Номер 7, страница 115, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 1
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Вопросы к §17. ч. 1 - номер 7, страница 115.
№7 (с. 115)
Условие. №7 (с. 115)
скриншот условия

7. Как связаны между собой числа $ \operatorname{arcctg} a $ и $ \operatorname{arcctg}(-a) $?
Решение 6. №7 (с. 115)
Для того чтобы установить связь между числами $arcctg(a)$ и $arcctg(-a)$, воспользуемся определением функции арккотангенс и тригонометрическими тождествами.
По определению, $y = arcctg(x)$ — это такое число $y$ из интервала $(0, \pi)$, что $ctg(y) = x$.
Пусть $y = arcctg(a)$. Это означает, что выполняются два условия: $ctg(y) = a$ и $0 < y < \pi$.
Теперь рассмотрим $arcctg(-a)$. Пусть $z = arcctg(-a)$. Аналогично, это означает, что $ctg(z) = -a$ и $0 < z < \pi$.
Мы можем подставить $a$ из первого выражения ($a=ctg(y)$) во второе: $ctg(z) = -ctg(y)$.
Далее воспользуемся формулой приведения для котангенса: $ctg(\pi - \alpha) = -ctg(\alpha)$.
Применив эту формулу к нашему равенству, получим:
$ctg(z) = -ctg(y) = ctg(\pi - y)$.
Из равенства $ctg(z) = ctg(\pi - y)$ следует, что $z$ и $\pi - y$ могут отличаться на целое число периодов котангенса, то есть на $\pi k$, где $k$ — целое число: $z = \pi - y + \pi k$. Однако мы должны учесть области значений функций.
Область значений арккотангенса — это интервал $(0, \pi)$. Следовательно, и $z$, и $y$ принадлежат этому интервалу. Проверим, в какой интервал попадает выражение $\pi - y$. Так как $0 < y < \pi$, то, умножив на $-1$, получим $0 > -y > -\pi$. Прибавив $\pi$ ко всем частям неравенства, получим: $\pi > \pi - y > 0$, или $0 < \pi - y < \pi$.
Это означает, что значение $\pi - y$ также находится в основном промежутке $(0, \pi)$. Поскольку $z$ также должен лежать в этом промежутке, единственно возможным значением для $k$ является $k=0$. Таким образом, мы получаем единственное решение: $z = \pi - y$.
Подставив обратно $y = arcctg(a)$ и $z = arcctg(-a)$, мы получаем искомую связь:
$arcctg(-a) = \pi - arcctg(a)$
Эту связь можно также записать в виде суммы:
$arcctg(a) + arcctg(-a) = \pi$
Ответ: Числа $arcctg(a)$ и $arcctg(-a)$ связаны тождеством $arcctg(-a) = \pi - arcctg(a)$, или, что эквивалентно, $arcctg(a) + arcctg(-a) = \pi$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 7 расположенного на странице 115 для 1-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №7 (с. 115), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 1-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.