Номер 5, страница 104, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §15. ч. 1 - номер 5, страница 104.

5. С помощью числовой окружности ответьте на следующий вопрос:

если $t_0$ — одно из решений уравнения $\cos t = \frac{1}{3}$, то как записать все остальные решения?

Для того чтобы найти все решения уравнения $\cos t = \frac{1}{3}$, зная одно из решений $t_0$, воспользуемся числовой окружностью.

1. На числовой окружности значение косинуса угла соответствует абсциссе (координате x) точки. Уравнение $\cos t = \frac{1}{3}$ означает, что мы ищем все такие углы $t$, которым на окружности соответствуют точки с абсциссой $x = \frac{1}{3}$.

2. Проведем на координатной плоскости вертикальную прямую $x = \frac{1}{3}$. Эта прямая пересечет единичную окружность в двух точках, которые симметричны относительно оси абсцисс (оси Ox).

3. По условию, $t_0$ является одним из решений. Это значит, что $t_0$ — это величина дуги (угла), которая соответствует одной из этих точек пересечения. Обозначим эту точку $P_1$.

4. Вторая точка пересечения, $P_2$, симметрична $P_1$ относительно оси Ox. Если угол, соответствующий точке $P_1$, равен $t_0$, то угол, соответствующий симметричной ей точке $P_2$, равен $-t_0$. Это следует из свойства четности функции косинус: $\cos(-t) = \cos t$. Таким образом, $\cos(-t_0) = \cos(t_0) = \frac{1}{3}$, что означает, что $-t_0$ также является решением уравнения.

5. Функция косинус является периодической с основным периодом $2\pi$. Это означает, что если некий угол является решением, то и любой угол, отличающийся от него на целое число полных оборотов ($2\pi k$, где $k$ — любое целое число), также будет решением. Точки, соответствующие этим углам, совпадают на числовой окружности.

Таким образом, мы получаем две серии решений:

• Первая серия, соответствующая точке $P_1$: все углы вида $t_0 + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Вторая серия, соответствующая точке $P_2$: все углы вида $-t_0 + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Эти две серии и представляют собой полный набор всех решений данного уравнения.

Ответ: Все решения уравнения можно записать в виде двух серий: $t = t_0 + 2\pi k$ и $t = -t_0 + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Часто эти две серии объединяют в одну запись: $t = \pm t_0 + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.