Номер 6, страница 79, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 1
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Вопросы к §11. ч. 1 - номер 6, страница 79.
№6 (с. 79)
Условие. №6 (с. 79)
скриншот условия

6. Объясните, почему уравнение $\lvert\cos x\rvert = 1$ имеет решения на любом числовом промежутке длиной 4.
Решение 6. №6 (с. 79)
6.
Для того чтобы объяснить, почему уравнение $|\cos x| = 1$ имеет решения на любом числовом промежутке длиной 4, проанализируем само уравнение и его решения.
Уравнение $|\cos x| = 1$ равносильно совокупности двух уравнений:
- $\cos x = 1$
- $\cos x = -1$
Решениями первого уравнения являются значения $x$, для которых $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (множество целых чисел).
Решениями второго уравнения являются значения $x$, для которых $x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Объединив эти два множества решений, мы получим все корни исходного уравнения. Их можно записать в виде одной формулы: $x = \pi m$, где $m$ — любое целое число ($m \in \mathbb{Z}$).
Эти решения образуют на числовой оси последовательность точек: $\dots, -2\pi, -\pi, 0, \pi, 2\pi, \dots$. Расстояние между любыми двумя соседними решениями в этой последовательности постоянно и равно $\pi \cdot (m+1) - \pi m = \pi$.
Теперь рассмотрим произвольный числовой промежуток длиной 4. Его можно представить в виде $[a, a+4]$ для любого действительного числа $a$.
Нам известно, что число $\pi$ иррационально и его значение приблизительно равно $3.14159...$. Важно, что $3 < \pi < 4$.
Поскольку расстояние между соседними корнями уравнения равно $\pi$, а длина рассматриваемого промежутка равна 4, и при этом $4 > \pi$, то невозможно "разместить" промежуток длиной 4 между двумя соседними корнями. Следовательно, любой такой промежуток обязательно будет содержать хотя бы один корень уравнения.
Формально: нам нужно доказать, что для любого $a \in \mathbb{R}$ существует такое целое $m$, что $a \le \pi m \le a+4$. Это неравенство равносильно $a/\pi \le m \le a/\pi + 4/\pi$. Длина промежутка $[a/\pi, a/\pi + 4/\pi]$ равна $4/\pi$. Так как $\pi < 4$, то $4/\pi > 1$. Любой промежуток на числовой оси, длина которого больше 1, гарантированно содержит хотя бы одно целое число. Таким образом, всегда найдется целое число $m$, удовлетворяющее этому неравенству, а значит, всегда найдется решение $x = \pi m$ в промежутке $[a, a+4]$.
Ответ: Решениями уравнения $|\cos x| = 1$ являются числа вида $x = \pi m$ для всех целых $m$. Расстояние между двумя последовательными решениями равно $\pi \approx 3.14$. Поскольку длина любого рассматриваемого числового промежутка равна 4, что больше, чем расстояние между соседними решениями ($4 > \pi$), такой промежуток обязательно содержит по крайней мере одно решение.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 6 расположенного на странице 79 для 1-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №6 (с. 79), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 1-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.