Номер 1, страница 69, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §9. ч. 1 - номер 1, страница 69.

1. Замените данное выражение выражением $T(t)$, где $T$ — обозначение соответствующей тригонометрической функции:

$\sin \left(\frac{\pi}{2}+t\right)$, $\cos (\pi+t)$, $\operatorname{tg}\left(\frac{3 \pi}{2}+t\right)$, $\operatorname{ctg}(2 \pi+t)$.

Для решения данной задачи используются формулы приведения. Они позволяют упрощать тригонометрические выражения вида $ T(k \cdot \frac{\pi}{2} \pm t) $, где $ T $ — тригонометрическая функция, а $ k $ — целое число. Правила следующие:

1. Если $ k $ — четное число (т.е. в аргументе $ \pi \pm t $ или $ 2\pi \pm t $), то название функции не меняется.
2. Если $ k $ — нечетное число (т.е. в аргументе $ \frac{\pi}{2} \pm t $ или $ \frac{3\pi}{2} \pm t $), то название функции меняется на кофункцию: $ \sin $ на $ \cos $, $ \cos $ на $ \sin $, $ \tg $ на $ \ctg $, $ \ctg $ на $ \tg $.
3. Знак перед полученной функцией определяется знаком исходной функции в той координатной четверти, в которой находится угол $ k \cdot \frac{\pi}{2} \pm t $ (при условии, что $ t $ — острый угол).

Применим эти правила к каждому выражению.

$ \sin(\frac{\pi}{2} + t) $

1. Аргумент имеет вид $ \frac{\pi}{2} + t $ ($ k=1 $, нечетное), поэтому функция $ \sin $ меняется на кофункцию $ \cos $.
2. Угол $ \frac{\pi}{2} + t $ находится во второй координатной четверти. Синус во второй четверти положителен (знак «+»).
Совмещая эти два пункта, получаем: $ \sin(\frac{\pi}{2} + t) = \cos(t) $.
Ответ: $ \cos(t) $

$ \cos(\pi + t) $

1. Аргумент имеет вид $ \pi + t $ ($ k=2 $, четное), поэтому функция $ \cos $ не меняется.
2. Угол $ \pi + t $ находится в третьей координатной четверти. Косинус в третьей четверти отрицателен (знак «–»).
Следовательно: $ \cos(\pi + t) = -\cos(t) $.
Ответ: $ -\cos(t) $

$ \tg(\frac{3\pi}{2} + t) $

1. Аргумент имеет вид $ \frac{3\pi}{2} + t $ ($ k=3 $, нечетное), поэтому функция $ \tg $ меняется на кофункцию $ \ctg $.
2. Угол $ \frac{3\pi}{2} + t $ находится в четвертой координатной четверти. Тангенс в четвертой четверти отрицателен (знак «–»), так как $ \sin < 0 $ и $ \cos > 0 $.
Следовательно: $ \tg(\frac{3\pi}{2} + t) = -\ctg(t) $.
Ответ: $ -\ctg(t) $

$ \ctg(2\pi + t) $

В данном случае можно воспользоваться свойством периодичности. Основной период функции котангенс равен $ \pi $. Поскольку $ 2\pi $ является кратным периоду ($ 2\pi = 2 \cdot \pi $), мы можем отбросить $ 2\pi $ в аргументе, при этом значение функции не изменится.
$ \ctg(2\pi + t) = \ctg(t) $.
Если применять формулы приведения:
1. Аргумент имеет вид $ 2\pi + t $ ($ k=4 $, четное), поэтому функция $ \ctg $ не меняется.
2. Угол $ 2\pi + t $ находится в первой координатной четверти, где все тригонометрические функции, включая котангенс, положительны (знак «+»).
Оба метода дают одинаковый результат: $ \ctg(2\pi + t) = \ctg(t) $.
Ответ: $ \ctg(t) $