Номер 3, страница 110, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §16. ч. 1 - номер 3, страница 110.

3. Какие из приведенных ниже чисел принадлежат области значений функции $y = \arcsin x$: $0, 1, \frac{2}{3}, -2, \sqrt{3}$?

Чтобы определить, какие из предложенных чисел принадлежат области значений функции $y = \arcsin x$, необходимо сначала вспомнить, что такое область значений для данной функции.

Областью значений (или множеством значений) функции арксинус, $y = \arcsin x$, является отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Это означает, что любое значение, которое может принимать $y$, должно находиться в пределах этого отрезка.

Для удобства сравнения можно использовать приближенное значение числа $\pi \approx 3,14159$. Тогда отрезок области значений будет приблизительно равен $[-\frac{3,14159}{2}, \frac{3,14159}{2}]$, то есть $[-1,5708, 1,5708]$.

Теперь проверим каждое из предложенных чисел на принадлежность этому отрезку.

Число 0

Неравенство $-\frac{\pi}{2} \le 0 \le \frac{\pi}{2}$ является верным. Следовательно, число 0 принадлежит области значений функции $y = \arcsin x$.

Число 1

Сравним 1 с $\frac{\pi}{2}$. Так как $\frac{\pi}{2} \approx 1,5708$, то $1 < \frac{\pi}{2}$. Неравенство $-\frac{\pi}{2} \le 1 \le \frac{\pi}{2}$ является верным. Следовательно, число 1 принадлежит области значений функции $y = \arcsin x$.

Число $\frac{2}{3}$

Значение дроби $\frac{2}{3} \approx 0,6667$. Неравенство $-\frac{\pi}{2} \le \frac{2}{3} \le \frac{\pi}{2}$ (или $-1,5708 \le 0,6667 \le 1,5708$) является верным. Следовательно, число $\frac{2}{3}$ принадлежит области значений функции $y = \arcsin x$.

Число -2

Сравним -2 с $-\frac{\pi}{2}$. Так как $-\frac{\pi}{2} \approx -1,5708$, то $-2 < -\frac{\pi}{2}$. Неравенство $-\frac{\pi}{2} \le -2$ является ложным. Следовательно, число -2 не принадлежит области значений функции $y = \arcsin x$.

Число $\sqrt{3}$

Приблизительное значение $\sqrt{3} \approx 1,732$. Сравним это значение с $\frac{\pi}{2} \approx 1,5708$. Так как $1,732 > 1,5708$, то $\sqrt{3} > \frac{\pi}{2}$. Неравенство $\sqrt{3} \le \frac{\pi}{2}$ является ложным. Следовательно, число $\sqrt{3}$ не принадлежит области значений функции $y = \arcsin x$.

Таким образом, в область значений функции $y = \arcsin x$ входят числа 0, 1 и $\frac{2}{3}$.

Ответ: $0, 1, \frac{2}{3}$.