Номер 3, страница 89, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §13 - номер 3, страница 89.

Условие.

3. Расскажите, как вы будете строить график функции $y = f(2x)$, если у вас есть график функции $y = f(x)$.

Решение 6.

Для того чтобы построить график функции $y = f(2x)$, имея график функции $y = f(x)$, необходимо выполнить преобразование исходного графика, которое называется горизонтальным сжатием.

Рассмотрим логику этого преобразования. Пусть произвольная точка с координатами $(x_0, y_0)$ принадлежит графику функции $y = f(x)$. Это по определению означает, что выполняется равенство $y_0 = f(x_0)$.

Теперь мы хотим найти, какая точка на новом графике $y = f(2x)$ соответствует точке $(x_0, y_0)$. Обозначим искомую точку как $(x_1, y_1)$. Для нее должно выполняться равенство $y_1 = f(2x_1)$. Чтобы установить связь между графиками, найдем точку на новом графике, которая имеет ту же ординату (высоту), что и исходная точка. То есть, положим $y_1 = y_0$.

Приравнивая значения функций, получаем:

$f(2x_1) = y_1 = y_0 = f(x_0)$

Из равенства $f(2x_1) = f(x_0)$ следует, что аргументы функции должны быть равны (если функция не является периодической, а если является, то это соотношение сохраняется для соответствующих участков):

$2x_1 = x_0$

Отсюда мы можем выразить новую абсциссу $x_1$ через старую $x_0$:

$x_1 = \frac{x_0}{2}$

Таким образом, мы установили, что каждой точке $(x_0, y_0)$ на графике $y = f(x)$ соответствует точка $(\frac{x_0}{2}, y_0)$ на графике $y = f(2x)$. Это означает, что ордината каждой точки остается неизменной, а ее абсцисса уменьшается в 2 раза.

Геометрически это преобразование выглядит как сжатие всего графика функции $y = f(x)$ по горизонтали (вдоль оси OX) в направлении к оси ординат (оси OY) в 2 раза. Все точки графика, кроме тех, что лежат на оси OY, становятся в два раза ближе к ней.

Алгоритм построения:

1. Взять исходный график функции $y = f(x)$.
2. Выбрать на нем несколько характерных точек (например, точки пересечения с осями координат, точки экстремумов, точки перегиба).
3. Для каждой выбранной точки с координатами $(x, y)$ найти новую точку, оставив координату $y$ без изменений и разделив координату $x$ на 2. Новые координаты будут $(\frac{x}{2}, y)$.
4. Соединить полученные новые точки плавной линией, сохраняя общую форму исходного графика.

Например, если точка $(10, 5)$ лежит на графике $y = f(x)$, то точка $(\frac{10}{2}, 5) = (5, 5)$ будет лежать на графике $y = f(2x)$. Точка пересечения с осью OY, например $(0, 3)$, останется на месте, так как ее новая абсцисса будет $\frac{0}{2} = 0$.

Ответ: Чтобы построить график функции $y = f(2x)$ на основе графика функции $y = f(x)$, необходимо сжать график $y = f(x)$ к оси OY в 2 раза. Для этого нужно каждую точку исходного графика сместить по горизонтали так, чтобы ее расстояние до оси OY уменьшилось вдвое. Иными словами, для каждой точки $(x, y)$ на графике $y = f(x)$ соответствующая ей точка на графике $y = f(2x)$ будет иметь координаты $(\frac{x}{2}, y)$.