Номер 2, страница 110, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §16 - номер 2, страница 110.

Условие.

2. Какие из приведённых ниже чисел принадлежат области определения функции $y = \arcsin x$: $-\frac{1}{5}$, $\frac{7}{6}$, $-\sqrt{3}$, $\frac{\sqrt{70}}{9}$?

Решение 6.

Область определения функции $y = \arcsin x$ — это множество всех значений $x$, для которых функция определена. Для функции арксинус таким множеством является отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что число принадлежит области определения функции $y = \arcsin x$ тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет двойному неравенству:

$ -1 \le x \le 1 $

Проверим каждое из предложенных чисел на соответствие этому условию.

$-\frac{1}{5}$
Проверим, выполняется ли неравенство $-1 \le -\frac{1}{5} \le 1$.
Левая часть неравенства: $-1 \le -\frac{1}{5}$. Это верно, так как $-1 = -0.2$, а $-1 \le -0.2$.
Правая часть неравенства: $-\frac{1}{5} \le 1$. Это верно, так как любое отрицательное число меньше любого положительного.
Поскольку оба условия выполняются, число $-\frac{1}{5}$ принадлежит области определения функции.

$\frac{7}{6}$
Проверим, выполняется ли неравенство $-1 \le \frac{7}{6} \le 1$.
Дробь $\frac{7}{6}$ является неправильной, так как числитель больше знаменателя. $\frac{7}{6} = 1 \frac{1}{6}$, что больше 1.
Условие $\frac{7}{6} \le 1$ не выполняется, следовательно, число $\frac{7}{6}$ не принадлежит области определения функции.

$-\sqrt{3}$
Проверим, выполняется ли неравенство $-1 \le -\sqrt{3} \le 1$.
Сравним $-\sqrt{3}$ и $-1$. Мы знаем, что $3 > 1$, следовательно $\sqrt{3} > \sqrt{1}$, то есть $\sqrt{3} > 1$. Умножив обе части на $-1$, мы должны изменить знак неравенства на противоположный: $-\sqrt{3} < -1$.
Условие $-1 \le -\sqrt{3}$ не выполняется, следовательно, число $-\sqrt{3}$ не принадлежит области определения функции.

$\frac{\sqrt{70}}{9}$
Проверим, выполняется ли неравенство $-1 \le \frac{\sqrt{70}}{9} \le 1$.
Так как число $\frac{\sqrt{70}}{9}$ положительное, левая часть неравенства ($-1 \le \frac{\sqrt{70}}{9}$) очевидно верна.
Проверим правую часть: $\frac{\sqrt{70}}{9} \le 1$.
Так как обе части неравенства положительны, мы можем возвести их в квадрат, не меняя знака неравенства:
$(\frac{\sqrt{70}}{9})^2 \le 1^2$
$\frac{70}{81} \le 1$
Это неравенство верно, так как числитель $70$ меньше знаменателя $81$. Следовательно, число $\frac{\sqrt{70}}{9}$ принадлежит области определения функции.

Таким образом, из предложенных чисел области определения функции $y = \arcsin x$ принадлежат два числа: $-\frac{1}{5}$ и $\frac{\sqrt{70}}{9}$.

Ответ: $-\frac{1}{5}, \frac{\sqrt{70}}{9}$.