Страница 114, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 1
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
ч. 1. Cтраница 114

№30.6 (с. 114)
Условие. №30.6 (с. 114)
скриншот условия

30.6 На рисунках 57–59 изображены графики производных функций $y = f(x)$, $y = g(x)$, $y = h(x)$. Определите, какая из функций $y = f(x)$, $y = g(x)$, $y = h(x)$:
а) возрастает на $\mathbb{R}$;
б) убывает на $\mathbb{R}$.
Рис. 57
$y = f'(x)$
Рис. 58
$y = g'(x)$
Рис. 59
$y = h'(x)$
Решение 1. №30.6 (с. 114)

Решение 2. №30.6 (с. 114)

Решение 3. №30.6 (с. 114)

Решение 5. №30.6 (с. 114)

Решение 6. №30.6 (с. 114)
Для решения этой задачи необходимо использовать связь между знаком производной функции и ее монотонностью:
- Если производная функции $f'(x) \ge 0$ на некотором промежутке, то функция $f(x)$ возрастает (не убывает) на этом промежутке.
- Если производная функции $f'(x) \le 0$ на некотором промежутке, то функция $f(x)$ убывает (не возрастает) на этом промежутке.
Чтобы функция возрастала или убывала на всей числовой прямой $\mathbf{R}$, знак ее производной должен быть постоянным для всех $x \in \mathbf{R}$.
а) возрастает на R
Функция возрастает на всей числовой прямой $\mathbf{R}$, если ее производная неотрицательна (то есть $y' \ge 0$) для всех $x \in \mathbf{R}$. Это означает, что график производной должен быть расположен не ниже оси абсцисс ($Ox$).
1. График $y = f'(x)$ (Рис. 57): Весь график расположен выше оси $Ox$. Минимальное значение производной равно 1. Таким образом, $f'(x) > 0$ для всех $x$. Это означает, что функция $y = f(x)$ строго возрастает на всей числовой прямой $\mathbf{R}$.
2. График $y = g'(x)$ (Рис. 58): Этот график пересекает ось $Ox$. Для $x < -1$ производная $g'(x)$ отрицательна, а для $x > -1$ — положительна. Следовательно, функция $y = g(x)$ не является возрастающей на всей числовой прямой.
3. График $y = h'(x)$ (Рис. 59): Весь график расположен ниже оси $Ox$, что означает $h'(x) < 0$ для всех $x$. Следовательно, функция $y = h(x)$ убывает на $\mathbf{R}$.
Таким образом, условию, что функция возрастает на $\mathbf{R}$, удовлетворяет только $y = f(x)$.
Ответ: $y = f(x)$.
б) убывает на R
Функция убывает на всей числовой прямой $\mathbf{R}$, если ее производная неположительна (то есть $y' \le 0$) для всех $x \in \mathbf{R}$. Это означает, что график производной должен быть расположен не выше оси абсцисс ($Ox$).
1. График $y = f'(x)$ (Рис. 57): Как установлено выше, $f'(x) > 0$ для всех $x$, поэтому функция $y = f(x)$ возрастает на $\mathbf{R}$.
2. График $y = g'(x)$ (Рис. 58): Производная $g'(x)$ принимает как положительные, так и отрицательные значения, поэтому функция $y = g(x)$ не является убывающей на всей числовой прямой.
3. График $y = h'(x)$ (Рис. 59): Весь график этой производной находится ниже оси $Ox$. Это означает, что $h'(x) < 0$ для всех $x \in \mathbf{R}$. Следовательно, функция $y = h(x)$ строго убывает на всей числовой прямой $\mathbf{R}$.
Таким образом, условию, что функция убывает на $\mathbf{R}$, удовлетворяет только $y = h(x)$.
Ответ: $y = h(x)$.
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.