Номер 3, страница 115, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §17 - номер 3, страница 115.

Условие.

3. Какие из приведённых ниже чисел принадлежат области значений функции $y = \text{arctg } x$: $0$, $2$, $-\frac{2}{3}$, $-1$, $\sqrt{3}$?

Решение 6.

Для того чтобы определить, какие из предложенных чисел принадлежат области значений функции $y = \operatorname{arctg} x$, необходимо вспомнить определение и свойства этой функции.

Функция арктангенс, $y = \operatorname{arctg} x$, является обратной к функции тангенс, $y = \operatorname{tg} x$, на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Область определения функции $y = \operatorname{arctg} x$ — это все действительные числа, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.

Область значений функции $y = \operatorname{arctg} x$ (обозначается как $E(y)$) — это строго ограниченный интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Это означает, что любое значение функции $y$ должно удовлетворять неравенству $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$.

Таким образом, нам нужно проверить, какие из данных чисел попадают в интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Для удобства сравнения, воспользуемся приближенным значением числа $\pi \approx 3.14159$. Тогда $\frac{\pi}{2} \approx 1.5708$. Итак, мы ищем числа, лежащие в интервале, приблизительно равном $(-1.5708; 1.5708)$.

Рассмотрим каждое из предложенных чисел:

0

Проверяем, выполняется ли неравенство $-\frac{\pi}{2} < 0 < \frac{\pi}{2}$. Это неравенство, очевидно, верно. Следовательно, число 0 принадлежит области значений функции.

2

Проверяем неравенство $-\frac{\pi}{2} < 2 < \frac{\pi}{2}$. Так как $2 > \frac{\pi}{2} \approx 1.5708$, это неравенство неверно. Следовательно, число 2 не принадлежит области значений функции.

$-\frac{2}{3}$

Проверяем неравенство $-\frac{\pi}{2} < -\frac{2}{3} < \frac{\pi}{2}$. Десятичное представление дроби $-\frac{2}{3} \approx -0.6667$. Так как $-\frac{\pi}{2} \approx -1.5708$, неравенство $-1.5708 < -0.6667 < 1.5708$ является верным. Следовательно, число $-\frac{2}{3}$ принадлежит области значений функции.

-1

Проверяем неравенство $-\frac{\pi}{2} < -1 < \frac{\pi}{2}$. Так как $-\frac{\pi}{2} \approx -1.5708$, неравенство $-1.5708 < -1 < 1.5708$ является верным. Следовательно, число -1 принадлежит области значений функции.

$\sqrt{3}$

Проверяем неравенство $-\frac{\pi}{2} < \sqrt{3} < \frac{\pi}{2}$. Приближенное значение $\sqrt{3} \approx 1.732$. Так как $1.732 > \frac{\pi}{2} \approx 1.5708$, неравенство неверно. Следовательно, число $\sqrt{3}$ не принадлежит области значений функции. (Важно не путать область значений $y = \operatorname{arctg} x$ с областью определения. Например, $\operatorname{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$, но само число $\sqrt{3}$ является аргументом функции, а не её значением в данном контексте).

Таким образом, из предложенного списка чисел области значений функции $y = \operatorname{arctg} x$ принадлежат три числа.

Ответ: $0, -\frac{2}{3}, -1$.