Номер 1, страница 110, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §16. ч. 1 - номер 1, страница 110.

1. Что такое $\arcsin a$?

1. Арксинус числа $a$ (обозначается как $\arcsin a$) — это математическая функция, обратная к синусу. Если говорить точнее, это значение угла (в радианах) из отрезка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $a$.

Функция $y = \sin x$ является периодической, поэтому для нахождения однозначной обратной функции её область определения необходимо ограничить. Стандартно для этого выбирают отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, на котором синус монотонно возрастает от $-1$ до $1$. Таким образом, функция $y = \arcsin x$ является обратной к функции $y = \sin x$, рассматриваемой на отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

По определению, запись $y = \arcsin a$ эквивалентна одновременному выполнению двух условий:

1) $\sin y = a$
2) $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$

Из первого условия следует, что арксинус определён только для чисел $a$, принадлежащих отрезку $[-1, 1]$, то есть $|a| \le 1$, поскольку это область значений функции синус.

Примеры:
$\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$, так как $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ и значение $\frac{\pi}{6}$ принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
$\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$, так как $\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и значение $-\frac{\pi}{3}$ принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Ответ: Арксинус числа $a$ — это такое число $y$ (угол в радианах) из отрезка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, что $\sin y = a$. Данное определение имеет смысл только при условии, что $|a| \le 1$.