Номер 7, страница 115, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §17 - номер 7, страница 115.

Условие.

7. Как связаны между собой числа $ \operatorname{arcctg} a $ и $ \operatorname{arcctg}(-a) $?

Решение 6.

Для того чтобы установить связь между числами $arcctg(a)$ и $arcctg(-a)$, воспользуемся определением функции арккотангенс и тригонометрическими тождествами.

По определению, $y = arcctg(x)$ — это такое число $y$ из интервала $(0, \pi)$, что $ctg(y) = x$.

Пусть $y = arcctg(a)$. Это означает, что выполняются два условия: $ctg(y) = a$ и $0 < y < \pi$.

Теперь рассмотрим $arcctg(-a)$. Пусть $z = arcctg(-a)$. Аналогично, это означает, что $ctg(z) = -a$ и $0 < z < \pi$.

Мы можем подставить $a$ из первого выражения ($a=ctg(y)$) во второе: $ctg(z) = -ctg(y)$.

Далее воспользуемся формулой приведения для котангенса: $ctg(\pi - \alpha) = -ctg(\alpha)$.

Применив эту формулу к нашему равенству, получим:

$ctg(z) = -ctg(y) = ctg(\pi - y)$.

Из равенства $ctg(z) = ctg(\pi - y)$ следует, что $z$ и $\pi - y$ могут отличаться на целое число периодов котангенса, то есть на $\pi k$, где $k$ — целое число: $z = \pi - y + \pi k$. Однако мы должны учесть области значений функций.

Область значений арккотангенса — это интервал $(0, \pi)$. Следовательно, и $z$, и $y$ принадлежат этому интервалу. Проверим, в какой интервал попадает выражение $\pi - y$. Так как $0 < y < \pi$, то, умножив на $-1$, получим $0 > -y > -\pi$. Прибавив $\pi$ ко всем частям неравенства, получим: $\pi > \pi - y > 0$, или $0 < \pi - y < \pi$.

Это означает, что значение $\pi - y$ также находится в основном промежутке $(0, \pi)$. Поскольку $z$ также должен лежать в этом промежутке, единственно возможным значением для $k$ является $k=0$. Таким образом, мы получаем единственное решение: $z = \pi - y$.

Подставив обратно $y = arcctg(a)$ и $z = arcctg(-a)$, мы получаем искомую связь:

$arcctg(-a) = \pi - arcctg(a)$

Эту связь можно также записать в виде суммы:

$arcctg(a) + arcctg(-a) = \pi$

Ответ: Числа $arcctg(a)$ и $arcctg(-a)$ связаны тождеством $arcctg(-a) = \pi - arcctg(a)$, или, что эквивалентно, $arcctg(a) + arcctg(-a) = \pi$.