Номер 6, страница 79, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §11 - номер 6, страница 79.

Условие.

6. Объясните, почему уравнение $\lvert\cos x\rvert = 1$ имеет решения на любом числовом промежутке длиной 4.

Решение 6.

6.

Для того чтобы объяснить, почему уравнение $|\cos x| = 1$ имеет решения на любом числовом промежутке длиной 4, проанализируем само уравнение и его решения.

Уравнение $|\cos x| = 1$ равносильно совокупности двух уравнений:

1. $\cos x = 1$
2. $\cos x = -1$

Решениями первого уравнения являются значения $x$, для которых $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (множество целых чисел).

Решениями второго уравнения являются значения $x$, для которых $x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединив эти два множества решений, мы получим все корни исходного уравнения. Их можно записать в виде одной формулы: $x = \pi m$, где $m$ — любое целое число ($m \in \mathbb{Z}$).

Эти решения образуют на числовой оси последовательность точек: $\dots, -2\pi, -\pi, 0, \pi, 2\pi, \dots$. Расстояние между любыми двумя соседними решениями в этой последовательности постоянно и равно $\pi \cdot (m+1) - \pi m = \pi$.

Теперь рассмотрим произвольный числовой промежуток длиной 4. Его можно представить в виде $[a, a+4]$ для любого действительного числа $a$.

Нам известно, что число $\pi$ иррационально и его значение приблизительно равно $3.14159...$. Важно, что $3 < \pi < 4$.

Поскольку расстояние между соседними корнями уравнения равно $\pi$, а длина рассматриваемого промежутка равна 4, и при этом $4 > \pi$, то невозможно "разместить" промежуток длиной 4 между двумя соседними корнями. Следовательно, любой такой промежуток обязательно будет содержать хотя бы один корень уравнения.

Формально: нам нужно доказать, что для любого $a \in \mathbb{R}$ существует такое целое $m$, что $a \le \pi m \le a+4$. Это неравенство равносильно $a/\pi \le m \le a/\pi + 4/\pi$. Длина промежутка $[a/\pi, a/\pi + 4/\pi]$ равна $4/\pi$. Так как $\pi < 4$, то $4/\pi > 1$. Любой промежуток на числовой оси, длина которого больше 1, гарантированно содержит хотя бы одно целое число. Таким образом, всегда найдется целое число $m$, удовлетворяющее этому неравенству, а значит, всегда найдется решение $x = \pi m$ в промежутке $[a, a+4]$.

Ответ: Решениями уравнения $|\cos x| = 1$ являются числа вида $x = \pi m$ для всех целых $m$. Расстояние между двумя последовательными решениями равно $\pi \approx 3.14$. Поскольку длина любого рассматриваемого числового промежутка равна 4, что больше, чем расстояние между соседними решениями ($4 > \pi$), такой промежуток обязательно содержит по крайней мере одно решение.