Страница 110, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

29.31 Составьте уравнение касательной к графику функции $y = \frac{1}{x^2}, x < 0$, отсекающей от осей координат треугольник, площадь которого равна $\frac{9}{8}$.

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

В нашей задаче дана функция $y = f(x) = \frac{1}{x^2}$ при условии $x < 0$. Сначала найдем производную этой функции: $f'(x) = (\frac{1}{x^2})' = (x^{-2})' = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$.

Теперь составим уравнение касательной в произвольной точке $x_0$, где $x_0 < 0$. Значение функции в этой точке: $f(x_0) = \frac{1}{x_0^2}$. Значение производной в этой точке: $f'(x_0) = -\frac{2}{x_0^3}$.

Подставим эти выражения в общую формулу уравнения касательной: $y = \frac{1}{x_0^2} + (-\frac{2}{x_0^3})(x - x_0)$ Раскроем скобки и упростим выражение: $y = \frac{1}{x_0^2} - \frac{2}{x_0^3}x + \frac{2x_0}{x_0^3}$ $y = -\frac{2}{x_0^3}x + \frac{1}{x_0^2} + \frac{2}{x_0^2}$ $y = -\frac{2}{x_0^3}x + \frac{3}{x_0^2}$ Это уравнение касательной в общем виде для любой точки $x_0 < 0$.

Далее найдем точки пересечения этой касательной с осями координат, чтобы определить катеты треугольника. 1. Пересечение с осью ординат (OY): для этого полагаем $x = 0$. $y_{OY} = -\frac{2}{x_0^3} \cdot 0 + \frac{3}{x_0^2} = \frac{3}{x_0^2}$. Так как $x_0^2 > 0$, то $y_{OY} > 0$. Длина отрезка, отсекаемого на оси OY, равна $\frac{3}{x_0^2}$.

2. Пересечение с осью абсцисс (OX): для этого полагаем $y = 0$. $0 = -\frac{2}{x_0^3}x_{OX} + \frac{3}{x_0^2}$ $\frac{2}{x_0^3}x_{OX} = \frac{3}{x_0^2}$ $x_{OX} = \frac{3}{x_0^2} \cdot \frac{x_0^3}{2} = \frac{3}{2}x_0$. По условию $x_0 < 0$, следовательно, $x_{OX} < 0$. Длина отрезка, отсекаемого на оси OX, равна модулю этой величины: $|x_{OX}| = |\frac{3}{2}x_0| = -\frac{3}{2}x_0$.

Касательная отсекает от осей координат прямоугольный треугольник, катеты которого равны найденным длинам отрезков. Площадь этого треугольника $S$ равна половине произведения его катетов: $S = \frac{1}{2} \cdot |x_{OX}| \cdot y_{OY} = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{3}{2}x_0) \cdot (\frac{3}{x_0^2})$ $S = \frac{-9x_0}{4x_0^2} = \frac{-9}{4x_0}$.

По условию задачи, площадь треугольника равна $\frac{9}{8}$. Приравняем полученное выражение для площади к этому значению и найдем $x_0$: $\frac{-9}{4x_0} = \frac{9}{8}$ Разделим обе части уравнения на 9: $\frac{-1}{4x_0} = \frac{1}{8}$ Отсюда следует, что $4x_0 = -8$, и $x_0 = -2$. Это значение удовлетворяет исходному условию $x_0 < 0$.

Мы нашли абсциссу точки касания $x_0 = -2$. Теперь подставим это значение в полученное ранее уравнение касательной $y = -\frac{2}{x_0^3}x + \frac{3}{x_0^2}$: $y = -\frac{2}{(-2)^3}x + \frac{3}{(-2)^2}$ $y = -\frac{2}{-8}x + \frac{3}{4}$ $y = \frac{1}{4}x + \frac{3}{4}$

Ответ: $y = \frac{1}{4}x + \frac{3}{4}$

29.35 а) На оси $y$ взята точка $B$, из неё проведены касательные к графику функции $y = 3 - \frac{1}{2}x^2$. Известно, что эти касательные образуют между собой угол $90^{\circ}$. Найдите координаты точки $B$.

б) Составьте уравнения тех касательных к графику функции $y = 0,5x^2 - 2,5$, которые пересекаются под углом $90^{\circ}$ в точке, лежащей на оси $y$.

а) Пусть точка $B$ имеет координаты $(0; b)$, так как она лежит на оси $y$. Дана функция $y = f(x) = 3 - \frac{1}{2}x^2$. Уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Найдем производную функции: $f'(x) = (3 - \frac{1}{2}x^2)' = -x$. Тогда уравнение касательной в точке $x_0$ будет: $y = (3 - \frac{1}{2}x_0^2) + (-x_0)(x - x_0)$ $y = 3 - \frac{1}{2}x_0^2 - x_0x + x_0^2$ $y = -x_0x + 3 + \frac{1}{2}x_0^2$

Поскольку касательная проходит через точку $B(0; b)$, ее координаты должны удовлетворять уравнению касательной. Подставим $x=0$ и $y=b$: $b = -x_0 \cdot 0 + 3 + \frac{1}{2}x_0^2$ $b = 3 + \frac{1}{2}x_0^2$

Это уравнение связывает координату точки $B$ с абсциссами точек касания. Из него можно выразить $x_0$: $\frac{1}{2}x_0^2 = b - 3$ $x_0^2 = 2(b - 3)$ $x_0 = \pm\sqrt{2(b - 3)}$

Таким образом, из точки $B$ можно провести две касательные к графику, точки касания которых имеют абсциссы $x_1 = \sqrt{2(b - 3)}$ и $x_2 = -\sqrt{2(b - 3)}$. Угловые коэффициенты (наклоны) этих касательных равны значениям производной в точках касания: $k_1 = f'(x_1) = -x_1 = -\sqrt{2(b - 3)}$ $k_2 = f'(x_2) = -x_2 = -(-\sqrt{2(b - 3)}) = \sqrt{2(b - 3)}$

По условию, касательные образуют угол $90^\circ$, то есть они перпендикулярны. Условие перпендикулярности двух прямых: произведение их угловых коэффициентов равно $-1$. $k_1 \cdot k_2 = -1$ $(-\sqrt{2(b - 3)}) \cdot (\sqrt{2(b - 3)}) = -1$ $-(2(b - 3)) = -1$ $2(b - 3) = 1$ $b - 3 = \frac{1}{2}$ $b = 3.5$

Следовательно, координаты точки $B$ равны $(0; 3,5)$.

Ответ: $(0; 3,5)$

б) Эта задача является обратной к предыдущей. Нам нужно найти уравнения двух касательных к графику функции $y = f(x) = 0,5x^2 - 2,5$, которые пересекаются под углом $90^\circ$ в точке, лежащей на оси $y$.

Пусть точка пересечения касательных $B$ имеет координаты $(0; b)$. Найдем производную функции: $f'(x) = (0,5x^2 - 2,5)' = x$. Уравнение касательной в точке с абсциссой $x_0$: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$ $y = (0,5x_0^2 - 2,5) + x_0(x - x_0)$ $y = 0,5x_0^2 - 2,5 + x_0x - x_0^2$ $y = x_0x - 0,5x_0^2 - 2,5$

Касательная проходит через точку $B(0; b)$. Подставим ее координаты в уравнение: $b = x_0 \cdot 0 - 0,5x_0^2 - 2,5$ $b = -0,5x_0^2 - 2,5$

Выразим $x_0$ из этого уравнения: $0,5x_0^2 = -b - 2,5$ $x_0^2 = -2(b + 2,5)$ $x_0 = \pm\sqrt{-2(b + 2,5)}$

Мы имеем две точки касания с абсциссами $x_1$ и $x_2$. Угловые коэффициенты касательных равны: $k_1 = f'(x_1) = x_1$ $k_2 = f'(x_2) = x_2$

По условию перпендикулярности $k_1 \cdot k_2 = -1$, следовательно, $x_1 \cdot x_2 = -1$. Используя выражения для $x_1$ и $x_2$ через $b$: $x_1 = \sqrt{-2(b + 2,5)}$ и $x_2 = -\sqrt{-2(b + 2,5)}$. Их произведение: $x_1 \cdot x_2 = (\sqrt{-2(b + 2,5)}) \cdot (-\sqrt{-2(b + 2,5)}) = -(-2(b + 2,5)) = 2(b + 2,5)$.

Приравняем это выражение к $-1$: $2(b + 2,5) = -1$ $b + 2,5 = -0,5$ $b = -3$

Теперь, зная $b = -3$, найдем абсциссы точек касания: $x_0^2 = -2(-3 + 2,5) = -2(-0,5) = 1$. Отсюда $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Найдем уравнения касательных, подставив $x_1=1$ и $x_2=-1$ в общее уравнение касательной $y = x_0x - 0,5x_0^2 - 2,5$.

Для $x_0 = 1$: $y = 1 \cdot x - 0,5(1)^2 - 2,5 = x - 0,5 - 2,5 = x - 3$.

Для $x_0 = -1$: $y = (-1) \cdot x - 0,5(-1)^2 - 2,5 = -x - 0,5 - 2,5 = -x - 3$.

Искомые уравнения касательных: $y = x - 3$ и $y = -x - 3$.

Ответ: $y = x - 3$, $y = -x - 3$

29.32 Составьте уравнения тех касательных к графику функции $y = \frac{\sqrt{3}}{6}(1 - x^2)$, которые пересекаются под углом $120^\circ$ в точке, лежащей на оси $y$.

Дана функция $y = f(x) = \frac{\sqrt{3}}{6}(1 - x^2)$. Требуется составить уравнения касательных к графику этой функции, которые пересекаются на оси $y$ под углом $120^\circ$.

Сначала найдем производную функции, которая определяет угловой коэффициент касательной в каждой точке:

$f'(x) = \left(\frac{\sqrt{3}}{6}(1 - x^2)\right)' = \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot (-2x) = -\frac{\sqrt{3}}{3}x$.

Поскольку функция $f(x)$ является четной (ее график симметричен относительно оси $y$), а касательные по условию пересекаются на оси $y$, то точки касания также должны быть симметричны относительно оси $y$. Обозначим их абсциссы как $x_0$ и $-x_0$ (для $x_0 \neq 0$).

Угловые коэффициенты касательных в этих точках будут равны:

$k_1 = f'(x_0) = -\frac{\sqrt{3}}{3}x_0$

$k_2 = f'(-x_0) = \frac{\sqrt{3}}{3}x_0$.

Заметим, что $k_2 = -k_1$.

Угол между прямыми по условию равен $120^\circ$. Формула для тангенса угла $\alpha$ между двумя прямыми: $\tan\alpha = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2} \right|$. Эта формула дает острый угол. Острый угол, соответствующий тупому углу $120^\circ$, равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Тангенс этого угла $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$.

Подставим наши угловые коэффициенты в формулу:

$\sqrt{3} = \left| \frac{\frac{\sqrt{3}}{3}x_0 - (-\frac{\sqrt{3}}{3}x_0)}{1 + (-\frac{\sqrt{3}}{3}x_0)(\frac{\sqrt{3}}{3}x_0)} \right| = \left| \frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}x_0}{1 - \frac{1}{3}x_0^2} \right| = \left| \frac{2\sqrt{3}x_0}{3 - x_0^2} \right|$.

Разделим обе части на $\sqrt{3}$:

$1 = \left| \frac{2x_0}{3 - x_0^2} \right|$, что эквивалентно $|3 - x_0^2| = |2x_0|$.

Будем искать положительные значения $x_0$ (второе значение будет $-x_0$). Тогда $|2x_0| = 2x_0$, и уравнение принимает вид $|3 - x_0^2| = 2x_0$. Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1) $3 - x_0^2 = 2x_0 \implies x_0^2 + 2x_0 - 3 = 0$. Корни: $x_0 = 1$ и $x_0 = -3$. Положительный корень $x_0 = 1$.

2) $3 - x_0^2 = -2x_0 \implies x_0^2 - 2x_0 - 3 = 0$. Корни: $x_0 = 3$ и $x_0 = -1$. Положительный корень $x_0 = 3$.

Мы получили два возможных набора абсцисс точек касания: $\{\pm 1\}$ и $\{\pm 3\}$. Для каждого набора найдем пару уравнений касательных.

Первая пара касательных (в точках $x = \pm 1$)

Точки касания имеют абсциссы $x_0 = \pm 1$. Ордината в этих точках $y_0 = f(\pm 1) = \frac{\sqrt{3}}{6}(1 - 1^2) = 0$. Точки касания: $(1, 0)$ и $(-1, 0)$.Угловые коэффициенты: $k_1 = f'(1) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ и $k_2 = f'(-1) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.Уравнения касательных:

Для точки $(1, 0)$ и $k_1 = -\frac{\sqrt{3}}{3}$: $y - 0 = -\frac{\sqrt{3}}{3}(x - 1) \implies y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Для точки $(-1, 0)$ и $k_2 = \frac{\sqrt{3}}{3}$: $y - 0 = \frac{\sqrt{3}}{3}(x + 1) \implies y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Вторая пара касательных (в точках $x = \pm 3$)

Точки касания имеют абсциссы $x_0 = \pm 3$. Ордината в этих точках $y_0 = f(\pm 3) = \frac{\sqrt{3}}{6}(1 - 3^2) = \frac{\sqrt{3}}{6}(-8) = -\frac{4\sqrt{3}}{3}$. Точки касания: $(3, -\frac{4\sqrt{3}}{3})$ и $(-3, -\frac{4\sqrt{3}}{3})$.Угловые коэффициенты: $k_1 = f'(3) = -\sqrt{3}$ и $k_2 = f'(-3) = \sqrt{3}$.Уравнения касательных:

Для точки $(3, -\frac{4\sqrt{3}}{3})$ и $k_1 = -\sqrt{3}$: $y - (-\frac{4\sqrt{3}}{3}) = -\sqrt{3}(x - 3) \implies y = -\sqrt{3}x + 3\sqrt{3} - \frac{4\sqrt{3}}{3} \implies y = -\sqrt{3}x + \frac{5\sqrt{3}}{3}$.

Для точки $(-3, -\frac{4\sqrt{3}}{3})$ и $k_2 = \sqrt{3}$: $y - (-\frac{4\sqrt{3}}{3}) = \sqrt{3}(x + 3) \implies y = \sqrt{3}x + 3\sqrt{3} - \frac{4\sqrt{3}}{3} \implies y = \sqrt{3}x + \frac{5\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: Существуют две пары касательных, удовлетворяющих условию:$y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{\sqrt{3}}{3}$ и $y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{\sqrt{3}}{3}$;
$y = -\sqrt{3}x + \frac{5\sqrt{3}}{3}$ и $y = \sqrt{3}x + \frac{5\sqrt{3}}{3}$.

29.36 a) На оси $y$ взята точка $B$, из неё проведены касательные к графику функции $y = \frac{\sqrt{3}}{2}x^2 + \frac{\sqrt{3}}{2}$. Известно, что эти касательные образуют между собой угол $60^\circ$. Найдите координаты точки $B$.

б) Составьте уравнения тех касательных к графику функции $y = \frac{\sqrt{3}}{6}(1 - x^2)$, которые пересекаются под углом $120^\circ$ в точке, лежащей на оси $y$.

a)

Дана функция $y = f(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}x^2 + \frac{\sqrt{3}}{2}$. Точка $B$ лежит на оси y, следовательно, её координаты имеют вид $B(0, y_B)$.

Уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$.

Сначала найдем производную функции: $f'(x) = (\frac{\sqrt{3}}{2}x^2 + \frac{\sqrt{3}}{2})' = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2x = \sqrt{3}x$.

Угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен $k = f'(x_0) = \sqrt{3}x_0$.

Поскольку касательная проходит через точку $B(0, y_B)$, ее координаты удовлетворяют уравнению касательной:

$y_B - f(x_0) = f'(x_0)(0 - x_0)$

$y_B - (\frac{\sqrt{3}}{2}x_0^2 + \frac{\sqrt{3}}{2}) = -\sqrt{3}x_0 \cdot x_0$

$y_B - \frac{\sqrt{3}}{2}x_0^2 - \frac{\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}x_0^2$

$y_B = -\sqrt{3}x_0^2 + \frac{\sqrt{3}}{2}x_0^2 + \frac{\sqrt{3}}{2}$

$y_B = -\frac{\sqrt{3}}{2}x_0^2 + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Функция $f(x)$ является четной ($f(-x) = f(x)$), её график (парабола) симметричен относительно оси y. Так как точка $B$ также лежит на оси y, то точки касания симметричны относительно оси y. Пусть их абсциссы равны $x_0$ и $-x_0$.

Угловые коэффициенты двух касательных:

$k_1 = f'(x_0) = \sqrt{3}x_0$

$k_2 = f'(-x_0) = -\sqrt{3}x_0 = -k_1$

Угол между касательными равен 60°. Из-за симметрии ось y является биссектрисой угла между касательными. Это значит, что каждая касательная образует с осью y угол, равный $60^\circ / 2 = 30^\circ$.

Рассмотрим касательную с положительным угловым коэффициентом (пусть $x_0 > 0$, тогда $k_1 > 0$). Угол $\theta_1$, который эта касательная образует с положительным направлением оси x, равен $90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Следовательно, угловой коэффициент этой касательной равен $k_1 = \tan(60^\circ) = \sqrt{3}$.

Приравниваем найденное значение к выражению для $k_1$:

$\sqrt{3}x_0 = \sqrt{3}$, откуда $x_0 = 1$.

Теперь найдем ординату точки $B$, подставив $x_0=1$ в полученное ранее выражение для $y_B$:

$y_B = -\frac{\sqrt{3}}{2}(1)^2 + \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$.

Координаты точки $B$ равны $(0, 0)$.

Ответ: $(0, 0)$.

б)

Дана функция $y = g(x) = \frac{\sqrt{3}}{6}(1 - x^2)$. Точка пересечения касательных $P$ лежит на оси y, её координаты $P(0, y_P)$.

Найдем производную функции: $g'(x) = (\frac{\sqrt{3}}{6} - \frac{\sqrt{3}}{6}x^2)' = -\frac{\sqrt{3}}{6} \cdot 2x = -\frac{\sqrt{3}}{3}x$.

Пусть $A(x_0, y_0)$ — одна из точек касания. Уравнение касательной в этой точке: $y - g(x_0) = g'(x_0)(x - x_0)$.

Поскольку касательная проходит через точку $P(0, y_P)$, ее координаты удовлетворяют уравнению:

$y_P - g(x_0) = g'(x_0)(0 - x_0)$

$y_P - \frac{\sqrt{3}}{6}(1 - x_0^2) = -(-\frac{\sqrt{3}}{3}x_0)x_0 = \frac{\sqrt{3}}{3}x_0^2$

$y_P = \frac{\sqrt{3}}{3}x_0^2 - \frac{\sqrt{3}}{6}x_0^2 + \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{6}x_0^2 + \frac{\sqrt{3}}{6}$.

График функции $g(x)$ симметричен относительно оси y. Точка $P$ также лежит на оси y, поэтому точки касания симметричны. Пусть их абсциссы равны $x_0$ и $-x_0$ (для определенности, $x_0 > 0$).

Угловые коэффициенты касательных: $k_1 = g'(x_0) = -\frac{\sqrt{3}}{3}x_0$ и $k_2 = g'(-x_0) = \frac{\sqrt{3}}{3}x_0$.

Угол между касательными равен 120°. Ось y является биссектрисой этого угла, значит, каждая касательная образует с осью y угол $120^\circ / 2 = 60^\circ$.

Рассмотрим касательную с положительным угловым коэффициентом $k_2 = \frac{\sqrt{3}}{3}x_0$. Угол $\theta$, который она образует с положительным направлением оси x, равен $90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Ее угловой коэффициент $k_2 = \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Приравниваем это значение к выражению для $k_2$: $\frac{\sqrt{3}}{3}x_0 = \frac{\sqrt{3}}{3}$, откуда $x_0 = 1$.

Таким образом, абсциссы точек касания равны $1$ и $-1$.

Найдем ординату точки пересечения $P$, подставив $x_0 = 1$ в выражение для $y_P$:

$y_P = \frac{\sqrt{3}}{6}(1)^2 + \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Точка пересечения касательных $P$ имеет координаты $(0, \frac{\sqrt{3}}{3})$.

Угловые коэффициенты касательных:

$k_1 = g'(1) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

$k_2 = g'(-1) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Уравнения касательных имеют вид $y = kx + y_P$.

Первая касательная: $y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Вторая касательная: $y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{\sqrt{3}}{3}$ и $y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{\sqrt{3}}{3}$.

29.33 a) Найдите все значения $a$, при каждом из которых касательная к графику функции $y = \cos 7x + 7 \cos x$ в точках с абсциссой $a$ параллельна касательной к этому же графику в точке с абсциссой $\frac{\pi}{6}$.

б) Найдите все значения $a$, при каждом из которых касательные к графикам функций $y = 2 - 14 \sin 3x$ и $y = 6 \sin 7x$ в точках с абсциссой $a$ параллельны.

а)

Условие параллельности касательных к графику функции в двух точках заключается в равенстве угловых коэффициентов этих касательных. Угловой коэффициент касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$ в этой точке.

Дана функция $y = \cos(7x) + 7\cos(x)$.

Найдем ее производную: $y' = (\cos(7x) + 7\cos(x))' = -\sin(7x) \cdot (7x)' - 7\sin(x) = -7\sin(7x) - 7\sin(x)$.

Касательная в точке с абсциссой $a$ параллельна касательной в точке с абсциссой $\frac{\pi}{6}$. Это означает, что значения производной в этих точках равны: $y'(a) = y'(\frac{\pi}{6})$.

Сначала вычислим значение производной в точке $x = \frac{\pi}{6}$: $y'(\frac{\pi}{6}) = -7\sin(7 \cdot \frac{\pi}{6}) - 7\sin(\frac{\pi}{6})$.

Мы знаем, что $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$. Для вычисления $\sin(\frac{7\pi}{6})$ представим угол как $\frac{7\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}$. Тогда $\sin(\frac{7\pi}{6}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.

Подставим найденные значения: $y'(\frac{\pi}{6}) = -7(-\frac{1}{2}) - 7(\frac{1}{2}) = \frac{7}{2} - \frac{7}{2} = 0$.

Теперь решим уравнение $y'(a) = 0$: $-7\sin(7a) - 7\sin(a) = 0$. Разделим обе части на -7: $\sin(7a) + \sin(a) = 0$.

Воспользуемся формулой суммы синусов: $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$. $2\sin\frac{7a+a}{2}\cos\frac{7a-a}{2} = 0$. $2\sin(4a)\cos(3a) = 0$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1) $\sin(4a) = 0$. $4a = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (целые числа). $a = \frac{\pi k}{4}$, $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos(3a) = 0$. $3a = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. $a = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя оба решения, получаем все искомые значения $a$.

Ответ: $a = \frac{\pi k}{4}$, $k \in \mathbb{Z}$; $a = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$.

б)

Касательные к графикам двух функций $y_1(x)$ и $y_2(x)$ в точках с одинаковой абсциссой $a$ параллельны, если их угловые коэффициенты в этой точке равны. Это означает, что значения их производных в точке $a$ равны: $y_1'(a) = y_2'(a)$.

Даны две функции: $y_1 = 2 - 14\sin(3x)$ и $y_2 = 6\sin(7x)$.

Найдем их производные: $y_1' = (2 - 14\sin(3x))' = -14\cos(3x) \cdot (3x)' = -42\cos(3x)$. $y_2' = (6\sin(7x))' = 6\cos(7x) \cdot (7x)' = 42\cos(7x)$.

Приравняем значения производных в точке $a$: $y_1'(a) = y_2'(a)$. $-42\cos(3a) = 42\cos(7a)$.

Разделим обе части уравнения на 42: $-\cos(3a) = \cos(7a)$. $\cos(7a) + \cos(3a) = 0$.

Воспользуемся формулой суммы косинусов: $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$. $2\cos\frac{7a+3a}{2}\cos\frac{7a-3a}{2} = 0$. $2\cos(5a)\cos(2a) = 0$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1) $\cos(5a) = 0$. $5a = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. $a = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}$, $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos(2a) = 0$. $2a = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. $a = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя оба решения, получаем все искомые значения $a$.

Ответ: $a = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}$, $k \in \mathbb{Z}$; $a = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

29.34 a) Составьте уравнение касательной к графику функции $y = x^3$, $x > 0$, отсекающей от осей координат треугольник, площадь которого равна $\frac{2}{3}$.

б) Составьте уравнение касательной к графику функции $y = x^3$, $x < 0$, отсекающей от осей координат треугольник, площадь которого равна $\frac{27}{8}$.

a)

Общее уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Для функции $y = x^3$ имеем:

$f(x_0) = x_0^3$

Производная функции: $f'(x) = 3x^2$, следовательно, угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен $f'(x_0) = 3x_0^2$.

Подставим эти выражения в уравнение касательной:

$y = x_0^3 + 3x_0^2(x - x_0)$

$y = x_0^3 + 3x_0^2x - 3x_0^3$

$y = (3x_0^2)x - 2x_0^3$

Теперь найдем точки пересечения этой касательной с осями координат. Касательная отсекает от осей прямоугольный треугольник.

Точка пересечения с осью Oy (когда $x=0$):

$y_{int} = (3x_0^2) \cdot 0 - 2x_0^3 = -2x_0^3$

Точка пересечения с осью Ox (когда $y=0$):

$0 = (3x_0^2)x - 2x_0^3$

$(3x_0^2)x = 2x_0^3$

Так как по условию $x_0 > 0$, то $x_0 \neq 0$. Можем разделить обе части на $3x_0^2$:

$x_{int} = \frac{2x_0^3}{3x_0^2} = \frac{2}{3}x_0$

Вершины треугольника, отсекаемого касательной от осей, находятся в точках $(0, 0)$, $(x_{int}, 0)$ и $(0, y_{int})$. Длины катетов этого треугольника равны $|x_{int}|$ и $|y_{int}|$.

Площадь треугольника $S$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{1}{2} |x_{int}| \cdot |y_{int}| = \frac{1}{2} \left|\frac{2}{3}x_0\right| \cdot |-2x_0^3|$

Учитывая, что $x_0>0$, модули можно раскрыть:

$S = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{2}{3}x_0\right) \cdot (2x_0^3) = \frac{2}{3}x_0^4$

По условию задачи, площадь треугольника равна $\frac{2}{3}$. Приравняем полученное выражение для площади к этому значению:

$\frac{2}{3}x_0^4 = \frac{2}{3}$

$x_0^4 = 1$

Так как $x_0 > 0$, единственным решением является $x_0 = 1$.

Теперь подставим $x_0=1$ в общее уравнение касательной $y = (3x_0^2)x - 2x_0^3$, чтобы найти искомое уравнение:

$y = (3 \cdot 1^2)x - 2 \cdot 1^3$

$y = 3x - 2$

Ответ: $y=3x-2$

б)

Воспользуемся результатами, полученными в пункте а). Уравнение касательной в точке $x_0$: $y = (3x_0^2)x - 2x_0^3$. Точки пересечения с осями: $x_{int} = \frac{2}{3}x_0$ и $y_{int} = -2x_0^3$.

Площадь отсекаемого треугольника $S$:

$S = \frac{1}{2} |x_{int}| \cdot |y_{int}| = \frac{1}{2} \left|\frac{2}{3}x_0\right| \cdot |-2x_0^3| = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} |x_0| \cdot 2 |x_0^3| = \frac{2}{3}|x_0^4|$

Так как $x_0^4$ всегда неотрицательно, то $|x_0^4| = x_0^4$. Формула для площади не зависит от знака $x_0$:

$S = \frac{2}{3}x_0^4$

По условию этого пункта, $S = \frac{27}{8}$. Составим уравнение:

$\frac{2}{3}x_0^4 = \frac{27}{8}$

Выразим $x_0^4$:

$x_0^4 = \frac{27}{8} \cdot \frac{3}{2} = \frac{81}{16}$

Извлечем корень четвертой степени:

$x_0 = \pm \sqrt[4]{\frac{81}{16}} = \pm \frac{3}{2}$

По условию, $x < 0$, следовательно, выбираем $x_0 = -\frac{3}{2}$.

Подставим это значение $x_0$ в общее уравнение касательной $y = (3x_0^2)x - 2x_0^3$:

$x_0^2 = \left(-\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$

$x_0^3 = \left(-\frac{3}{2}\right)^3 = -\frac{27}{8}$

$y = \left(3 \cdot \frac{9}{4}\right)x - 2\left(-\frac{27}{8}\right)$

$y = \frac{27}{4}x + \frac{54}{8}$

$y = \frac{27}{4}x + \frac{27}{4}$

Ответ: $y=\frac{27}{4}x + \frac{27}{4}$

1. Что такое $\arcsin a$?

1. Арксинус числа $a$ (обозначается как $\arcsin a$) — это математическая функция, обратная к синусу. Если говорить точнее, это значение угла (в радианах) из отрезка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $a$.

Функция $y = \sin x$ является периодической, поэтому для нахождения однозначной обратной функции её область определения необходимо ограничить. Стандартно для этого выбирают отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, на котором синус монотонно возрастает от $-1$ до $1$. Таким образом, функция $y = \arcsin x$ является обратной к функции $y = \sin x$, рассматриваемой на отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

По определению, запись $y = \arcsin a$ эквивалентна одновременному выполнению двух условий:

1) $\sin y = a$
2) $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$

Из первого условия следует, что арксинус определён только для чисел $a$, принадлежащих отрезку $[-1, 1]$, то есть $|a| \le 1$, поскольку это область значений функции синус.

Примеры:
$\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$, так как $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ и значение $\frac{\pi}{6}$ принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
$\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$, так как $\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и значение $-\frac{\pi}{3}$ принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Ответ: Арксинус числа $a$ — это такое число $y$ (угол в радианах) из отрезка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, что $\sin y = a$. Данное определение имеет смысл только при условии, что $|a| \le 1$.

2. Какие из приведённых ниже чисел принадлежат области определения функции $y = \arcsin x$: $-\frac{1}{5}$, $\frac{7}{6}$, $-\sqrt{3}$, $\frac{\sqrt{70}}{9}$?

Область определения функции $y = \arcsin x$ — это множество всех значений $x$, для которых функция определена. Для функции арксинус таким множеством является отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что число принадлежит области определения функции $y = \arcsin x$ тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет двойному неравенству:

$ -1 \le x \le 1 $

Проверим каждое из предложенных чисел на соответствие этому условию.

$-\frac{1}{5}$
Проверим, выполняется ли неравенство $-1 \le -\frac{1}{5} \le 1$.
Левая часть неравенства: $-1 \le -\frac{1}{5}$. Это верно, так как $-1 = -0.2$, а $-1 \le -0.2$.
Правая часть неравенства: $-\frac{1}{5} \le 1$. Это верно, так как любое отрицательное число меньше любого положительного.
Поскольку оба условия выполняются, число $-\frac{1}{5}$ принадлежит области определения функции.

$\frac{7}{6}$
Проверим, выполняется ли неравенство $-1 \le \frac{7}{6} \le 1$.
Дробь $\frac{7}{6}$ является неправильной, так как числитель больше знаменателя. $\frac{7}{6} = 1 \frac{1}{6}$, что больше 1.
Условие $\frac{7}{6} \le 1$ не выполняется, следовательно, число $\frac{7}{6}$ не принадлежит области определения функции.

$-\sqrt{3}$
Проверим, выполняется ли неравенство $-1 \le -\sqrt{3} \le 1$.
Сравним $-\sqrt{3}$ и $-1$. Мы знаем, что $3 > 1$, следовательно $\sqrt{3} > \sqrt{1}$, то есть $\sqrt{3} > 1$. Умножив обе части на $-1$, мы должны изменить знак неравенства на противоположный: $-\sqrt{3} < -1$.
Условие $-1 \le -\sqrt{3}$ не выполняется, следовательно, число $-\sqrt{3}$ не принадлежит области определения функции.

$\frac{\sqrt{70}}{9}$
Проверим, выполняется ли неравенство $-1 \le \frac{\sqrt{70}}{9} \le 1$.
Так как число $\frac{\sqrt{70}}{9}$ положительное, левая часть неравенства ($-1 \le \frac{\sqrt{70}}{9}$) очевидно верна.
Проверим правую часть: $\frac{\sqrt{70}}{9} \le 1$.
Так как обе части неравенства положительны, мы можем возвести их в квадрат, не меняя знака неравенства:
$(\frac{\sqrt{70}}{9})^2 \le 1^2$
$\frac{70}{81} \le 1$
Это неравенство верно, так как числитель $70$ меньше знаменателя $81$. Следовательно, число $\frac{\sqrt{70}}{9}$ принадлежит области определения функции.

Таким образом, из предложенных чисел области определения функции $y = \arcsin x$ принадлежат два числа: $-\frac{1}{5}$ и $\frac{\sqrt{70}}{9}$.

Ответ: $-\frac{1}{5}, \frac{\sqrt{70}}{9}$.

3. Какие из приведенных ниже чисел принадлежат области значений функции $y = \arcsin x$: $0, 1, \frac{2}{3}, -2, \sqrt{3}$?

Чтобы определить, какие из предложенных чисел принадлежат области значений функции $y = \arcsin x$, необходимо сначала вспомнить, что такое область значений для данной функции.

Областью значений (или множеством значений) функции арксинус, $y = \arcsin x$, является отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Это означает, что любое значение, которое может принимать $y$, должно находиться в пределах этого отрезка.

Для удобства сравнения можно использовать приближенное значение числа $\pi \approx 3,14159$. Тогда отрезок области значений будет приблизительно равен $[-\frac{3,14159}{2}, \frac{3,14159}{2}]$, то есть $[-1,5708, 1,5708]$.

Теперь проверим каждое из предложенных чисел на принадлежность этому отрезку.

Число 0

Неравенство $-\frac{\pi}{2} \le 0 \le \frac{\pi}{2}$ является верным. Следовательно, число 0 принадлежит области значений функции $y = \arcsin x$.

Число 1

Сравним 1 с $\frac{\pi}{2}$. Так как $\frac{\pi}{2} \approx 1,5708$, то $1 < \frac{\pi}{2}$. Неравенство $-\frac{\pi}{2} \le 1 \le \frac{\pi}{2}$ является верным. Следовательно, число 1 принадлежит области значений функции $y = \arcsin x$.

Число $\frac{2}{3}$

Значение дроби $\frac{2}{3} \approx 0,6667$. Неравенство $-\frac{\pi}{2} \le \frac{2}{3} \le \frac{\pi}{2}$ (или $-1,5708 \le 0,6667 \le 1,5708$) является верным. Следовательно, число $\frac{2}{3}$ принадлежит области значений функции $y = \arcsin x$.

Число -2

Сравним -2 с $-\frac{\pi}{2}$. Так как $-\frac{\pi}{2} \approx -1,5708$, то $-2 < -\frac{\pi}{2}$. Неравенство $-\frac{\pi}{2} \le -2$ является ложным. Следовательно, число -2 не принадлежит области значений функции $y = \arcsin x$.

Число $\sqrt{3}$

Приблизительное значение $\sqrt{3} \approx 1,732$. Сравним это значение с $\frac{\pi}{2} \approx 1,5708$. Так как $1,732 > 1,5708$, то $\sqrt{3} > \frac{\pi}{2}$. Неравенство $\sqrt{3} \le \frac{\pi}{2}$ является ложным. Следовательно, число $\sqrt{3}$ не принадлежит области значений функции $y = \arcsin x$.

Таким образом, в область значений функции $y = \arcsin x$ входят числа 0, 1 и $\frac{2}{3}$.

Ответ: $0, 1, \frac{2}{3}$.