Номер 7, страница 76, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §10 - номер 7, страница 76.

Условие.

7. Можно ли утверждать, что функция $y = \sin x$ монотонна на отрезке $[4; 5]$?

Решение 6.

Для того чтобы определить, является ли функция монотонной на заданном отрезке, необходимо исследовать знак ее производной на этом отрезке. Функция является монотонной, если ее производная не меняет знак (то есть, является либо неотрицательной, либо неположительной) на всем протяжении отрезка.

Рассмотрим функцию $y = \sin x$. Ее производная: $y' = (\sin x)' = \cos x$. Нам необходимо исследовать знак производной на отрезке $[4; 5]$. Углы здесь заданы в радианах.

Проанализируем знак функции $y' = \cos x$ на интервале $x \in [4; 5]$. Известно, что $\cos x$ равен нулю в точках вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ – целое число. Найдем, попадают ли такие точки в наш отрезок.

Используем приближенное значение $\pi \approx 3.14159$.
При $k=0$, $x = \frac{\pi}{2} \approx 1.57$. Эта точка не входит в отрезок $[4; 5]$.
При $k=1$, $x = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2} \approx 1.57 + 3.14159 = 4.71238$. Эта точка входит в отрезок $[4; 5]$, так как $4 < 4.71238 < 5$.

Поскольку точка $x = \frac{3\pi}{2}$, в которой производная $y' = \cos x$ равна нулю, находится внутри отрезка $[4; 5]$, нам необходимо проверить знак производной слева и справа от этой точки.
Для $x \in [4, \frac{3\pi}{2})$ (это часть третьей координатной четверти) значение $\cos x$ отрицательно. Следовательно, на этом промежутке функция $y = \sin x$ убывает.
Для $x \in (\frac{3\pi}{2}, 5]$ (это часть четвертой координатной четверти) значение $\cos x$ положительно. Следовательно, на этом промежутке функция $y = \sin x$ возрастает.

Так как на отрезке $[4; 5]$ функция $y = \sin x$ сначала убывает (на $[4; \frac{3\pi}{2}]$), а затем возрастает (на $[\frac{3\pi}{2}; 5]$), она не является монотонной на всем отрезке.

Ответ: нет, утверждать, что функция $y = \sin x$ монотонна на отрезке $[4; 5]$, нельзя.