Номер 4, страница 111, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §16 - номер 4, страница 111.

Условие.

4. Как связаны между собой числа $\arcsin a$ и $\arcsin (-a)$, где $|a| \leq 1$?

Решение 6.

Чтобы установить связь между числами $\arcsin a$ и $\arcsin(-a)$, воспользуемся определением функции арксинус и свойством нечетности функции синус. Условие $|a| \le 1$ гарантирует, что оба выражения определены.

По определению, арксинус числа $x$ (обозначается как $\arcsin x$) — это такое число $y$, которое удовлетворяет двум условиям:
1) $\sin y = x$
2) $y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$

Пусть $y = \arcsin(a)$. Согласно определению, это означает, что:
$\sin(y) = a$ и $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$.

Теперь рассмотрим выражение $\arcsin(-a)$. Пусть $z = \arcsin(-a)$. По определению это означает, что:
$\sin(z) = -a$ и $-\frac{\pi}{2} \le z \le \frac{\pi}{2}$.

В равенство $\sin(z) = -a$ подставим $a = \sin(y)$:
$\sin(z) = -\sin(y)$

Функция синус является нечетной, то есть для любого угла $\alpha$ справедливо тождество $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$. Применим это свойство к правой части нашего уравнения:
$\sin(z) = \sin(-y)$

Теперь нам нужно проверить, принадлежит ли угол $(-y)$ отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, который является областью значений арксинуса.
Мы знаем, что $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$. Умножим это двойное неравенство на $-1$, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные:
$-(-\frac{\pi}{2}) \ge -y \ge -\frac{\pi}{2}$
$\frac{\pi}{2} \ge -y \ge -\frac{\pi}{2}$
Переписав в стандартном порядке, получаем: $-\frac{\pi}{2} \le -y \le \frac{\pi}{2}$.
Это означает, что угол $(-y)$ также находится в области значений арксинуса.

Итак, мы получили, что $\sin(z) = \sin(-y)$, и при этом оба угла, $z$ и $-y$, принадлежат отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Поскольку на этом отрезке функция синуса монотонна (строго возрастает), из равенства синусов следует и равенство самих углов:
$z = -y$

Вспомним, что $z = \arcsin(-a)$ и $y = \arcsin(a)$. Подставив эти выражения в полученное равенство, мы находим искомую связь:
$\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$

Таким образом, числа $\arcsin a$ и $\arcsin(-a)$ являются противоположными. Это свойство означает, что функция $y = \arcsin(x)$ является нечетной.

Ответ: Эти числа связаны соотношением $\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$.