Номер 2, страница 79, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §11 - номер 2, страница 79.

Условие.

2. Найдите $E(f)$ для функции $y = \cos x$.

Решение 6.

2.

Требуется найти область значений $E(f)$ для функции $y = \cos x$. Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать зависимая переменная $y$.

Функция $y = \cos x$ является одной из основных тригонометрических функций. Её значение, по определению, соответствует абсциссе (координате по оси x) точки на единичной окружности, полученной поворотом начальной точки $(1, 0)$ на угол $x$ радиан.

Поскольку радиус единичной окружности равен 1, абсциссы всех её точек лежат в пределах от $-1$ до $1$ включительно.

• Максимальное значение функции $y = \cos x$ равно $1$. Это значение достигается, когда угол $x$ равен $2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Например, $\cos(0) = 1$, $\cos(2\pi) = 1$.
• Минимальное значение функции $y = \cos x$ равно $-1$. Это значение достигается, когда угол $x$ равен $\pi + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Например, $\cos(\pi) = -1$, $\cos(3\pi) = -1$.

Функция $y = \cos x$ является непрерывной на всей своей области определения (все действительные числа), поэтому она принимает все значения между своим минимумом и максимумом.

Таким образом, множество всех значений, которые может принимать функция $y = \cos x$, — это отрезок $[-1, 1]$.

Ответ: $E(f) = [-1, 1]$.