Номер 4, страница 125, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §18. ч. 1 - номер 4, страница 125.

4. Какое тригонометрическое уравнение называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени? Опишите алгоритм его решения.

Какое тригонометрическое уравнение называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени?

Однородным тригонометрическим уравнением первой степени называют уравнение вида:
$a \sin x + b \cos x = 0$
Здесь $x$ — переменная, а $a$ и $b$ — некоторые числовые коэффициенты, причем хотя бы один из них не равен нулю ($a^2 + b^2 \neq 0$).

Основными признаками такого уравнения являются:

• В уравнении присутствуют только синус и косинус одного и того же аргумента.
• Все члены уравнения имеют одинаковую степень — первую.
• Свободный член (число без тригонометрической функции) равен нулю.

Ответ: Однородное тригонометрическое уравнение первой степени — это уравнение вида $a \sin x + b \cos x = 0$, где $a$ и $b$ — действительные числа, не равные нулю одновременно.

Опишите алгоритм его решения.

Алгоритм решения уравнения $a \sin x + b \cos x = 0$ (при условии, что $a \neq 0$ и $b \neq 0$) состоит из следующих шагов:

1. Проверка возможности деления на $\cos x$.
   Для решения этого типа уравнений используется метод деления обеих частей на $\cos x$. Важно убедиться, что при этом не происходит потеря корней. Предположим, что $\cos x = 0$. Тогда из исходного уравнения следует $a \sin x + b \cdot 0 = 0$, что равносильно $a \sin x = 0$. Поскольку для тех же значений $x$, для которых $\cos x = 0$, значение $\sin x$ равно $1$ или $-1$ (согласно основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$), то равенство $a \sin x = 0$ может выполняться только при $a=0$. Если же $a \neq 0$, то значения $x$, при которых $\cos x = 0$, не являются корнями исходного уравнения. Это означает, что мы можем безопасно разделить обе части уравнения на $\cos x$, не теряя корней. Аналогично доказывается, что при $b \neq 0$ можно делить на $\sin x$.
2. Выполнение деления.
   Разделим обе части уравнения $a \sin x + b \cos x = 0$ на $\cos x$:
   $\frac{a \sin x}{\cos x} + \frac{b \cos x}{\cos x} = \frac{0}{\cos x}$
3. Переход к уравнению с тангенсом.
   Используя определение тангенса $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, преобразуем уравнение:
   $a \tan x + b = 0$
4. Решение простейшего уравнения относительно тангенса.
   Выразим $\tan x$:
   $\tan x = -\frac{b}{a}$
5. Запись общего решения.
   Находим значение $x$ по общей формуле для арктангенса:
   $x = \arctan(-\frac{b}{a}) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$
   Или, используя свойство нечетности арктангенса ($\arctan(-y) = -\arctan(y)$):
   $x = -\arctan(\frac{b}{a}) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Примечание: Если один из коэффициентов равен нулю (например, $a=0$), уравнение становится простейшим: $b \cos x = 0 \implies \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Если $b=0$, то $a \sin x = 0 \implies \sin x = 0 \implies x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Для решения уравнения $a \sin x + b \cos x = 0$ (где $a, b \neq 0$) необходимо разделить обе его части на $\cos x$ (или $\sin x$), после чего решить полученное линейное уравнение относительно $\tan x$ (или $\cot x$): $a \tan x + b = 0 \implies \tan x = -b/a \implies x = -\arctan(b/a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.