Номер 2, страница 81, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §12. ч. 1 - номер 2, страница 81.

2. Что такое период функции?

Функция $f(x)$ называется периодической, если существует такое отличное от нуля число $T$, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство:

$f(x + T) = f(x)$

При этом число $x + T$ (а также $x - T$) также должно принадлежать области определения функции.

Число $T$ называется периодом функции.

Если $T$ — период функции, то любое число вида $nT$, где $n$ — целое, не равное нулю, число ($n \in \mathbb{Z}, n \neq 0$), также является её периодом. Например, если $f(x+T)=f(x)$, то и $f(x+2T) = f((x+T)+T) = f(x+T) = f(x)$ тоже верно.

На практике обычно интересует наименьший положительный период функции, который называют основным (или главным) периодом.

Геометрически периодичность функции означает, что её график состоит из бесконечно повторяющихся одинаковых фрагментов. Если взять часть графика на любом отрезке длиной в один основной период $T$ (например, на отрезке $[x_0, x_0+T]$) и сдвигать её вдоль оси абсцисс (оси $Ox$) на $T, 2T, 3T, ...$ вправо или влево, то мы получим весь график функции.

Примеры периодических функций:

• Тригонометрические функции:
  • Функции синус $y = \sin(x)$ и косинус $y = \cos(x)$ имеют основной период $T = 2\pi$. То есть $\sin(x + 2\pi) = \sin(x)$ и $\cos(x + 2\pi) = \cos(x)$.
  • Функции тангенс $y = \tan(x)$ и котангенс $y = \cot(x)$ имеют основной период $T = \pi$. То есть $\tan(x + \pi) = \tan(x)$ и $\cot(x + \pi) = \cot(x)$.
• Функция дробной части числа $y = \{x\}$ (где $\{x\} = x - [x]$, а $[x]$ — целая часть числа $x$). Её основной период равен $1$. Например, $\{2.7\} = 0.7$ и $\{(2.7+1)\} = \{3.7\} = 0.7$.
• Константная функция $y = c$. Для неё периодом является любое число, отличное от нуля. Поэтому у этой функции нет основного (наименьшего положительного) периода.

Нахождение периода сложных функций:

Если функция $y=f(x)$ имеет основной период $T$, то функция вида $y = A \cdot f(kx + b) + C$ будет иметь основной период $T_1$, который вычисляется по формуле:

$T_1 = \frac{T}{|k|}$

Например, найдем период функции $y = 5\cos(2x - \frac{\pi}{4})$.

Основной период функции $y=\cos(x)$ равен $T=2\pi$. В нашем случае коэффициент при $x$ равен $k=2$. Тогда период нашей функции будет:

$T_1 = \frac{2\pi}{|2|} = \pi$

Ответ: Период функции — это такое ненулевое число $T$, при добавлении которого к аргументу функции её значение не меняется, то есть для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$. Наименьшее такое положительное число называется основным периодом.