Номер 1, страница 93, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §14. ч. 1 - номер 1, страница 93.

1. Можно ли утверждать, что $17\pi$ – период функции $y = \operatorname{tg} x$, а $-20\pi$ – период функции $y = \operatorname{ctg} x$?

1.

По определению, число $T \neq 0$ называется периодом функции $f(x)$, если для любого $x$ из области определения функции $f$ число $(x+T)$ также принадлежит области определения и выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

Наименьший положительный период (который также называют основным периодом) функции $y = \tg x$ — это $T_0 = \pi$. Любое число вида $T = n \cdot T_0$, где $n$ — целое ненулевое число ($n \in \mathbb{Z}, n \neq 0$), также является периодом этой функции.

Проверим, является ли число $17\pi$ периодом для $y = \tg x$. Для этого нужно найти такое целое $n$, что $17\pi = n \cdot \pi$. Разделив обе части на $\pi$, получаем $n=17$. Так как $17$ — это целое ненулевое число, то $17\pi$ является периодом функции $y = \tg x$.

Формальная проверка по определению: $\tg(x + 17\pi) = \tg x$. Это равенство верно для всех $x$ из области определения тангенса, поскольку $17\pi$ является целым кратным основного периода $\pi$.

Ответ: Да, можно утверждать, что $17\pi$ является периодом функции $y = \tg x$.

а)

Аналогично предыдущему пункту, наименьший положительный период функции $y = \ctg x$ также равен $T_0 = \pi$. Соответственно, любой период этой функции имеет вид $T = n \cdot \pi$, где $n \in \mathbb{Z}$ и $n \neq 0$.

Проверим, является ли число $-20\pi$ периодом для $y = \ctg x$. Для этого нужно найти целое число $n$, для которого выполняется равенство $-20\pi = n \cdot \pi$. Разделив обе части на $\pi$, получаем $n = -20$.

Так как $n = -20$ является целым ненулевым числом, то $-20\pi$ является периодом функции $y = \ctg x$. Следует отметить, что по определению период функции не обязан быть положительным, он должен быть лишь отличен от нуля.

Формальная проверка по определению: $\ctg(x + (-20\pi)) = \ctg(x - 20\pi) = \ctg x$. Равенство верно, так как $-20\pi$ — целое кратное основного периода $\pi$.

Ответ: Да, можно утверждать, что $-20\pi$ является периодом функции $y = \ctg x$.