Номер 4, страница 115, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §17. ч. 1 - номер 4, страница 115.

4. Какие из приведённых ниже чисел принадлежат области значений функции $y = \mathrm{arcctg}x: 0, -\frac{2}{3}, 4, \pi, \sqrt{15}$?

Для того чтобы определить, какие из предложенных чисел принадлежат области значений функции $y = \mathrm{arcctg}\,x$, необходимо знать эту область значений.

По определению, областью значений (или множеством значений) функции арккотангенс является интервал $(0; \pi)$.

Это означает, что любое значение функции $y = \mathrm{arcctg}\,x$ должно удовлетворять строгому неравенству $0 < y < \pi$.

Теперь проверим каждое из предложенных чисел на принадлежность этому интервалу. Для сравнения будем использовать приближенное значение числа $\pi \approx 3,14159$.

1. Число 0
Число 0 не принадлежит интервалу $(0; \pi)$, так как оно является его левой границей. Неравенство $0 < 0$ неверно.

2. Число $\frac{2}{3}$
Проверим выполнение неравенства $0 < \frac{2}{3} < \pi$.
$\frac{2}{3} \approx 0,667$.
Неравенство $0 < 0,667 < 3,14159$ является верным. Следовательно, число $\frac{2}{3}$ принадлежит области значений функции.

3. Число 4
Проверим выполнение неравенства $0 < 4 < \pi$.
Неравенство $4 < \pi$ неверно, так как $4 > 3,14159$. Следовательно, число 4 не принадлежит области значений функции.

4. Число $\pi$
Число $\pi$ не принадлежит интервалу $(0; \pi)$, так как оно является его правой границей. Неравенство $\pi < \pi$ неверно.

5. Число $\sqrt{15}$
Проверим выполнение неравенства $0 < \sqrt{15} < \pi$.
Для сравнения чисел $\sqrt{15}$ и $\pi$ можно сравнить их квадраты: $(\sqrt{15})^2 = 15$ и $\pi^2$.
Так как $\pi \approx 3,14$, то $\pi^2 \approx (3,14)^2 = 9,8596$.
Поскольку $15 > 9,8596$, то $\sqrt{15} > \pi$.
Неравенство $\sqrt{15} < \pi$ неверно. Следовательно, число $\sqrt{15}$ не принадлежит области значений функции.

Таким образом, из всех предложенных чисел только $\frac{2}{3}$ принадлежит области значений функции $y = \mathrm{arcctg}\,x$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.