Номер 6, страница 115, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §17 - номер 6, страница 115.

Условие.

6. Как связаны между собой числа $\operatorname{arctg} a$ и $\operatorname{arctg}(-a)$?

Решение 6.

Для того чтобы определить, как связаны между собой числа $\text{arctg}(a)$ и $\text{arctg}(-a)$, обратимся к определению функции арктангенс и свойствам функции тангенс.

По определению, арктангенс числа $x$, то есть $y = \text{arctg}(x)$, — это такой угол $y$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $x$. Иными словами, если $y = \text{arctg}(x)$, то $\text{tg}(y) = x$ и $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$.

Пусть $y_1 = \text{arctg}(a)$. Тогда по определению $\text{tg}(y_1) = a$ и $-\frac{\pi}{2} < y_1 < \frac{\pi}{2}$.

Теперь рассмотрим $y_2 = \text{arctg}(-a)$. Аналогично, по определению $\text{tg}(y_2) = -a$ и $-\frac{\pi}{2} < y_2 < \frac{\pi}{2}$.

Подставим выражение для $a$ из первого равенства ($a = \text{tg}(y_1)$) во второе:

$\text{tg}(y_2) = - \text{tg}(y_1)$

Функция тангенс является нечетной, что означает $\text{tg}(-x) = -\text{tg}(x)$ для любого $x$ из области определения. Применим это свойство к правой части нашего равенства:

$\text{tg}(y_2) = \text{tg}(-y_1)$

Теперь нам нужно сравнить углы $y_2$ и $-y_1$. Мы знаем, что $y_2$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ по определению. Также, поскольку $-\frac{\pi}{2} < y_1 < \frac{\pi}{2}$, то, умножив неравенство на $-1$, получим $\frac{\pi}{2} > -y_1 > -\frac{\pi}{2}$, что эквивалентно $-\frac{\pi}{2} < -y_1 < \frac{\pi}{2}$. Таким образом, оба угла, $y_2$ и $-y_1$, принадлежат одному и тому же интервалу $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

На интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ функция тангенс является строго возрастающей, а значит, и взаимно-однозначной (инъективной). Это означает, что если тангенсы двух углов из этого интервала равны, то равны и сами углы.

Из равенства $\text{tg}(y_2) = \text{tg}(-y_1)$ и того факта, что оба угла $y_2$ и $-y_1$ лежат в интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, следует, что $y_2 = -y_1$.

Подставив обратно исходные обозначения $y_1 = \text{arctg}(a)$ и $y_2 = \text{arctg}(-a)$, мы получаем итоговое соотношение:

$\text{arctg}(-a) = -\text{arctg}(a)$

Это равенство означает, что числа $\text{arctg}(a)$ и $\text{arctg}(-a)$ являются противоположными. Также это свойство доказывает, что функция $f(a) = \text{arctg}(a)$ является нечетной функцией.

Ответ: $\text{arctg}(-a) = -\text{arctg}(a)$.