Номер 4, страница 111, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 1
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Вопросы к §16. ч. 1 - номер 4, страница 111.
№4 (с. 111)
Условие. №4 (с. 111)
скриншот условия

4. Как связаны между собой числа $\arcsin a$ и $\arcsin (-a)$, где $|a| \leq 1$?
Решение 6. №4 (с. 111)
Чтобы установить связь между числами $\arcsin a$ и $\arcsin(-a)$, воспользуемся определением функции арксинус и свойством нечетности функции синус. Условие $|a| \le 1$ гарантирует, что оба выражения определены.
По определению, арксинус числа $x$ (обозначается как $\arcsin x$) — это такое число $y$, которое удовлетворяет двум условиям:
1) $\sin y = x$
2) $y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$
Пусть $y = \arcsin(a)$. Согласно определению, это означает, что:
$\sin(y) = a$ и $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$.
Теперь рассмотрим выражение $\arcsin(-a)$. Пусть $z = \arcsin(-a)$. По определению это означает, что:
$\sin(z) = -a$ и $-\frac{\pi}{2} \le z \le \frac{\pi}{2}$.
В равенство $\sin(z) = -a$ подставим $a = \sin(y)$:
$\sin(z) = -\sin(y)$
Функция синус является нечетной, то есть для любого угла $\alpha$ справедливо тождество $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$. Применим это свойство к правой части нашего уравнения:
$\sin(z) = \sin(-y)$
Теперь нам нужно проверить, принадлежит ли угол $(-y)$ отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, который является областью значений арксинуса.
Мы знаем, что $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$. Умножим это двойное неравенство на $-1$, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные:
$-(-\frac{\pi}{2}) \ge -y \ge -\frac{\pi}{2}$
$\frac{\pi}{2} \ge -y \ge -\frac{\pi}{2}$
Переписав в стандартном порядке, получаем: $-\frac{\pi}{2} \le -y \le \frac{\pi}{2}$.
Это означает, что угол $(-y)$ также находится в области значений арксинуса.
Итак, мы получили, что $\sin(z) = \sin(-y)$, и при этом оба угла, $z$ и $-y$, принадлежат отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Поскольку на этом отрезке функция синуса монотонна (строго возрастает), из равенства синусов следует и равенство самих углов:
$z = -y$
Вспомним, что $z = \arcsin(-a)$ и $y = \arcsin(a)$. Подставив эти выражения в полученное равенство, мы находим искомую связь:
$\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$
Таким образом, числа $\arcsin a$ и $\arcsin(-a)$ являются противоположными. Это свойство означает, что функция $y = \arcsin(x)$ является нечетной.
Ответ: Эти числа связаны соотношением $\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 4 расположенного на странице 111 для 1-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №4 (с. 111), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 1-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.