Номер 1, страница 115, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §17 - номер 1, страница 115.

Условие.

1. Что такое $\operatorname{arctg} a$?

Решение 6.

1. Арктангенс числа $a$ (обозначается как $arctg\;a$ или $\arctan a$) — это математическая функция, обратная к тригонометрической функции тангенса ($y = tg\;x$). Она отвечает на вопрос: «какой угол нужно взять, чтобы его тангенс был равен $a$?»

Поскольку функция тангенса периодическая (с периодом $\pi$), она не является взаимно-однозначной на всей своей области определения. Это означает, что одно и то же значение тангенса могут иметь бесконечно много углов (например, $tg(\frac{\pi}{4}) = 1$, $tg(\frac{5\pi}{4}) = 1$ и т.д.). Чтобы определить единственную обратную функцию, область определения тангенса сужают до интервала, на котором он строго возрастает. Общепринятым является интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Следовательно, арктангенс определяется следующим образом:

$y = arctg\;a$ тогда и только тогда, когда $tg\;y = a$ и при этом угол $y$ принадлежит интервалу $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$.

Основные свойства функции $y = arctg\;a$:

• Область определения: Аргумент $a$ может быть любым действительным числом. То есть, $a \in (-\infty; +\infty)$ или $a \in \mathbb{R}$.
• Область значений: Значения функции арктангенса всегда лежат в интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Обратите внимание, что концы интервала не включаются.
• Нечетность: Функция является нечетной, что означает $arctg(-a) = -arctg\;a$ для любого $a$.
• Монотонность: Функция является строго возрастающей на всей своей области определения.

Примеры вычисления:

• $arctg\;1 = \frac{\pi}{4}$, так как $tg(\frac{\pi}{4}) = 1$ и $-\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2}$.
• $arctg(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$, так как $tg(-\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$ и $-\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}$.
• $arctg\;0 = 0$, так как $tg(0) = 0$ и $-\frac{\pi}{2} < 0 < \frac{\pi}{2}$.

Ответ: Арктангенсом числа $a$ называется такое число $y$ (угол в радианах) из интервала $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $a$.