Номер 4, страница 94, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §14 - номер 4, страница 94.

Условие.

$y = \sin x$, $y = \cos x$, $y = \text{tg }x$, $y = \text{ctg }x$, ...

4. Назовите вертикальные асимптоты главной ветви графика функции

$y = \text{tg }x$.

Решение 6.

Вертикальные асимптоты графика функции — это вертикальные прямые, к которым неограниченно приближается график функции при приближении аргумента $x$ к некоторой точке, в которой функция не определена и стремится к бесконечности.

Функция тангенса определяется как отношение синуса к косинусу:

$y = \tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$

Функция не определена в тех точках, где знаменатель обращается в нуль, то есть где $\cos x = 0$. Решением этого уравнения является множество точек:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Эти прямые и являются вертикальными асимптотами графика функции $y = \tg x$.

«Главной ветвью» графика функции $y = \tg x$ принято называть ту его часть, которая расположена на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Этот интервал как раз ограничен двумя ближайшими к началу координат асимптотами.

Найдем эти асимптоты, подставляя в общую формулу значения $k$:

• При $k = -1$: $x = \frac{\pi}{2} + \pi(-1) = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2}$
• При $k = 0$: $x = \frac{\pi}{2} + \pi(0) = \frac{\pi}{2}$

Следовательно, вертикальными асимптотами главной ветви графика функции $y = \tg x$ являются прямые $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2}$.