Номер 3, страница 115, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 1
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Вопросы к §17. ч. 1 - номер 3, страница 115.
№3 (с. 115)
Условие. №3 (с. 115)
скриншот условия

3. Какие из приведённых ниже чисел принадлежат области значений функции $y = \text{arctg } x$: $0$, $2$, $-\frac{2}{3}$, $-1$, $\sqrt{3}$?
Решение 6. №3 (с. 115)
Для того чтобы определить, какие из предложенных чисел принадлежат области значений функции $y = \operatorname{arctg} x$, необходимо вспомнить определение и свойства этой функции.
Функция арктангенс, $y = \operatorname{arctg} x$, является обратной к функции тангенс, $y = \operatorname{tg} x$, на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Область определения функции $y = \operatorname{arctg} x$ — это все действительные числа, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.
Область значений функции $y = \operatorname{arctg} x$ (обозначается как $E(y)$) — это строго ограниченный интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Это означает, что любое значение функции $y$ должно удовлетворять неравенству $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$.
Таким образом, нам нужно проверить, какие из данных чисел попадают в интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Для удобства сравнения, воспользуемся приближенным значением числа $\pi \approx 3.14159$. Тогда $\frac{\pi}{2} \approx 1.5708$. Итак, мы ищем числа, лежащие в интервале, приблизительно равном $(-1.5708; 1.5708)$.
Рассмотрим каждое из предложенных чисел:
0
Проверяем, выполняется ли неравенство $-\frac{\pi}{2} < 0 < \frac{\pi}{2}$. Это неравенство, очевидно, верно. Следовательно, число 0 принадлежит области значений функции.
2
Проверяем неравенство $-\frac{\pi}{2} < 2 < \frac{\pi}{2}$. Так как $2 > \frac{\pi}{2} \approx 1.5708$, это неравенство неверно. Следовательно, число 2 не принадлежит области значений функции.
$-\frac{2}{3}$
Проверяем неравенство $-\frac{\pi}{2} < -\frac{2}{3} < \frac{\pi}{2}$. Десятичное представление дроби $-\frac{2}{3} \approx -0.6667$. Так как $-\frac{\pi}{2} \approx -1.5708$, неравенство $-1.5708 < -0.6667 < 1.5708$ является верным. Следовательно, число $-\frac{2}{3}$ принадлежит области значений функции.
-1
Проверяем неравенство $-\frac{\pi}{2} < -1 < \frac{\pi}{2}$. Так как $-\frac{\pi}{2} \approx -1.5708$, неравенство $-1.5708 < -1 < 1.5708$ является верным. Следовательно, число -1 принадлежит области значений функции.
$\sqrt{3}$
Проверяем неравенство $-\frac{\pi}{2} < \sqrt{3} < \frac{\pi}{2}$. Приближенное значение $\sqrt{3} \approx 1.732$. Так как $1.732 > \frac{\pi}{2} \approx 1.5708$, неравенство неверно. Следовательно, число $\sqrt{3}$ не принадлежит области значений функции. (Важно не путать область значений $y = \operatorname{arctg} x$ с областью определения. Например, $\operatorname{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$, но само число $\sqrt{3}$ является аргументом функции, а не её значением в данном контексте).
Таким образом, из предложенного списка чисел области значений функции $y = \operatorname{arctg} x$ принадлежат три числа.
Ответ: $0, -\frac{2}{3}, -1$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 3 расположенного на странице 115 для 1-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №3 (с. 115), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 1-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.