. Основания трапеции — стороны KM и PE

Условием параллельности сторон KM и PE является равенство их угловых коэффициентов. Найдем угловой коэффициент прямой PE, проходящей через точки P(5, 8) и E(8, 5): $k_{PE} = \frac{5-8}{8-5} = \frac{-3}{3} = -1$.

Найдем угловой коэффициент прямой KM, проходящей через точки K(0, k) и M(m, 0): $k_{KM} = \frac{0-k}{m-0} = -\frac{k}{m}$.

Из условия $k_{KM} = k_{PE}$ следует, что $-\frac{k}{m} = -1$, откуда $k = m$.

Площадь трапеции KPEM можно вычислить, вычтя из площади квадрата площади четырех угловых треугольников: $\triangle APK$, $\triangle PBE$, $\triangle ECM$ и $\triangle KDM$. Площадь квадрата $S_{ABCD} = 8^2 = 64$ см$^2$.

• $S_{APK} = \frac{1}{2} \cdot AP \cdot AK = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot (8-k) = 20 - 2.5k$.
• $S_{PBE} = \frac{1}{2} \cdot BP \cdot BE = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 4.5$.
• $S_{ECM} = \frac{1}{2} \cdot CE \cdot CM = \frac{1}{2} \cdot (8-5) \cdot (8-m) = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot (8-m) = 20 - 2.5m$.
• $S_{KDM} = \frac{1}{2} \cdot DK \cdot DM = \frac{1}{2}km$.

Площадь трапеции $S_{KPEM} = S_{ABCD} - S_{APK} - S_{PBE} - S_{ECM} - S_{KDM}$:

$S(k, m) = 64 - (20 - 2.5k) - 4.5 - (20 - 2.5m) - 0.5km = 19.5 + 2.5(k+m) - 0.5km$.

Подставив $k=m$, получим функцию площади от одной переменной $k$:

$S(k) = 19.5 + 2.5(k+k) - 0.5k^2 = -0.5k^2 + 5k + 19.5$.

Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз. Максимум достигается в вершине параболы. Абсцисса вершины: $k_0 = -\frac{5}{2(-0.5)} = 5$.

Значение $k=5$ лежит в допустимом диапазоне $0 \le k \le 8$. Следовательно, максимальная площадь в этом случае равна:

$S_{max1} = S(5) = -0.5(5^2) + 5(5) + 19.5 = -12.5 + 25 + 19.5 = 32$ см$^2$.

Ответ: 32 см$^2$.

2. Основания трапеции — стороны KP и ME

Условие параллельности — равенство угловых коэффициентов $k_{KP}$ и $k_{ME}$.

$k_{KP} = \frac{8-k}{5-0} = \frac{8-k}{5}$.

$k_{ME} = \frac{5-0}{8-m} = \frac{5}{8-m}$.

Из равенства $\frac{8-k}{5} = \frac{5}{8-m}$ получаем соотношение $(8-k)(8-m) = 25$.

Используем выведенную ранее формулу площади $S(k, m) = 19.5 + 2.5(k+m) - 0.5km$.

Из $(8-k)(8-m)=25$ следует $64 - 8k - 8m + km = 25$, откуда $km = 8k + 8m - 39$.

Подставим $km$ в формулу площади:

$S(k,m) = 19.5 + 2.5(k+m) - 0.5(8k + 8m - 39) = 19.5 + 2.5k + 2.5m - 4k - 4m + 19.5 = 39 - 1.5(k+m)$.

Чтобы найти максимальную площадь, нужно найти минимальное значение суммы $k+m$ при ограничениях $0 \le k,m \le 8$ и $(8-k)(8-m) = 25$.

Пусть $x = 8-k$ и $y = 8-m$. Тогда $xy=25$. Из $0 \le k,m \le 8$ следует $0 \le x,y \le 8$. Из $y=25/x$ и $y \le 8$ получаем $25/x \le 8$, то есть $x \ge \frac{25}{8}$. Таким образом, $x, y \in [\frac{25}{8}, 8]$.

Сумма $k+m = (8-x) + (8-y) = 16 - (x+y)$. Минимизация $k+m$ эквивалентна максимизации $x+y$ на отрезке $x \in [\frac{25}{8}, 8]$.

Функция $f(x) = x+\frac{25}{x}$ на отрезке $[\frac{25}{8}, 8]$ достигает своего максимума на концах отрезка. Если $x=\frac{25}{8}$, то $y=8$, и $x+y = \frac{25}{8} + 8 = \frac{89}{8}$. Если $x=8$, то $y=\frac{25}{8}$, и $x+y = 8 + \frac{25}{8} = \frac{89}{8}$. Максимальное значение $x+y$ равно $\frac{89}{8}$.

Минимальное значение $k+m = 16 - \frac{89}{8} = \frac{128-89}{8} = \frac{39}{8}$.

Максимальная площадь в этом случае:

$S_{max2} = 39 - 1.5 \cdot (\frac{39}{8}) = 39 - \frac{3}{2} \cdot \frac{39}{8} = 39 - \frac{117}{16} = \frac{624 - 117}{16} = \frac{507}{16} = 31.6875$ см$^2$.

Ответ: 31.6875 см$^2$.

3. Основания трапеции — стороны KE и PM

$k_{KE} = \frac{5-k}{8-0} = \frac{5-k}{8}$.

$k_{PM} = \frac{0-8}{m-5} = \frac{-8}{m-5}$.

Из условия параллельности $\frac{5-k}{8} = \frac{-8}{m-5}$ получаем $(5-k)(m-5)=-64$, или $(k-5)(m-5)=64$.

Так как $0 \le k \le 8$, то $-5 \le k-5 \le 3$. Аналогично, $-5 \le m-5 \le 3$. Максимальное значение произведения $|(k-5)(m-5)|$ равно $|(-5) \cdot (-5)| = 25$. Поскольку $25 < 64$, уравнение $(k-5)(m-5)=64$ не имеет решений в заданных границах. Этот случай невозможен.

Ответ: Данный случай невозможен.

Сравнение результатов и итоговый вывод

Сравнивая максимальные площади, полученные в рассмотренных случаях:

$S_{max1} = 32$ см$^2$.

$S_{max2} = 31.6875$ см$^2$.

Наибольшее возможное значение площади трапеции равно 32 см$^2$.

Ответ: 32 см$^2$.

32.18 а) $y = x\sqrt{x+2}$;

б) $y = x\sqrt{1-2x}$.

а) $y = x\sqrt{x+2}$

1. Найдём область определения функции.

Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x+2 \ge 0$.

Отсюда следует, что $x \ge -2$.

Таким образом, область определения функции $D(y) = [-2, +\infty)$.

2. Найдём производную функции.

Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$y' = (x\sqrt{x+2})' = (x)' \cdot \sqrt{x+2} + x \cdot (\sqrt{x+2})'$

$y' = 1 \cdot \sqrt{x+2} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+2}} \cdot (x+2)'$

$y' = \sqrt{x+2} + \frac{x}{2\sqrt{x+2}}$

Приведем слагаемые к общему знаменателю:

$y' = \frac{2(\sqrt{x+2})^2 + x}{2\sqrt{x+2}} = \frac{2(x+2)+x}{2\sqrt{x+2}} = \frac{2x+4+x}{2\sqrt{x+2}} = \frac{3x+4}{2\sqrt{x+2}}$

3. Найдём критические точки.

Критические точки - это внутренние точки области определения, в которых производная равна нулю или не существует.

Производная $y'$ равна нулю, если её числитель равен нулю:

$3x+4=0 \implies x = -4/3$.

Эта точка принадлежит области определения, так как $-4/3 > -2$.

Производная не существует, если знаменатель равен нулю: $2\sqrt{x+2} = 0$, что происходит при $x=-2$. Эта точка является граничной точкой области определения.

4. Определим промежутки возрастания и убывания.

Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят область определения: $(-2, -4/3)$ и $(-4/3, +\infty)$.

Знаменатель $2\sqrt{x+2}$ всегда положителен внутри области определения, поэтому знак $y'$ совпадает со знаком числителя $3x+4$.

• При $x \in (-2, -4/3)$, $3x+4 < 0$, значит, $y' < 0$, и функция убывает.
• При $x \in (-4/3, +\infty)$, $3x+4 > 0$, значит, $y' > 0$, и функция возрастает.

5. Найдём точки экстремума.

В точке $x = -4/3$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка локального минимума.

Значение функции в этой точке: $y_{min} = y(-4/3) = -\frac{4}{3}\sqrt{-\frac{4}{3}+2} = -\frac{4}{3}\sqrt{\frac{2}{3}} = -\frac{4\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} = -\frac{4\sqrt{6}}{9}$.

Точка $x=-2$ является граничной точкой, и так как функция убывает на отрезке $[-2, -4/3]$, то в точке $x=-2$ достигается локальный максимум. $y_{max} = y(-2) = -2\sqrt{-2+2} = 0$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-4/3, +\infty)$, убывает на промежутке $[-2, -4/3]$. Точка минимума $x_{min} = -4/3$, точка максимума (краевого) $x_{max} = -2$.

б) $y = x\sqrt{1-2x}$

1. Найдём область определения функции.

Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $1-2x \ge 0$.

Отсюда следует, что $1 \ge 2x$, или $x \le 1/2$.

Таким образом, область определения функции $D(y) = (-\infty, 1/2]$.

2. Найдём производную функции.

Используем правило дифференцирования произведения:

$y' = (x\sqrt{1-2x})' = (x)' \cdot \sqrt{1-2x} + x \cdot (\sqrt{1-2x})'$

$y' = 1 \cdot \sqrt{1-2x} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{1-2x}} \cdot (1-2x)'$

$y' = \sqrt{1-2x} + x \cdot \frac{-2}{2\sqrt{1-2x}} = \sqrt{1-2x} - \frac{x}{\sqrt{1-2x}}$

Приведем к общему знаменателю:

$y' = \frac{(\sqrt{1-2x})^2 - x}{\sqrt{1-2x}} = \frac{1-2x-x}{\sqrt{1-2x}} = \frac{1-3x}{\sqrt{1-2x}}$

3. Найдём критические точки.

Производная $y'$ равна нулю, если её числитель равен нулю:

$1-3x=0 \implies x = 1/3$.

Эта точка принадлежит области определения, так как $1/3 < 1/2$.

Производная не существует, если знаменатель равен нулю: $\sqrt{1-2x} = 0$, что происходит при $x=1/2$. Эта точка является граничной точкой области определения.

4. Определим промежутки возрастания и убывания.

Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty, 1/3)$ и $(1/3, 1/2)$.

Знаменатель $\sqrt{1-2x}$ всегда положителен внутри области определения, поэтому знак $y'$ совпадает со знаком числителя $1-3x$.

• При $x \in (-\infty, 1/3)$, $1-3x > 0$, значит, $y' > 0$, и функция возрастает.
• При $x \in (1/3, 1/2)$, $1-3x < 0$, значит, $y' < 0$, и функция убывает.

5. Найдём точки экстремума.

В точке $x = 1/3$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка локального максимума.

Значение функции в этой точке: $y_{max} = y(1/3) = \frac{1}{3}\sqrt{1 - 2 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{1}{3}\sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{9}$.

Точка $x=1/2$ является граничной точкой, и так как функция убывает на отрезке $[1/3, 1/2]$, то в точке $x=1/2$ достигается локальный минимум. $y_{min} = y(1/2) = \frac{1}{2}\sqrt{1 - 2 \cdot \frac{1}{2}} = 0$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 1/3]$, убывает на промежутке $[1/3, 1/2]$. Точка максимума $x_{max} = 1/3$, точка минимума (краевого) $x_{min} = 1/2$.

32.22 Разность двух чисел равна 98. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наименьшее значение.

Пусть искомые числа будут $x$ и $y$.

По условию задачи, их разность равна 98. Это можно записать в виде уравнения:

$x - y = 98$

Из этого уравнения выразим переменную $x$ через $y$:

$x = 98 + y$

Нам нужно найти такие числа, чтобы их произведение $P = x \cdot y$ было наименьшим. Подставим выражение для $x$ в формулу для произведения, чтобы получить функцию одной переменной $P(y)$:

$P(y) = (98 + y) \cdot y$

$P(y) = y^2 + 98y$

Полученная функция $P(y)$ является квадратичной. Ее график — это парабола с ветвями, направленными вверх (поскольку коэффициент при $y^2$ равен 1, что больше нуля). Наименьшее значение такой функции достигается в ее вершине.

Абсциссу вершины параболы, заданной уравнением $f(y) = ay^2 + by + c$, находят по формуле $y_0 = -\frac{b}{2a}$.

В нашем случае $a=1$ и $b=98$. Найдем значение $y$, при котором произведение $P$ будет минимальным:

$y = -\frac{98}{2 \cdot 1} = -49$

Теперь, зная значение $y$, мы можем найти соответствующее значение $x$:

$x = 98 + y = 98 + (-49) = 49$

Следовательно, искомые числа — это 49 и -49.

Проверим выполнение условий задачи:
1. Разность чисел: $49 - (-49) = 49 + 49 = 98$. Условие выполняется.
2. Произведение $49 \cdot (-49) = -2401$ является наименьшим возможным, так как оно соответствует значению функции в вершине параболы.

Ответ: -49 и 49.

32.26 Нужно огородить участок прямоугольной формы забором длиной 200 м. Каковы должны быть размеры этого прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

Пусть стороны прямоугольного участка равны $a$ и $b$ метров.

Периметр участка равен длине забора, то есть 200 м. Формула периметра для прямоугольника: $P = 2(a + b)$.

Составим уравнение на основе известных данных:
$2(a + b) = 200$

Разделив обе части уравнения на 2, получим соотношение между сторонами:
$a + b = 100$

Из этого соотношения можно выразить одну сторону через другую. Например, выразим сторону $b$ через $a$:
$b = 100 - a$

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. Нам необходимо найти такие размеры $a$ и $b$, при которых площадь $S$ будет наибольшей. Для этого подставим выражение для $b$ в формулу площади, чтобы получить функцию, зависящую только от одной переменной $a$:
$S(a) = a \cdot (100 - a)$
$S(a) = 100a - a^2$

Мы получили квадратичную функцию $S(a) = -a^2 + 100a$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз (поскольку коэффициент при $a^2$ отрицательный, равен -1). Наибольшее значение такой функции достигается в ее вершине.

Абсциссу вершины параболы вида $y = kx^2 + mx + n$ можно найти по формуле $x_0 = -\frac{m}{2k}$.

Применим эту формулу к нашей функции площади, где $k = -1$ и $m = 100$, чтобы найти значение стороны $a$, при котором площадь будет максимальной:
$a = -\frac{100}{2 \cdot (-1)} = -\frac{100}{-2} = 50$

Итак, одна из сторон прямоугольника равна 50 м. Теперь найдем длину второй стороны $b$:
$b = 100 - a = 100 - 50 = 50$

Следовательно, для того чтобы площадь огороженного участка была наибольшей, он должен иметь форму квадрата со стороной 50 метров.

Ответ: размеры прямоугольника должны быть 50 м на 50 м.

32.19 $y = x^3 - 3x^2 - 9x + \sqrt{16 - x^4} + |\sqrt{16 - x^4} - 5|.$

Для анализа данной функции $y = x^3 - 3x^2 - 9x + \sqrt{16-x^4} + |\sqrt{16-x^4} - 5|$ первым шагом определим ее область определения.

1. Нахождение области определения

Подкоренное выражение $\sqrt{16-x^4}$ должно быть неотрицательным, поэтому: $16 - x^4 \ge 0$ $x^4 \le 16$ Извлекая корень четвертой степени из обеих частей неравенства, получаем: $|x| \le \sqrt[4]{16}$ $|x| \le 2$ Это означает, что $x$ должен находиться в интервале $[-2, 2]$. Таким образом, область определения функции $D(y) = [-2; 2]$.

2. Упрощение функции

Рассмотрим выражение с модулем: $|\sqrt{16-x^4} - 5|$. Чтобы раскрыть модуль, необходимо определить знак выражения внутри него. На области определения $x \in [-2; 2]$, имеем $0 \le x^4 \le 16$. Следовательно, для выражения под корнем получаем: $0 \le 16 - x^4 \le 16$. Тогда для самого корня справедливо: $0 \le \sqrt{16 - x^4} \le \sqrt{16}$, то есть $0 \le \sqrt{16 - x^4} \le 4$. Теперь оценим знак разности $\sqrt{16 - x^4} - 5$. Так как максимальное значение $\sqrt{16 - x^4}$ равно 4, то: $\sqrt{16 - x^4} - 5 \le 4 - 5 = -1$. Выражение $\sqrt{16 - x^4} - 5$ всегда отрицательно на области определения функции. Поэтому, по определению модуля, $|\sqrt{16-x^4} - 5| = -(\sqrt{16-x^4} - 5) = 5 - \sqrt{16-x^4}$.

Подставим это упрощенное выражение в исходную функцию: $y = x^3 - 3x^2 - 9x + \sqrt{16-x^4} + (5 - \sqrt{16-x^4})$ $y = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$

3. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции

Задача свелась к нахождению наибольшего и наименьшего значений кубической функции $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ на отрезке $[-2; 2]$. Для этого найдем производную функции и ее критические точки. $f'(x) = (x^3 - 3x^2 - 9x + 5)' = 3x^2 - 6x - 9$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $3x^2 - 6x - 9 = 0$ Разделим уравнение на 3: $x^2 - 2x - 3 = 0$ Корни этого квадратного уравнения можно найти по теореме Виета или через дискриминант. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

Теперь нужно проверить, какие из этих точек принадлежат отрезку $[-2; 2]$. $x_1 = 3$ не принадлежит отрезку $[-2; 2]$. $x_2 = -1$ принадлежит отрезку $[-2; 2]$.

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке достигаются либо в критических точках, принадлежащих этому отрезку, либо на его концах. Вычислим значения функции в точках $x = -2$, $x = -1$ и $x = 2$.

$f(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 - 9(-2) + 5 = -8 - 12 + 18 + 5 = 3$.

$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 5 = -1 - 3 + 9 + 5 = 10$.

$f(2) = (2)^3 - 3(2)^2 - 9(2) + 5 = 8 - 12 - 18 + 5 = -17$.

Сравнивая полученные значения ($3$, $10$, $-17$), делаем вывод, что наибольшее значение функции равно $10$ (достигается при $x = -1$), а наименьшее значение равно $-17$ (достигается при $x = 2$).

Ответ: Наибольшее значение функции $y_{max} = 10$, наименьшее значение функции $y_{min} = -17$.

32.23 Представьте число 3 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма утроенного первого слагаемого и куба второго слагаемого была наименьшей.

Пусть число 3 представлено в виде суммы двух положительных слагаемых, $x$ и $y$.

$x + y = 3$

Согласно условию, оба слагаемых должны быть положительными, то есть $x > 0$ и $y > 0$.

Требуется, чтобы сумма утроенного первого слагаемого и куба второго слагаемого была наименьшей. Обозначим эту сумму через $S$.

$S = 3x + y^3$

Для нахождения наименьшего значения выразим $S$ как функцию одной переменной. Из уравнения $x + y = 3$ выразим $x$:

$x = 3 - y$

Теперь подставим это выражение в формулу для $S$:

$S(y) = 3(3 - y) + y^3 = 9 - 3y + y^3$

Итак, нам необходимо найти минимум функции $S(y) = y^3 - 3y + 9$.

Так как $x > 0$, то $3 - y > 0$, что означает $y < 3$. Учитывая также, что $y > 0$, мы ищем минимум функции на интервале $(0, 3)$.

Для нахождения точки минимума найдем производную функции $S(y)$ и приравняем ее к нулю.

$S'(y) = (y^3 - 3y + 9)' = 3y^2 - 3$

Найдем критические точки, решив уравнение $S'(y) = 0$:

$3y^2 - 3 = 0$
$3(y^2 - 1) = 0$
$y^2 = 1$

Отсюда получаем два значения: $y_1 = 1$ и $y_2 = -1$.

Из этих двух точек только $y = 1$ принадлежит интервалу $(0, 3)$.

Чтобы проверить, является ли эта точка точкой минимума, воспользуемся второй производной:

$S''(y) = (3y^2 - 3)' = 6y$

Вычислим значение второй производной в точке $y = 1$:

$S''(1) = 6 \cdot 1 = 6$

Поскольку $S''(1) > 0$, в точке $y = 1$ функция $S(y)$ достигает своего локального минимума. Так как это единственная критическая точка на рассматриваемом интервале, этот минимум является наименьшим значением функции на данном интервале.

Итак, второе слагаемое равно $y = 1$.

Теперь найдем первое слагаемое $x$:

$x = 3 - y = 3 - 1 = 2$

Таким образом, число 3 нужно представить в виде суммы $2 + 1$, где первое слагаемое — 2, а второе — 1.

Ответ: $3 = 2 + 1$.

32.27 Площадь прямоугольника составляет $16 \text{ см}^2$. Каковы должны быть его размеры, чтобы периметр прямоугольника был наименьшим?

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Поскольку это длины сторон, $a > 0$ и $b > 0$.

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. По условию задачи, площадь составляет 16 см², значит, мы имеем уравнение:$a \cdot b = 16$

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. Нам нужно найти такие значения $a$ и $b$, при которых значение $P$ будет наименьшим.

Для этого выразим одну переменную через другую из уравнения площади. Например, выразим $b$ через $a$:$b = \frac{16}{a}$

Теперь подставим это выражение в формулу периметра. Периметр станет функцией одной переменной $a$:$P(a) = 2 \left( a + \frac{16}{a} \right)$

Чтобы найти наименьшее значение этой функции, нужно найти ее производную по переменной $a$ и приравнять ее к нулю.$P(a) = 2a + \frac{32}{a}$Найдем производную $P'(a)$:$P'(a) = \left( 2a + \frac{32}{a} \right)' = (2a)' + (32a^{-1})' = 2 - 32a^{-2} = 2 - \frac{32}{a^2}$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:$P'(a) = 0$$2 - \frac{32}{a^2} = 0$$2 = \frac{32}{a^2}$$2a^2 = 32$$a^2 = 16$

Так как $a$ — это длина стороны, она должна быть положительной, поэтому $a = 4$ см.

Чтобы убедиться, что при $a=4$ периметр будет именно наименьшим, а не наибольшим, найдем вторую производную:$P''(a) = \left( 2 - 32a^{-2} \right)' = 0 - 32(-2)a^{-3} = \frac{64}{a^3}$При $a=4$, значение второй производной $P''(4) = \frac{64}{4^3} = \frac{64}{64} = 1$.Поскольку $P''(4) > 0$, то точка $a=4$ является точкой минимума функции $P(a)$.

Теперь найдем соответствующее значение для второй стороны $b$:$b = \frac{16}{a} = \frac{16}{4} = 4$ см.

Следовательно, прямоугольник с наименьшим периметром при заданной площади 16 см² является квадратом со стороной 4 см.
Ответ: размеры прямоугольника должны быть 4 см на 4 см.