Номер 6, страница 115, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 1
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Вопросы к §17. ч. 1 - номер 6, страница 115.
№6 (с. 115)
Условие. №6 (с. 115)
скриншот условия

6. Как связаны между собой числа $\operatorname{arctg} a$ и $\operatorname{arctg}(-a)$?
Решение 6. №6 (с. 115)
Для того чтобы определить, как связаны между собой числа $\text{arctg}(a)$ и $\text{arctg}(-a)$, обратимся к определению функции арктангенс и свойствам функции тангенс.
По определению, арктангенс числа $x$, то есть $y = \text{arctg}(x)$, — это такой угол $y$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $x$. Иными словами, если $y = \text{arctg}(x)$, то $\text{tg}(y) = x$ и $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$.
Пусть $y_1 = \text{arctg}(a)$. Тогда по определению $\text{tg}(y_1) = a$ и $-\frac{\pi}{2} < y_1 < \frac{\pi}{2}$.
Теперь рассмотрим $y_2 = \text{arctg}(-a)$. Аналогично, по определению $\text{tg}(y_2) = -a$ и $-\frac{\pi}{2} < y_2 < \frac{\pi}{2}$.
Подставим выражение для $a$ из первого равенства ($a = \text{tg}(y_1)$) во второе:
$\text{tg}(y_2) = - \text{tg}(y_1)$
Функция тангенс является нечетной, что означает $\text{tg}(-x) = -\text{tg}(x)$ для любого $x$ из области определения. Применим это свойство к правой части нашего равенства:
$\text{tg}(y_2) = \text{tg}(-y_1)$
Теперь нам нужно сравнить углы $y_2$ и $-y_1$. Мы знаем, что $y_2$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ по определению. Также, поскольку $-\frac{\pi}{2} < y_1 < \frac{\pi}{2}$, то, умножив неравенство на $-1$, получим $\frac{\pi}{2} > -y_1 > -\frac{\pi}{2}$, что эквивалентно $-\frac{\pi}{2} < -y_1 < \frac{\pi}{2}$. Таким образом, оба угла, $y_2$ и $-y_1$, принадлежат одному и тому же интервалу $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
На интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ функция тангенс является строго возрастающей, а значит, и взаимно-однозначной (инъективной). Это означает, что если тангенсы двух углов из этого интервала равны, то равны и сами углы.
Из равенства $\text{tg}(y_2) = \text{tg}(-y_1)$ и того факта, что оба угла $y_2$ и $-y_1$ лежат в интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, следует, что $y_2 = -y_1$.
Подставив обратно исходные обозначения $y_1 = \text{arctg}(a)$ и $y_2 = \text{arctg}(-a)$, мы получаем итоговое соотношение:
$\text{arctg}(-a) = -\text{arctg}(a)$
Это равенство означает, что числа $\text{arctg}(a)$ и $\text{arctg}(-a)$ являются противоположными. Также это свойство доказывает, что функция $f(a) = \text{arctg}(a)$ является нечетной функцией.
Ответ: $\text{arctg}(-a) = -\text{arctg}(a)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 6 расположенного на странице 115 для 1-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №6 (с. 115), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 1-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.