Номер 1, страница 104, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §15. ч. 1 - номер 1, страница 104.

1. Что такое $arccos a$?

Арккосинус числа $a$ (обозначается как $\arccos a$) — это одна из обратных тригонометрических функций (аркфункций), а именно, функция, обратная к косинусу.

Чтобы понять, что такое арккосинус, сначала вспомним функцию косинуса $y = \cos x$. Эта функция является периодической с периодом $2\pi$, то есть она принимает одни и те же значения бесконечное число раз. Например, $\cos(0) = 1$, $\cos(2\pi) = 1$, $\cos(4\pi) = 1$ и так далее. Из-за этой многозначности, чтобы определить обратную функцию, которая была бы однозначной, необходимо ограничить область определения косинуса. По общепринятому соглашению, для определения арккосинуса выбирается отрезок $[0, \pi]$. На этом отрезке функция $y = \cos x$ монотонно убывает от $1$ до $-1$ и принимает все свои значения ровно один раз.

Таким образом, арккосинусом числа $a$ называется такое число (угол в радианах) $y$ из отрезка $[0, \pi]$, косинус которого равен $a$.

Формально определение можно записать в виде системы:

$y = \arccos a \iff \begin{cases} \cos y = a \\ 0 \le y \le \pi \end{cases}$

Из этого определения следуют важные свойства:

• Область определения: Арккосинус определен для чисел $a$, которые могут быть значениями косинуса. Поскольку $-1 \le \cos y \le 1$, то и аргумент арккосинуса должен лежать в тех же пределах: $-1 \le a \le 1$. То есть область определения функции $y = \arccos a$ — это отрезок $[-1, 1]$.
• Область значений: По определению, значения арккосинуса лежат в отрезке $[0, \pi]$. Это и есть область значений функции $y = \arccos a$.

Примеры вычисления:

• $\arccos(1) = 0$, так как $\cos(0) = 1$ и $0 \in [0, \pi]$.
• $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$, так как $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\frac{\pi}{6} \in [0, \pi]$.
• $\arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$, так как $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ и $\frac{\pi}{3} \in [0, \pi]$.
• $\arccos(0) = \frac{\pi}{2}$, так как $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$ и $\frac{\pi}{2} \in [0, \pi]$.
• $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}$, так как $\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$ и $\frac{2\pi}{3} \in [0, \pi]$.
• $\arccos(-1) = \pi$, так как $\cos(\pi) = -1$ и $\pi \in [0, \pi]$.

В общем виде, арккосинус $a$ отвечает на вопрос: «какой угол из отрезка от 0 до $\pi$ радиан имеет косинус, равный $a$?»

Ответ: Арккосинусом числа $a$ ($\arccos a$) называется такое число (угол) $y$ из отрезка $[0, \pi]$, что его косинус равен $a$. То есть, $y = \arccos a$ равносильно системе: $\cos y = a$ и $0 \le y \le \pi$. Функция определена для $a \in [-1, 1]$.