Номер 2, страница 125, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §18. ч. 1 - номер 2, страница 125.

2. Объясните, как при решении уравнения $2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$ вы воспользуетесь методом введения новой переменной. Решите это уравнение.

Объяснение, как при решении уравнения воспользоваться методом введения новой переменной

Данное тригонометрическое уравнение $2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$ является квадратным относительно функции $\sin x$. Это означает, что если мы заменим выражение $\sin x$ на новую переменную, например $t$, то исходное уравнение превратится в алгебраическое квадратное уравнение, которое легко решить.

Метод введения новой переменной применяется следующим образом:

1. Вводится замена: пусть $t = \sin x$.
2. Поскольку $\sin^2 x$ это то же самое, что и $(\sin x)^2$, это выражение заменяется на $t^2$.
3. Исходное уравнение $2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$ преобразуется в квадратное уравнение относительно $t$: $2t^2 + t - 1 = 0$.
4. Ключевым моментом является учет области значений функции синус: $-1 \le \sin x \le 1$. Это накладывает ограничение на возможные значения новой переменной $t$: $|t| \le 1$.
5. Далее решается квадратное уравнение $2t^2 + t - 1 = 0$, и из его корней выбираются только те, которые удовлетворяют условию $|t| \le 1$.
6. Для каждого подходящего значения $t$ выполняется обратная замена, то есть решается простейшее тригонометрическое уравнение вида $\sin x = t$.
7. Объединение всех полученных решений является окончательным ответом.

Решение уравнения

Дано уравнение: $2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$.

1. Введем новую переменную. Пусть $t = \sin x$. Так как область значений синуса — отрезок $[-1, 1]$, то для переменной $t$ должно выполняться условие $|t| \le 1$.

После замены исходное уравнение принимает вид квадратного уравнения:

$2t^2 + t - 1 = 0$.

2. Решим это уравнение относительно $t$. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.

3. Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1$.

4. Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $|t| \le 1$.

• $t_1 = \frac{1}{2}$. Условие $|\frac{1}{2}| \le 1$ выполняется.
• $t_2 = -1$. Условие $|-1| \le 1$ выполняется.

Оба корня подходят для дальнейшего решения.

5. Выполним обратную замену и решим два простейших тригонометрических уравнения.

а) $\sin x = t_1 \Rightarrow \sin x = \frac{1}{2}$

Общее решение этого уравнения:

$x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

б) $\sin x = t_2 \Rightarrow \sin x = -1$

Это частный случай тригонометрического уравнения. Его решение:

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Объединив найденные серии решений, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.