Страница 121, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы:

30.45 а) $y = |x - 3| - 2;$

в) $y = |(x - 2)(x + 3)|;$

б) $y = \left|\frac{1}{x} - 1\right|;$

г) $y = (|x| - 2)|x|.$

а) $y = |x - 3| - 2$

Область определения функции - все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

Для исследования функции раскроем модуль. Определение модуля $|a|$: $|a| = \begin{cases} a, & \text{если } a \ge 0 \\ -a, & \text{если } a < 0 \end{cases}$

В нашем случае: $y = \begin{cases} (x - 3) - 2, & \text{если } x - 3 \ge 0 \\ -(x - 3) - 2, & \text{если } x - 3 < 0 \end{cases}$
Это эквивалентно системе: $y = \begin{cases} x - 5, & \text{если } x \ge 3 \\ -x + 1, & \text{если } x < 3 \end{cases}$

Найдем производную функции на каждом из интервалов: $y' = \begin{cases} 1, & \text{если } x > 3 \\ -1, & \text{если } x < 3 \end{cases}$
В точке $x = 3$ производная не существует (функция имеет излом), поэтому $x=3$ является критической точкой.

Монотонность:
1. При $x \in (-\infty, 3)$, производная $y' = -1 < 0$, следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty, 3]$.
2. При $x \in (3, +\infty)$, производная $y' = 1 > 0$, следовательно, функция возрастает на промежутке $[3, +\infty)$.

Экстремумы:
В точке $x = 3$ производная меняет знак с «–» на «+». Следовательно, $x = 3$ является точкой минимума.
Значение функции в этой точке: $y_{min} = y(3) = |3 - 3| - 2 = -2$.
Точка минимума функции: $(3, -2)$. Это глобальный минимум, так как $y(x) \ge -2$ для всех $x$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 3]$ и возрастает на промежутке $[3, +\infty)$. Точка минимума $x_{min} = 3$, значение в минимуме $y_{min} = -2$.

б) $y = \left|\frac{1}{x} - 1\right|$

Область определения функции: $x \ne 0$, то есть $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

Раскроем модуль, для этого определим знак выражения $\frac{1}{x} - 1$.
$\frac{1}{x} - 1 \ge 0 \implies \frac{1-x}{x} \ge 0$. Решая это неравенство методом интервалов, получаем $x \in (0, 1]$.

Таким образом, функция задается кусочно: $y = \begin{cases} \frac{1}{x} - 1, & \text{если } x \in (0, 1] \\ -(\frac{1}{x} - 1) = 1 - \frac{1}{x}, & \text{если } x \in (-\infty, 0) \cup [1, +\infty) \end{cases}$

Найдем производную на каждом интервале: $y' = \begin{cases} -\frac{1}{x^2}, & \text{если } x \in (0, 1) \\ \frac{1}{x^2}, & \text{если } x \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty) \end{cases}$
В точке $x=1$ производная не существует (излом). Это критическая точка. Точка $x=0$ - точка разрыва.

Монотонность:
1. При $x \in (-\infty, 0)$, $y' = \frac{1}{x^2} > 0$, функция возрастает.
2. При $x \in (0, 1)$, $y' = -\frac{1}{x^2} < 0$, функция убывает.
3. При $x \in (1, +\infty)$, $y' = \frac{1}{x^2} > 0$, функция возрастает.

Экстремумы:
В точке $x = 1$ производная меняет знак с «–» на «+». Следовательно, $x = 1$ является точкой минимума.
Значение функции в этой точке: $y_{min} = y(1) = \left|\frac{1}{1} - 1\right| = 0$.
Точка минимума: $(1, 0)$. Поскольку $y(x) = |...| \ge 0$, это глобальный минимум. Максимумов у функции нет.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, 0)$ и $[1, +\infty)$, убывает на промежутке $(0, 1]$. Точка минимума $x_{min} = 1$, значение в минимуме $y_{min} = 0$.

в) $y = |(x - 2)(x + 3)|$

Область определения функции - все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

Раскроем модуль. Выражение под модулем $(x - 2)(x + 3) = x^2 + x - 6$ является параболой с ветвями вверх, пересекающей ось Ox в точках $x = 2$ и $x = -3$.
Выражение $x^2 + x - 6 \ge 0$ при $x \in (-\infty, -3] \cup [2, +\infty)$.
Выражение $x^2 + x - 6 < 0$ при $x \in (-3, 2)$.

Функция задается кусочно: $y = \begin{cases} x^2 + x - 6, & \text{если } x \in (-\infty, -3] \cup [2, +\infty) \\ -(x^2 + x - 6) = -x^2 - x + 6, & \text{если } x \in (-3, 2) \end{cases}$

Найдем производную: $y' = \begin{cases} 2x + 1, & \text{если } x \in (-\infty, -3) \cup (2, +\infty) \\ -2x - 1, & \text{если } x \in (-3, 2) \end{cases}$
Критические точки: $x=-3, x=2$ (точки излома) и точки, где $y'=0$.
$-2x - 1 = 0 \implies x = -0.5$. Эта точка принадлежит интервалу $(-3, 2)$.

Монотонность:
1. При $x \in (-\infty, -3)$, $y' = 2x + 1 < 0$, функция убывает.
2. При $x \in (-3, -0.5)$, $y' = -2x - 1 > 0$, функция возрастает.
3. При $x \in (-0.5, 2)$, $y' = -2x - 1 < 0$, функция убывает.
4. При $x \in (2, +\infty)$, $y' = 2x + 1 > 0$, функция возрастает.

Экстремумы:
- В точке $x = -3$ убывание сменяется возрастанием, значит это точка минимума. $y_{min} = y(-3) = 0$.
- В точке $x = -0.5$ возрастание сменяется убыванием, значит это точка максимума. $y_{max} = y(-0.5) = |-(-0.5)^2 - (-0.5) + 6| = |-0.25+0.5+6| = 6.25$.
- В точке $x = 2$ убывание сменяется возрастанием, значит это точка минимума. $y_{min} = y(2) = 0$.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty, -3]$ и $[-0.5, 2]$, возрастает на промежутках $[-3, -0.5]$ и $[2, +\infty)$. Точки минимума: $x_{min1} = -3$, $x_{min2} = 2$ (значение в обеих точках 0). Точка максимума: $x_{max} = -0.5$ (значение 6.25).

г) $y = (|x| - 2)|x|$

Область определения функции - все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
Заметим, что $y(-x) = (|-x| - 2)|-x| = (|x| - 2)|x| = y(x)$, следовательно, функция является четной. Ее график симметричен относительно оси Oy. Исследуем функцию для $x \ge 0$.

При $x \ge 0$, $|x| = x$, и функция принимает вид: $y = (x - 2)x = x^2 - 2x$.

Найдем производную для $x > 0$: $y' = (x^2 - 2x)' = 2x - 2$.
Найдем критические точки: $y' = 0 \implies 2x - 2 = 0 \implies x = 1$.
Точка $x=0$ также является критической (из-за симметрии и модуля).

Монотонность для $x \ge 0$:
1. При $x \in [0, 1)$, $y' = 2x - 2 < 0$, функция убывает.
2. При $x \in (1, +\infty)$, $y' = 2x - 2 > 0$, функция возрастает.

Монотонность на всей числовой оси (используя четность):
- Убывает на $[0, 1]$, значит, из-за симметрии, возрастает на $[-1, 0]$.
- Возрастает на $[1, +\infty)$, значит, из-за симметрии, убывает на $(-\infty, -1]$.
Итого: функция убывает на $(-\infty, -1]$ и $[0, 1]$, возрастает на $[-1, 0]$ и $[1, +\infty)$.

Экстремумы:
- В точке $x = -1$ убывание сменяется возрастанием $\implies$ точка минимума. $y_{min} = y(-1) = (|-1| - 2)|-1| = (1-2) \cdot 1 = -1$.
- В точке $x = 0$ возрастание сменяется убыванием $\implies$ точка максимума. $y_{max} = y(0) = (|0| - 2)|0| = 0$.
- В точке $x = 1$ убывание сменяется возрастанием $\implies$ точка минимума. $y_{min} = y(1) = (|1| - 2)|1| = (1-2) \cdot 1 = -1$.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[0, 1]$, возрастает на промежутках $[-1, 0]$ и $[1, +\infty)$. Точки минимума: $x_{min1} = -1$, $x_{min2} = 1$ (значение в обеих точках -1). Точка максимума: $x_{max} = 0$ (значение 0).

30.46 а) $y = |x^3 - 3x|;$

б) $y = |x - x^3|.$

а) $y = |x^3 - 3x|$

Для того чтобы решить задачу, необходимо исследовать и построить график функции. Построение графика функции вида $y = |f(x)|$ выполняется в два этапа: сначала строится график функции $y = f(x)$, а затем часть графика, находящаяся ниже оси абсцисс ($y<0$), симметрично отражается относительно этой оси.

1. Исследование функции $f(x) = x^3 - 3x$.

- Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как функция является многочленом.

- Четность: $f(-x) = (-x)^3 - 3(-x) = -x^3 + 3x = -(x^3 - 3x) = -f(x)$. Функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат.

- Точки пересечения с осями координат:
С осью OY: при $x=0$, $y=0$. Точка $(0; 0)$.
С осью OX: при $y=0$, $x^3 - 3x = 0 \Rightarrow x(x^2 - 3) = 0$. Отсюда $x_1=0$, $x_2=\sqrt{3}$, $x_3=-\sqrt{3}$. Точки пересечения: $(-\sqrt{3}; 0)$, $(0; 0)$, $(\sqrt{3}; 0)$.

- Экстремумы и интервалы монотонности:
Находим производную: $f'(x) = 3x^2 - 3$.
Приравниваем производную к нулю для поиска критических точек: $3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.
Анализируем знаки производной на интервалах, образованных критическими точками:

• $(-\infty; -1)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• $(-1; 1)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
• $(1; \infty)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.

Следовательно, $x=-1$ — точка локального максимума, $y_{max} = f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = 2$.
Точка $x=1$ — точка локального минимума, $y_{min} = f(1) = 1^3 - 3(1) = -2$.
Экстремумы функции $f(x)$: максимум в точке $(-1; 2)$ и минимум в точке $(1; -2)$.

2. Построение графика $y = |x^3 - 3x|$.

- Части графика $f(x)=x^3-3x$, где $f(x) \ge 0$ (на интервалах $[-\sqrt{3}, 0]$ и $[\sqrt{3}, \infty)$), остаются без изменений.

- Части графика, где $f(x) < 0$ (на интервалах $(-\infty, -\sqrt{3})$ и $(0, \sqrt{3})$), отражаются симметрично относительно оси OX.

- В результате отражения точка локального минимума $(1; -2)$ функции $f(x)$ становится точкой локального максимума $(1; 2)$ для функции $y = |x^3 - 3x|$. Точка максимума $(-1; 2)$ остается на месте.

- Точки пересечения с осью OX становятся точками локального минимума для итоговой функции: $(-\sqrt{3}; 0)$, $(0; 0)$, $(\sqrt{3}; 0)$.

- Итоговая функция $y = |x^3 - 3x|$ является четной, ее график симметричен относительно оси OY.

Ответ: Для построения графика функции $y = |x^3 - 3x|$ необходимо сначала построить график нечетной функции $f(x) = x^3 - 3x$. Затем участки графика $f(x)$, расположенные ниже оси абсцисс, следует симметрично отразить относительно этой оси. В результате получается график четной функции, у которой точки локальных минимумов находятся в $(-\sqrt{3}; 0)$, $(0; 0)$ и $(\sqrt{3}; 0)$, а точки локальных максимумов — в $(-1; 2)$ и $(1; 2)$.

б) $y = |x - x^3|$

Так как $|A| = |-A|$, то $|x - x^3| = |-(x^3 - x)| = |x^3 - x|$. Исследование будем проводить для функции $y = |x^3 - x|$, так как это эквивалентно исходной задаче. Алгоритм решения аналогичен пункту а).

1. Исследование функции $g(x) = x^3 - x$.

- Область определения: $D(g) = (-\infty; +\infty)$.

- Четность: $g(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x = -(x^3 - x) = -g(x)$. Функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат.

- Точки пересечения с осями координат:
С осью OY: при $x=0$, $y=0$. Точка $(0; 0)$.
С осью OX: при $y=0$, $x^3 - x = 0 \Rightarrow x(x^2 - 1) = 0$. Отсюда $x_1=0$, $x_2=1$, $x_3=-1$. Точки пересечения: $(-1; 0)$, $(0; 0)$, $(1; 0)$.

- Экстремумы и интервалы монотонности:
Находим производную: $g'(x) = 3x^2 - 1$.
Критические точки: $3x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x^2 = 1/3 \Rightarrow x = \pm 1/\sqrt{3}$.
Анализируем знаки производной:

• $(-\infty; -1/\sqrt{3})$: $g'(x) > 0$, функция возрастает.
• $(-1/\sqrt{3}; 1/\sqrt{3})$: $g'(x) < 0$, функция убывает.
• $(1/\sqrt{3}; \infty)$: $g'(x) > 0$, функция возрастает.

Следовательно, $x=-1/\sqrt{3}$ — точка локального максимума, $y_{max} = g(-1/\sqrt{3}) = (-1/\sqrt{3})^3 - (-1/\sqrt{3}) = -1/(3\sqrt{3}) + 1/\sqrt{3} = 2/(3\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}/9$.
Точка $x=1/\sqrt{3}$ — точка локального минимума, $y_{min} = g(1/\sqrt{3}) = (1/\sqrt{3})^3 - (1/\sqrt{3}) = 1/(3\sqrt{3}) - 1/\sqrt{3} = -2/(3\sqrt{3}) = -2\sqrt{3}/9$.
Экстремумы функции $g(x)$: максимум в точке $(-1/\sqrt{3}; 2\sqrt{3}/9)$ и минимум в точке $(1/\sqrt{3}; -2\sqrt{3}/9)$.

2. Построение графика $y = |x - x^3| = |x^3 - x|$.

- Части графика $g(x)$, где $g(x) \ge 0$ (на интервалах $[-1, 0]$ и $[1, \infty)$), остаются без изменений.

- Части графика, где $g(x) < 0$ (на интервалах $(-\infty, -1)$ и $(0, 1)$), отражаются симметрично относительно оси OX.

- В результате отражения точка локального минимума $(1/\sqrt{3}; -2\sqrt{3}/9)$ становится точкой локального максимума $(1/\sqrt{3}; 2\sqrt{3}/9)$. Точка максимума $(-1/\sqrt{3}; 2\sqrt{3}/9)$ остается на месте.

- Точки пересечения с осью OX $(-1; 0)$, $(0; 0)$, $(1; 0)$ становятся точками локального минимума для итоговой функции.

- Итоговая функция $y = |x - x^3|$ является четной, ее график симметричен относительно оси OY.

Ответ: Для построения графика функции $y = |x - x^3|$ сначала строится график нечетной функции $g(x) = x^3 - x$. Затем участки графика $g(x)$, расположенные ниже оси абсцисс, симметрично отражаются относительно этой оси. В результате получается график четной функции с точками локальных минимумов в $(-1; 0)$, $(0; 0)$ и $(1; 0)$, и точками локальных максимумов в $(-1/\sqrt{3}; 2\sqrt{3}/9)$ и $(1/\sqrt{3}; 2\sqrt{3}/9)$.

30.43 a) $y = x - 2\sqrt{x - 2}$;

б) $y = 4\sqrt{2x - 1} - x$.

а) $y = x - 2\sqrt{x-2}$

Чтобы найти множество значений функции, сначала определим ее область определения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$.

Таким образом, область определения функции $D(y) = [2, +\infty)$.

Для упрощения анализа функции введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x-2}$. Поскольку корень арифметический, $t \ge 0$.

Из замены выразим $x$ через $t$:

$t^2 = x - 2 \implies x = t^2 + 2$.

Теперь подставим выражения для $x$ и $\sqrt{x-2}$ в исходную функцию, чтобы получить функцию $y$ от переменной $t$:

$y(t) = (t^2 + 2) - 2t = t^2 - 2t + 2$.

Мы получили квадратичную функцию от $t$ с областью определения $t \ge 0$. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вверх. Наименьшее значение такая функция принимает в своей вершине.

Найдем координаты вершины. Можно выделить полный квадрат:

$y(t) = (t^2 - 2t + 1) + 1 = (t-1)^2 + 1$.

Вершина параболы находится в точке $t=1$. Это значение входит в область определения $t \ge 0$.

Наименьшее значение функции достигается в вершине и равно:

$y_{min} = (1-1)^2 + 1 = 1$.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция принимает все значения от своего минимума до $+\infty$. Таким образом, множество значений функции — это промежуток $[1, +\infty)$.

Ответ: $E(y) = [1, +\infty)$.

б) $y = 4\sqrt{2x-1} - x$

Сначала найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$2x - 1 \ge 0 \implies 2x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{2}$.

Область определения функции $D(y) = [\frac{1}{2}, +\infty)$.

Введем замену переменной для нахождения множества значений. Пусть $t = \sqrt{2x-1}$. Условие для $t$ — $t \ge 0$.

Выразим $x$ через $t$:

$t^2 = 2x - 1 \implies 2x = t^2 + 1 \implies x = \frac{t^2+1}{2}$.

Подставим в исходную функцию:

$y(t) = 4t - \frac{t^2+1}{2} = \frac{8t - (t^2+1)}{2} = \frac{-t^2 + 8t - 1}{2} = -\frac{1}{2}t^2 + 4t - \frac{1}{2}$.

Мы получили квадратичную функцию от $t$ с областью определения $t \ge 0$. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вниз. Наибольшее значение такая функция принимает в своей вершине.

Для нахождения вершины выделим полный квадрат:

$y(t) = -\frac{1}{2}(t^2 - 8t) - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}(t^2 - 8t + 16 - 16) - \frac{1}{2}$

$y(t) = -\frac{1}{2}((t-4)^2 - 16) - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}(t-4)^2 + 8 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}(t-4)^2 + 7,5$.

Вершина параболы находится в точке $t=4$. Это значение входит в область определения $t \ge 0$.

Наибольшее значение функции достигается в вершине и равно:

$y_{max} = -\frac{1}{2}(4-4)^2 + 7,5 = 7,5$.

Поскольку ветви параболы направлены вниз, функция принимает все значения от $-\infty$ до своего максимума. Таким образом, множество значений функции — это промежуток $(-\infty, 7,5]$.

Ответ: $E(y) = (-\infty, 7,5]$.

30.44 a) $y = x - 2 \cos x, x \in [-\pi; \pi];$

б) $y = 2 \sin x - x, x \in [\pi; 3\pi].$

а) $y = x - 2\cos x, x \in [-\pi; \pi]$

Чтобы найти множество значений функции на отрезке, необходимо найти ее наименьшее и наибольшее значения. Для этого найдем значения функции в критических точках, принадлежащих этому отрезку, и на его концах.

1. Найдем производную функции:

$y' = (x - 2\cos x)' = 1 - 2(-\sin x) = 1 + 2\sin x$.

2. Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:

$1 + 2\sin x = 0$

$2\sin x = -1$

$\sin x = -\frac{1}{2}$

3. Корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-\pi; \pi]$, это:

$x_1 = -\frac{\pi}{6}$ и $x_2 = -\frac{5\pi}{6}$.

4. Вычислим значения функции в найденных критических точках и на концах отрезка:

• $y(-\pi) = -\pi - 2\cos(-\pi) = -\pi - 2(-1) = 2 - \pi$
• $y(\pi) = \pi - 2\cos(\pi) = \pi - 2(-1) = \pi + 2$
• $y(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{\pi}{6} - 2\cos(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{\pi}{6} - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\pi}{6} - \sqrt{3}$
• $y(-\frac{5\pi}{6}) = -\frac{5\pi}{6} - 2\cos(-\frac{5\pi}{6}) = -\frac{5\pi}{6} - 2 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \sqrt{3} - \frac{5\pi}{6}$

5. Сравним полученные значения, чтобы найти наименьшее и наибольшее. Воспользуемся приближенными значениями $\pi \approx 3.14$ и $\sqrt{3} \approx 1.73$.

• $y(-\pi) = 2 - \pi \approx 2 - 3.14 = -1.14$
• $y(\pi) = \pi + 2 \approx 3.14 + 2 = 5.14$
• $y(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{\pi}{6} - \sqrt{3} \approx -0.52 - 1.73 = -2.25$
• $y(-\frac{5\pi}{6}) = \sqrt{3} - \frac{5\pi}{6} \approx 1.73 - 2.62 = -0.89$

Из сравнения видно, что наименьшее значение функции $y_{min} = -\frac{\pi}{6} - \sqrt{3}$, а наибольшее значение $y_{max} = \pi + 2$.

Таким образом, множество значений функции на данном отрезке: $[-\frac{\pi}{6} - \sqrt{3}; \pi + 2]$.

Ответ: $[-\frac{\pi}{6} - \sqrt{3}; \pi + 2]$

б) $y = 2\sin x - x, x \in [\pi; 3\pi]$

Действуем по той же схеме.

1. Найдем производную функции:

$y' = (2\sin x - x)' = 2\cos x - 1$.

2. Найдем критические точки из уравнения $y' = 0$:

$2\cos x - 1 = 0$

$\cos x = \frac{1}{2}$

3. Общее решение этого уравнения: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Выберем корни, принадлежащие отрезку $[\pi; 3\pi]$:

• При $k=1$, $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$. Этот корень входит в отрезок $[\pi; 3\pi]$.
• При $k=1$, $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$. Этот корень также входит в отрезок $[\pi; 3\pi]$.

Итак, критические точки на отрезке: $x_1 = \frac{5\pi}{3}$ и $x_2 = \frac{7\pi}{3}$.

4. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:

• $y(\pi) = 2\sin(\pi) - \pi = 2 \cdot 0 - \pi = -\pi$
• $y(3\pi) = 2\sin(3\pi) - 3\pi = 2 \cdot 0 - 3\pi = -3\pi$
• $y(\frac{5\pi}{3}) = 2\sin(\frac{5\pi}{3}) - \frac{5\pi}{3} = 2 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{5\pi}{3} = -\sqrt{3} - \frac{5\pi}{3}$
• $y(\frac{7\pi}{3}) = 2\sin(\frac{7\pi}{3}) - \frac{7\pi}{3} = 2\sin(2\pi + \frac{\pi}{3}) - \frac{7\pi}{3} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{7\pi}{3} = \sqrt{3} - \frac{7\pi}{3}$

5. Сравним полученные значения:

• $y(\pi) = -\pi \approx -3.14$
• $y(3\pi) = -3\pi \approx -9.42$
• $y(\frac{5\pi}{3}) = -\sqrt{3} - \frac{5\pi}{3} \approx -1.73 - \frac{5 \cdot 3.14}{3} \approx -1.73 - 5.23 = -6.96$
• $y(\frac{7\pi}{3}) = \sqrt{3} - \frac{7\pi}{3} \approx 1.73 - \frac{7 \cdot 3.14}{3} \approx 1.73 - 7.33 = -5.6$

Наибольшее из этих значений равно $-\pi$, а наименьшее равно $-3\pi$.

Следовательно, множество значений функции на данном отрезке: $[-3\pi; -\pi]$.

Ответ: $[-3\pi; -\pi]$

Исследуйте функцию и постройте её график:

31.3 а) $y = 3x^2 - 4x + 5;$

б) $y = 3 + 2x - x^2;$

в) $y = 7 - x - 2x^2;$

г) $y = 5x^2 - 15x - 4.$

а) $y = 3x^2 - 4x + 5$

1. Область определения функции: Все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Описание графика: Графиком функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=3$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
3. Координаты вершины параболы:
Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
Ордината вершины: $y_v = y(\frac{2}{3}) = 3(\frac{2}{3})^2 - 4(\frac{2}{3}) + 5 = 3 \cdot \frac{4}{9} - \frac{8}{3} + 5 = \frac{4}{3} - \frac{8}{3} + \frac{15}{3} = \frac{11}{3}$.
Координаты вершины: $(\frac{2}{3}, \frac{11}{3})$.
4. Ось симметрии: Вертикальная прямая $x = \frac{2}{3}$.
5. Точки пересечения с осями координат:
- С осью OY (при $x=0$): $y = 3 \cdot 0^2 - 4 \cdot 0 + 5 = 5$. Точка $(0, 5)$.
- С осью OX (при $y=0$): $3x^2 - 4x + 5 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 16 - 60 = -44$.
Так как $D < 0$, действительных корней нет, и парабола не пересекает ось OX.
6. Построение графика: Для построения графика отметим на координатной плоскости вершину $(\frac{2}{3}, \frac{11}{3})$, точку пересечения с осью OY $(0, 5)$ и симметричную ей точку $(\frac{4}{3}, 5)$. Соединим эти точки плавной кривой.

Ответ: График функции $y = 3x^2 - 4x + 5$ — это парабола с вершиной в точке $(\frac{2}{3}, \frac{11}{3})$, ветви которой направлены вверх. Ось симметрии $x=\frac{2}{3}$. График пересекает ось OY в точке $(0, 5)$ и не пересекает ось OX.

б) $y = 3 + 2x - x^2$

Запишем функцию в стандартном виде: $y = -x^2 + 2x + 3$.
1. Область определения функции: Все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Описание графика: Графиком функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=-1$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
3. Координаты вершины параболы:
Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$.
Ордината вершины: $y_v = y(1) = -(1)^2 + 2(1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$.
Координаты вершины: $(1, 4)$.
4. Ось симметрии: Вертикальная прямая $x = 1$.
5. Точки пересечения с осями координат:
- С осью OY (при $x=0$): $y = -0^2 + 2 \cdot 0 + 3 = 3$. Точка $(0, 3)$.
- С осью OX (при $y=0$): $-x^2 + 2x + 3 = 0$ или $x^2 - 2x - 3 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.
Точки пересечения: $(3, 0)$ и $(-1, 0)$.
6. Построение графика: Для построения графика отметим на координатной плоскости вершину $(1, 4)$, точки пересечения с осями $(-1, 0)$, $(3, 0)$ и $(0, 3)$. Также можно отметить точку, симметричную $(0, 3)$ относительно оси $x=1$, это точка $(2, 3)$. Соединим эти точки плавной кривой.

Ответ: График функции $y = 3 + 2x - x^2$ — это парабола с вершиной в точке $(1, 4)$, ветви которой направлены вниз. Ось симметрии $x=1$. График пересекает ось OY в точке $(0, 3)$ и ось OX в точках $(-1, 0)$ и $(3, 0)$.

в) $y = 7 - x - 2x^2$

Запишем функцию в стандартном виде: $y = -2x^2 - x + 7$.
1. Область определения функции: Все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Описание графика: Графиком функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=-2$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
3. Координаты вершины параболы:
Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot (-2)} = -\frac{1}{4}$.
Ордината вершины: $y_v = y(-\frac{1}{4}) = -2(-\frac{1}{4})^2 - (-\frac{1}{4}) + 7 = -2(\frac{1}{16}) + \frac{1}{4} + 7 = -\frac{1}{8} + \frac{2}{8} + \frac{56}{8} = \frac{57}{8} = 7.125$.
Координаты вершины: $(-\frac{1}{4}, \frac{57}{8})$.
4. Ось симметрии: Вертикальная прямая $x = -\frac{1}{4}$.
5. Точки пересечения с осями координат:
- С осью OY (при $x=0$): $y = -2 \cdot 0^2 - 0 + 7 = 7$. Точка $(0, 7)$.
- С осью OX (при $y=0$): $-2x^2 - x + 7 = 0$ или $2x^2 + x - 7 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 1 + 56 = 57$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{57}}{4}$.
Точки пересечения: $(\frac{-1 - \sqrt{57}}{4}, 0)$ и $(\frac{-1 + \sqrt{57}}{4}, 0)$. (Приблизительно $(-2.14, 0)$ и $(1.64, 0)$).
6. Построение графика: Отметим вершину $(-\frac{1}{4}, \frac{57}{8})$, точки пересечения с осями $(0, 7)$, $(\frac{-1 \pm \sqrt{57}}{4}, 0)$ и точку, симметричную $(0, 7)$ относительно оси $x = -1/4$, т.е. точку $(-\frac{1}{2}, 7)$. Соединим точки плавной кривой.

Ответ: График функции $y = 7 - x - 2x^2$ — это парабола с вершиной в точке $(-\frac{1}{4}, \frac{57}{8})$, ветви которой направлены вниз. Ось симметрии $x=-\frac{1}{4}$. График пересекает ось OY в точке $(0, 7)$ и ось OX в точках $(\frac{-1 \pm \sqrt{57}}{4}, 0)$.

г) $y = 5x^2 - 15x - 4$

1. Область определения функции: Все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Описание графика: Графиком функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=5$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
3. Координаты вершины параболы:
Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-15}{2 \cdot 5} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2} = 1.5$.
Ордината вершины: $y_v = y(\frac{3}{2}) = 5(\frac{3}{2})^2 - 15(\frac{3}{2}) - 4 = 5(\frac{9}{4}) - \frac{45}{2} - 4 = \frac{45}{4} - \frac{90}{4} - \frac{16}{4} = -\frac{61}{4} = -15.25$.
Координаты вершины: $(\frac{3}{2}, -\frac{61}{4})$.
4. Ось симметрии: Вертикальная прямая $x = \frac{3}{2}$.
5. Точки пересечения с осями координат:
- С осью OY (при $x=0$): $y = 5 \cdot 0^2 - 15 \cdot 0 - 4 = -4$. Точка $(0, -4)$.
- С осью OX (при $y=0$): $5x^2 - 15x - 4 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 225 + 80 = 305$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{15 \pm \sqrt{305}}{10}$.
Точки пересечения: $(\frac{15 - \sqrt{305}}{10}, 0)$ и $(\frac{15 + \sqrt{305}}{10}, 0)$. (Приблизительно $(-0.25, 0)$ и $(3.25, 0)$).
6. Построение графика: Отметим вершину $(\frac{3}{2}, -\frac{61}{4})$, точки пересечения с осями $(0, -4)$, $(\frac{15 \pm \sqrt{305}}{10}, 0)$ и точку, симметричную $(0, -4)$ относительно оси $x = 1.5$, т.е. точку $(3, -4)$. Соединим точки плавной кривой.

Ответ: График функции $y = 5x^2 - 15x - 4$ — это парабола с вершиной в точке $(\frac{3}{2}, -\frac{61}{4})$, ветви которой направлены вверх. Ось симметрии $x=\frac{3}{2}$. График пересекает ось OY в точке $(0, -4)$ и ось OX в точках $(\frac{15 \pm \sqrt{305}}{10}, 0)$.

31.4 а) $y = 3x^2 - x^3;$

б) $y = -9x + x^3;$

в) $y = x^3 + 3x^2;$

г) $y = 3x - x^3.$

а) $y = 3x^2 - x^3$

Для исследования функции найдем ее производную, критические точки, промежутки возрастания и убывания, а также точки экстремума.

1. Область определения функции — все действительные числа, так как это многочлен: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции:

$y' = (3x^2 - x^3)' = 6x - 3x^2$

3. Находим критические точки, приравнивая производную к нулю:

$6x - 3x^2 = 0$

$3x(2 - x) = 0$

Отсюда получаем критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

4. Определим знаки производной на интервалах, на которые критические точки разбивают числовую ось: $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$.

- Если $x < 0$, то $y' < 0$ (например, при $x=-1$, $y'(-1) = -6-3=-9$), следовательно, функция убывает на $(-\infty; 0]$.

- Если $0 < x < 2$, то $y' > 0$ (например, при $x=1$, $y'(1) = 6-3=3$), следовательно, функция возрастает на $[0; 2]$.

- Если $x > 2$, то $y' < 0$ (например, при $x=3$, $y'(3) = 18-27=-9$), следовательно, функция убывает на $[2; +\infty)$.

5. В точке $x = 0$ производная меняет знак с «−» на «+», значит, это точка локального минимума. Значение функции в этой точке: $y_{min} = y(0) = 3(0)^2 - 0^3 = 0$.

6. В точке $x = 2$ производная меняет знак с «+» на «−», значит, это точка локального максимума. Значение функции в этой точке: $y_{max} = y(2) = 3(2)^2 - 2^3 = 12 - 8 = 4$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0; 2]$, убывает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[2; +\infty)$. Точка минимума $x_{min} = 0$, $y(0) = 0$. Точка максимума $x_{max} = 2$, $y(2) = 4$.

б) $y = -9x + x^3$

1. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную:

$y' = (-9x + x^3)' = -9 + 3x^2$

3. Находим критические точки:

$-9 + 3x^2 = 0$

$3x^2 = 9$

$x^2 = 3$

Критические точки: $x_1 = -\sqrt{3}$ и $x_2 = \sqrt{3}$.

4. Определим знаки производной на интервалах $(-\infty; -\sqrt{3})$, $(-\sqrt{3}; \sqrt{3})$ и $(\sqrt{3}; +\infty)$.

- Если $x < -\sqrt{3}$, то $y' > 0$ (например, при $x=-2$, $y'(-2) = -9+12=3$), следовательно, функция возрастает на $(-\infty; -\sqrt{3}]$.

- Если $-\sqrt{3} < x < \sqrt{3}$, то $y' < 0$ (например, при $x=0$, $y'(0) = -9$), следовательно, функция убывает на $[-\sqrt{3}; \sqrt{3}]$.

- Если $x > \sqrt{3}$, то $y' > 0$ (например, при $x=2$, $y'(2) = -9+12=3$), следовательно, функция возрастает на $[\sqrt{3}; +\infty)$.

5. В точке $x = -\sqrt{3}$ производная меняет знак с «+» на «−», это точка локального максимума: $y_{max} = y(-\sqrt{3}) = -9(-\sqrt{3}) + (-\sqrt{3})^3 = 9\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$.

6. В точке $x = \sqrt{3}$ производная меняет знак с «−» на «+», это точка локального минимума: $y_{min} = y(\sqrt{3}) = -9(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^3 = -9\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = -6\sqrt{3}$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -\sqrt{3}]$ и $[\sqrt{3}; +\infty)$, убывает на промежутке $[-\sqrt{3}; \sqrt{3}]$. Точка максимума $x_{max} = -\sqrt{3}$, $y(-\sqrt{3}) = 6\sqrt{3}$. Точка минимума $x_{min} = \sqrt{3}$, $y(\sqrt{3}) = -6\sqrt{3}$.

в) $y = x^3 + 3x^2$

1. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную:

$y' = (x^3 + 3x^2)' = 3x^2 + 6x$

3. Находим критические точки:

$3x^2 + 6x = 0$

$3x(x + 2) = 0$

Критические точки: $x_1 = -2$ и $x_2 = 0$.

4. Определим знаки производной на интервалах $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$ и $(0; +\infty)$.

- Если $x < -2$, то $y' > 0$ (например, при $x=-3$, $y'(-3) = 27-18=9$), следовательно, функция возрастает на $(-\infty; -2]$.

- Если $-2 < x < 0$, то $y' < 0$ (например, при $x=-1$, $y'(-1) = 3-6=-3$), следовательно, функция убывает на $[-2; 0]$.

- Если $x > 0$, то $y' > 0$ (например, при $x=1$, $y'(1) = 3+6=9$), следовательно, функция возрастает на $[0; +\infty)$.

5. В точке $x = -2$ производная меняет знак с «+» на «−», это точка локального максимума: $y_{max} = y(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 = -8 + 12 = 4$.

6. В точке $x = 0$ производная меняет знак с «−» на «+», это точка локального минимума: $y_{min} = y(0) = 0^3 + 3(0)^2 = 0$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -2]$ и $[0; +\infty)$, убывает на промежутке $[-2; 0]$. Точка максимума $x_{max} = -2$, $y(-2) = 4$. Точка минимума $x_{min} = 0$, $y(0) = 0$.

г) $y = 3x - x^3$

1. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную:

$y' = (3x - x^3)' = 3 - 3x^2$

3. Находим критические точки:

$3 - 3x^2 = 0$

$3(1 - x^2) = 0$

$x^2 = 1$

Критические точки: $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.

4. Определим знаки производной на интервалах $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$ и $(1; +\infty)$.

- Если $x < -1$, то $y' < 0$ (например, при $x=-2$, $y'(-2) = 3-12=-9$), следовательно, функция убывает на $(-\infty; -1]$.

- Если $-1 < x < 1$, то $y' > 0$ (например, при $x=0$, $y'(0) = 3$), следовательно, функция возрастает на $[-1; 1]$.

- Если $x > 1$, то $y' < 0$ (например, при $x=2$, $y'(2) = 3-12=-9$), следовательно, функция убывает на $[1; +\infty)$.

5. В точке $x = -1$ производная меняет знак с «−» на «+», это точка локального минимума: $y_{min} = y(-1) = 3(-1) - (-1)^3 = -3 - (-1) = -2$.

6. В точке $x = 1$ производная меняет знак с «+» на «−», это точка локального максимума: $y_{max} = y(1) = 3(1) - 1^3 = 3 - 1 = 2$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-1; 1]$, убывает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[1; +\infty)$. Точка минимума $x_{min} = -1$, $y(-1) = -2$. Точка максимума $x_{max} = 1$, $y(1) = 2$.

Постройте эскиз графика какой-нибудь функции, обладающей указанными свойствами:

31.1 а) Функция имеет две точки максимума, одну точку минимума и является ограниченной;

б) функция возрастает при $x \le 1$ и при $x \ge 5$ и убывает на промежутке $[1; 5]$; точка $x = 1$ является критической, а точка $x = 5$ — стационарной.

а)

Для построения эскиза графика функции с заданными свойствами, проанализируем каждое из них:

1. Две точки максимума и одна точка минимума. Это означает, что на графике должно быть три экстремума. Чтобы между двумя максимумами существовал минимум, они должны чередоваться. То есть, график будет иметь вид "холм - впадина - холм".
2. Функция является ограниченной. Это значит, что существуют такие числа $m$ и $M$, что для любого $x$ из области определения функции выполняется неравенство $m \le f(x) \le M$. Графически это означает, что весь график функции лежит в горизонтальной полосе между прямыми $y=m$ и $y=M$. Это часто достигается за счет наличия у функции горизонтальных асимптот при $x \to \infty$ и $x \to -\infty$.

Теперь построим эскиз, удовлетворяющий этим условиям.

Выберем конкретные координаты для точек экстремума и асимптоты. Пусть у функции будет горизонтальная асимптота $y=0$ при $x \to \pm\infty$.

• Пусть первая точка максимума будет в точке $A(-3, 4)$.
• Точка минимума — в точке $B(0, 1)$.
• Вторая точка максимума — в точке $C(3, 3)$.

Эскиз графика будет выглядеть следующим образом:

• При $x \to -\infty$ график функции приближается к оси абсцисс ($y=0$) сверху.
• С увеличением $x$ функция возрастает до точки максимума $A(-3, 4)$.
• После точки $A$ функция убывает до точки минимума $B(0, 1)$.
• От точки $B$ функция снова возрастает до второй точки максимума $C(3, 3)$. Заметим, что значение в этой точке максимума меньше, чем в первой.
• После точки $C$ функция убывает и снова приближается к горизонтальной асимптоте $y=0$ сверху при $x \to \infty$.

Таким образом, построенный график имеет два максимума и один минимум. Функция ограничена: все её значения лежат в промежутке $[1, 4]$, то есть $1 \le f(x) \le 4$.

Ответ: Эскиз графика представляет собой волнистую линию, которая начинается от горизонтальной асимптоты $y=0$ слева, поднимается до первого максимума (например, в точке $(-3, 4)$), затем опускается до минимума (например, в точке $(0, 1)$), снова поднимается до второго, более низкого максимума (например, в точке $(3, 3)$) и затем снова опускается, приближаясь к асимптоте $y=0$ справа.

б)

Проанализируем условия для этой функции:

1. Функция возрастает при $x \le 1$ и при $x \ge 5$, и убывает на промежутке $[1; 5]$. Характер изменения монотонности (возрастание → убывание → возрастание) говорит о том, что в точке $x=1$ функция имеет локальный максимум, а в точке $x=5$ — локальный минимум.
2. Точка $x=1$ является критической. Критическая точка — это внутренняя точка области определения, в которой производная функции равна нулю или не существует.
3. Точка $x=5$ — стационарная. Стационарная точка — это точка, в которой производная функции равна нулю ($f'(x)=0$). Это частный случай критической точки.

Чтобы наглядно показать различие между этими типами точек, мы можем построить график, у которого в точке максимума $x=1$ производная не существует (например, график имеет "излом" или "пик"), а в точке минимума $x=5$ производная равна нулю (график имеет гладкий изгиб с горизонтальной касательной).

Построим эскиз графика:

• На промежутке $(-\infty, 1]$ функция возрастает. Пусть она приходит из $-\infty$ и достигает своего локального максимума в точке $(1, 3)$. В этой точке нарисуем острый пик (излом), чтобы показать, что производная в $x=1$ не существует.
• На промежутке $[1; 5]$ функция убывает. От точки $(1, 3)$ график идет вниз до точки локального минимума. Пусть это будет точка $(5, -1)$.
• В точке $x=5$ у функции стационарная точка, поэтому в окрестности точки $(5, -1)$ график должен быть гладким, с горизонтальной касательной в самой нижней точке.
• На промежутке $[5, \infty)$ функция снова возрастает. От точки $(5, -1)$ график уходит вверх в $+\infty$.

Полученный эскиз удовлетворяет всем перечисленным условиям.

Ответ: Эскиз графика начинается в левой нижней части координатной плоскости, возрастает до точки $(1, 3)$, где образует острый пик (в этой точке максимум, и она является критической, но не стационарной). Затем график убывает до точки $(5, -1)$, где плавно изгибается, имея горизонтальную касательную (в этой точке минимум, и она является стационарной). После этого график снова возрастает, уходя в правую верхнюю часть координатной плоскости.

31.2 a) Функция имеет разрыв в точке $x = -2$, максимум в точке $x = -1$ и минимум в точке $x = 1$;

б) функция имеет горизонтальную асимптоту $y = 3$ при $x \to \infty$, одну точку максимума и одну точку минимума.

а) Функция имеет разрыв в точке $x = -2$, максимум в точке $x = -1$ и минимум в точке $x = 1$;

Для построения функции, удовлетворяющей заданным условиям, мы можем сконструировать её производную $f'(x)$ так, чтобы она отражала требуемые свойства, а затем найти саму функцию $f(x)$ интегрированием.

1. Условия на экстремумы. Наличие максимума в точке $x = -1$ и минимума в точке $x = 1$ для дифференцируемой функции означает, что её производная $f'(x)$ обращается в ноль в этих точках, то есть $f'(-1)=0$ и $f'(1)=0$. Это значит, что $f'(x)$ должна содержать множитель $(x+1)(x-1) = x^2-1$. Знак этого выражения меняется с «+» на «−» при переходе через $x = -1$ (что соответствует максимуму) и с «−» на «+» при переходе через $x = 1$ (что соответствует минимуму).

2. Условие разрыва. Разрыв функции в точке $x = -2$ означает, что сама функция (и, как правило, её производная) не определена в этой точке. Мы можем ввести этот разрыв, добавив в знаменатель производной множитель, обращающийся в ноль при $x = -2$. Чтобы не нарушить знаковую картину в точках экстремума, выберем множитель в четной степени, например $(x+2)^2$, который всегда неотрицателен.

Таким образом, выберем производную в виде:$f'(x) = \frac{x^2-1}{(x+2)^2}$Эта производная имеет нули в точках $x=\pm 1$ и разрыв в точке $x=-2$. Знак $f'(x)$ определяется знаком числителя $x^2-1$, что обеспечивает максимум в $x=-1$ и минимум в $x=1$.

Теперь найдем искомую функцию $f(x)$ путем интегрирования $f'(x)$:$f(x) = \int \frac{x^2-1}{(x+2)^2} \,dx$Для вычисления интеграла применим подстановку $u = x+2$, откуда $x = u-2$. Тогда $x^2-1 = (u-2)^2-1 = u^2-4u+3$. Интеграл преобразуется к виду:$\int \frac{u^2-4u+3}{u^2} \,du = \int \left(1 - \frac{4}{u} + \frac{3}{u^2}\right) \,du = u - 4\ln|u| - \frac{3}{u} + C$Возвращаясь к переменной $x$, получаем:$f(x) = (x+2) - 4\ln|x+2| - \frac{3}{x+2} + C$Для простоты можно выбрать константу $C$ так, чтобы избавиться от свободного члена +2 (например, положив $C=-2$).

Ответ: $y = x - 4\ln|x+2| - \frac{3}{x+2}$

б) функция имеет горизонтальную асимптоту $y = 3$ при $x \to \infty$, одну точку максимума и одну точку минимума.

Построим функцию, удовлетворяющую данным условиям.

1. Условие на асимптоту. Горизонтальная асимптота $y=3$ при $x \to \infty$ означает, что $\lim_{x \to \infty} f(x) = 3$. Это условие удобно выполнить, представив функцию в виде $f(x) = 3 + g(x)$, где $\lim_{x \to \infty} g(x) = 0$.

2. Условия на экстремумы. Наличие одной точки максимума и одной точки минимума означает, что производная функции $f'(x)$ должна иметь два различных действительных корня, в которых она меняет знак.

В качестве $g(x)$ выберем дробно-рациональную функцию, у которой степень знаменателя больше степени числителя, чтобы обеспечить стремление к нулю на бесконечности. Чтобы избежать лишних разрывов (вертикальных асимптот), выберем знаменатель, который не обращается в ноль, например $x^2+1$.Пусть $g(x) = \frac{ax+b}{x^2+1}$. Тогда искомая функция имеет вид:$f(x) = 3 + \frac{ax+b}{x^2+1}$Найдем её производную:$f'(x) = (3 + \frac{ax+b}{x^2+1})' = \frac{a(x^2+1) - (ax+b)(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{ax^2+a-2ax^2-2bx}{(x^2+1)^2} = \frac{-ax^2-2bx+a}{(x^2+1)^2}$Для существования двух точек экстремума необходимо, чтобы уравнение $-ax^2-2bx+a=0$ имело два различных действительных корня. Для этого дискриминант $D$ этого квадратного трехчлена должен быть строго положителен:$D = (-2b)^2 - 4(-a)(a) = 4b^2 + 4a^2 = 4(a^2+b^2)$Дискриминант $D > 0$ при любых $a$ и $b$, не равных нулю одновременно.Выберем простые значения, например $a=1$ и $b=1$. Тогда функция примет вид:$f(x) = 3 + \frac{x+1}{x^2+1}$Её производная $f'(x) = \frac{-x^2-2x+1}{(x^2+1)^2}$ обращается в ноль, когда $-x^2-2x+1=0$, то есть при $x = -1 \pm \sqrt{2}$. Так как корней два, функция имеет две точки экстремума (максимум и минимум). Асимптота $y=3$ выполняется по построению.

Ответ: $y = 3 + \frac{x+1}{x^2+1}$