Номер 2, страница 104, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §15 - номер 2, страница 104.

Условие.

2. Какие из приведённых ниже чисел принадлежат области определения функции $y = \arccos x$: $-\frac{1}{7}, \frac{4}{3}, -\sqrt{2}, \frac{\sqrt{5}}{3}$?

Решение 6.

Областью определения функции $y = \arccos x$ является отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что аргумент функции, $x$, должен удовлетворять двойному неравенству: $-1 \le x \le 1$. Проверим каждое из предложенных чисел на соответствие этому условию.

$-\frac{1}{7}$

Проверим, выполняется ли неравенство $-1 \le -\frac{1}{7} \le 1$. Левая часть неравенства: $-1 \le -\frac{1}{7}$. Это верно, так как $-1 = -\frac{7}{7}$, а $-\frac{7}{7} < -\frac{1}{7}$. Правая часть неравенства: $-\frac{1}{7} \le 1$. Это также верно, поскольку отрицательное число всегда меньше положительного. Оба условия выполняются, следовательно, число принадлежит области определения.

Ответ: принадлежит области определения.

$\frac{4}{3}$

Проверим, выполняется ли неравенство $-1 \le \frac{4}{3} \le 1$. Число $\frac{4}{3}$ равно $1\frac{1}{3}$. Так как $1\frac{1}{3} > 1$, правая часть неравенства $\frac{4}{3} \le 1$ не выполняется. Следовательно, число не принадлежит области определения.

Ответ: не принадлежит области определения.

$-\sqrt{2}$

Проверим, выполняется ли неравенство $-1 \le -\sqrt{2} \le 1$. Приближенное значение $\sqrt{2} \approx 1.414$, значит $-\sqrt{2} \approx -1.414$. Так как $-1.414 < -1$, левая часть неравенства $-1 \le -\sqrt{2}$ не выполняется. Также можно сравнить квадраты чисел: $(-\sqrt{2})^2 = 2$ и $(-1)^2 = 1$. Поскольку $2 > 1$, то $|\sqrt{2}| > |1|$, и так как число отрицательное, $-\sqrt{2} < -1$. Следовательно, число не принадлежит области определения.

Ответ: не принадлежит области определения.

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

Проверим, выполняется ли неравенство $-1 \le \frac{\sqrt{5}}{3} \le 1$. Поскольку число положительное, левая часть $-1 \le \frac{\sqrt{5}}{3}$ верна. Проверим правую часть: $\frac{\sqrt{5}}{3} \le 1$. Так как обе части положительны, можно возвести их в квадрат: $(\frac{\sqrt{5}}{3})^2 \le 1^2$, что дает $\frac{5}{9} \le 1$. Это неравенство верно, так как $5 < 9$. Следовательно, число принадлежит области определения.

Ответ: принадлежит области определения.