Номер 2, страница 89, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §13 - номер 2, страница 89.

Условие.

2. Расскажите, как вы будете строить график функции $y = -0,5f(x)$, если у вас есть график функции $y = f(x)$.

Решение 6.

2.

Чтобы построить график функции $y = -0,5f(x)$, имея график функции $y = f(x)$, необходимо выполнить два последовательных геометрических преобразования над исходным графиком. Данное преобразование относится к виду $y = k \cdot f(x)$, где коэффициент $k = -0,5$.

Построение можно выполнить в два шага:

1. Сжатие графика вдоль оси ординат (оси OY).
   Рассмотрим преобразование, связанное с модулем коэффициента: $y_1 = |k| \cdot f(x) = 0,5f(x)$. Так как коэффициент $0,5$ находится в интервале $0 < 0,5 < 1$, это соответствует вертикальному сжатию графика к оси абсцисс (оси OX) в 2 раза. Ордината каждой точки графика умножается на $0,5$, а абсцисса остается без изменений. Таким образом, каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика $y=f(x)$ переходит в точку $(x_0, 0,5y_0)$. В результате этого шага мы получаем график функции $y_1 = 0,5f(x)$.
2. Симметричное отражение графика относительно оси абсцисс (оси OX).
   Знак "минус" в коэффициенте $k = -0,5$ указывает на необходимость отражения графика относительно оси OX. График, полученный на предыдущем шаге ($y_1 = 0,5f(x)$), отражается симметрично относительно оси абсцисс. Каждая точка $(x_0, y_1)$ этого графика переходит в точку $(x_0, -y_1)$. Это дает нам итоговый график $y = -y_1 = -0,5f(x)$.

Таким образом, чтобы получить график функции $y = -0,5f(x)$ из графика $y = f(x)$, нужно ординату каждой точки исходного графика умножить на $-0,5$, оставив абсциссу неизменной. Точка $(x_0, y_0)$ перейдет в точку $(x_0, -0,5y_0)$.

Порядок преобразований (сжатие и отражение) не имеет значения. Можно сначала отразить график $y=f(x)$ относительно оси OX, чтобы получить $y=-f(x)$, а затем сжать полученный график к оси OX в 2 раза. Результат будет тем же.

Ответ: Чтобы построить график функции $y = -0,5f(x)$, необходимо выполнить два преобразования над графиком функции $y=f(x)$: во-первых, сжать его по вертикали к оси OX в 2 раза; во-вторых, отразить полученный график симметрично относительно оси OX.