Номер 6, страница 81, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §12 - номер 6, страница 81.

Условие.

6. Что называют основным периодом периодической функции?

Решение 6.

Функция $y = f(x)$ называется периодической, если существует такое отличное от нуля число $T$, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство:

$f(x+T) = f(x)$

Число $T$ называется периодом функции. Из определения следует, что если $T$ — период, то любое число вида $nT$, где $n$ — целое и не равное нулю ($n \in \mathbb{Z}, n \neq 0$), также является периодом функции. Например, для функции $f(x) = \cos(x)$ периодами будут числа $2\pi, 4\pi, -2\pi, -6\pi$ и так далее, поскольку $\cos(x) = \cos(x + 2\pi) = \cos(x + 4\pi) = \dots$.

Таким образом, у периодической функции существует бесконечное множество периодов. Среди всех положительных периодов (если они существуют) может быть наименьший.

Основным периодом (иногда его называют главным или наименьшим положительным периодом) периодической функции называется наименьшее положительное число $T$, которое является её периодом.

Например, основной период для функций $y = \sin(x)$ и $y = \cos(x)$ равен $2\pi$. Для функций $y = \tan(x)$ и $y = \cot(x)$ основной период равен $\pi$.

Важно отметить, что не каждая периодическая функция имеет основной период. Например, функция-константа $f(x) = c$. Для нее любое число, кроме нуля, является периодом. Поскольку не существует наименьшего положительного действительного числа, у этой функции нет основного периода.

Ответ: Основным периодом периодической функции называется её наименьший положительный период.