Номер 5, страница 76, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §10 - номер 5, страница 76.

Условие.

5. Верно ли, что уравнение $sin x = 0$ имеет решения на любом числовом промежутке длиной 3? Если да, то объясните почему. Если нет, то приведите пример.

Решение 6.

Нет, данное утверждение неверно. Уравнение $sin x = 0$ не всегда имеет решения на любом числовом промежутке длиной 3.

Для того чтобы доказать это, сначала найдем все решения уравнения $sin x = 0$. Решениями являются значения $x$, при которых функция синус обращается в ноль. Это происходит в точках $x = k\pi$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Таким образом, корни уравнения — это числа ..., $-2\pi$, $-\pi$, $0$, $\pi$, $2\pi$, ... Расстояние между любыми двумя соседними корнями является постоянной величиной и равно $(\text{k}+1)\pi - \text{k}\pi = \pi$.

Значение числа $\pi$ приблизительно равно $3.14159$. Следовательно, расстояние между соседними корнями больше, чем 3, то есть $\pi > 3$. Это означает, что можно выбрать такой числовой промежуток длиной 3, который целиком помещается между двумя соседними корнями и, следовательно, не содержит ни одного решения данного уравнения.

Пример:

Рассмотрим числовой промежуток $(0.1, 3.1)$. Его длина равна $3.1 - 0.1 = 3$. Проверим, есть ли на этом промежутке корни уравнения $sin x = 0$.

Корни уравнения имеют вид $k\pi$.

• При $k=0$, корень $x=0$. Это число не принадлежит промежутку $(0.1, 3.1)$.
• При $k=1$, корень $x=\pi \approx 3.14159$. Это число также не принадлежит промежутку $(0.1, 3.1)$.
• При $k \le -1$, корни будут отрицательными и не попадут в промежуток.
• При $k \ge 2$, корни будут больше, чем $2\pi \approx 6.28$, и также не попадут в промежуток.

Таким образом, на промежутке $(0.1, 3.1)$ длиной 3 нет ни одного решения уравнения $sin x = 0$.

Ответ: Нет, утверждение неверно. Например, на промежутке $(0.1, 3.1)$, длина которого равна 3, уравнение $sin x = 0$ не имеет решений.