Номер 5, страница 63, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §7. ч. 1 - номер 5, страница 63.

5. Известно, что $ \cos t = a $, $ \frac{\pi}{2} < t < \pi $; вычислите $ \sin t $, $ \operatorname{tg} t $.

Для решения данной задачи мы воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и определением тангенса, а также учтем знаки тригонометрических функций в указанной четверти.

sin t

Основное тригонометрическое тождество связывает синус и косинус одного и того же угла: $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$. Из этого тождества мы можем выразить $\sin^2 t$: $\sin^2 t = 1 - \cos^2 t$.

Подставим в формулу данное нам значение $\cos t = a$: $\sin^2 t = 1 - a^2$.

Теперь извлечем квадратный корень, чтобы найти $\sin t$: $\sin t = \pm\sqrt{1 - a^2}$.

Чтобы выбрать правильный знак, обратимся к условию, что $t$ находится в интервале $\frac{\pi}{2} < t < \pi$. Этот интервал соответствует второй координатной четверти. Во второй четверти значения синуса положительны. Следовательно, мы должны выбрать знак «+».

Ответ: $\sin t = \sqrt{1 - a^2}$

tg t

Тангенс угла определяется как отношение его синуса к косинусу: $\tg t = \frac{\sin t}{\cos t}$.

Теперь подставим известные и найденные нами значения в эту формулу. Нам дано, что $\cos t = a$, и мы вычислили, что $\sin t = \sqrt{1 - a^2}$.

$\tg t = \frac{\sqrt{1 - a^2}}{a}$.

Убедимся, что знак результата верный. Для угла $t$ из второй четверти ($\frac{\pi}{2} < t < \pi$) косинус отрицателен (значит, $a < 0$), а синус положителен. Отношение положительного числа ($\sqrt{1 - a^2}$) к отрицательному ($a$) дает отрицательный результат, что соответствует знаку тангенса во второй четверти.

Ответ: $\tg t = \frac{\sqrt{1 - a^2}}{a}$