Номер 10, страница 60, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 1
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Вопросы к §6. ч. 1 - номер 10, страница 60.
№10 (с. 60)
Условие. №10 (с. 60)
скриншот условия

10. Объясните, почему $\sin(t + 2\pi n) = \sin t$, $\cos(t + 2\pi n) = \cos t$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Решение 6. №10 (с. 60)
Данные равенства, $\sin(t + 2\pi n) = \sin(t)$ и $\cos(t + 2\pi n) = \cos(t)$, являются следствием периодичности тригонометрических функций синуса и косинуса. Наиболее наглядно это можно объяснить с помощью единичной тригонометрической окружности.
Единичная окружность — это окружность с радиусом, равным 1, и центром в начале координат. Положение любой точки на этой окружности можно задать углом $t$ (в радианах), на который нужно повернуть начальную точку $(1, 0)$. По определению, координаты $(x, y)$ точки, полученной в результате поворота на угол $t$, равны $x = \cos(t)$ и $y = \sin(t)$.
Величина $2\pi$ радиан соответствует полному обороту вокруг окружности ($360^\circ$). Когда мы прибавляем к углу $t$ число $2\pi$, мы фактически совершаем один полный оборот из точки, соответствующей углу $t$, и возвращаемся в неё же. Положение точки на окружности не меняется, а значит, не меняются и её координаты. Следовательно, $\cos(t + 2\pi) = \cos(t)$ и $\sin(t + 2\pi) = \sin(t)$.
Выражение $2\pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$), обозначает $n$ полных оборотов. Если $n$ положительное, это $n$ оборотов против часовой стрелки. Если $n$ отрицательное, это $|n|$ оборотов по часовой стрелке. Если $n=0$, мы остаемся на месте. В любом из этих случаев, поворот на угол $t + 2\pi n$ приводит нас в ту же самую точку на окружности, что и поворот на угол $t$.
Поскольку точки для углов $t$ и $t + 2\pi n$ совпадают, их координаты $(x, y)$ также идентичны. Это означает, что абсцисса точки не меняется, то есть $\cos(t + 2\pi n) = \cos(t)$, и ордината точки не меняется, то есть $\sin(t + 2\pi n) = \sin(t)$. Это и доказывает данные равенства.
Ответ: Равенства $\sin(t + 2\pi n) = \sin(t)$ и $\cos(t + 2\pi n) = \cos(t)$ верны, так как функции синус и косинус периодичны с периодом $2\pi$. Прибавление к аргументу $t$ величины $2\pi n$ (где $n \in \mathbb{Z}$) соответствует совершению $n$ полных оборотов на единичной тригонометрической окружности, что возвращает нас в исходную точку. Поскольку положение точки не меняется, её координаты — косинус и синус — также остаются неизменными.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 10 расположенного на странице 60 для 1-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №10 (с. 60), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 1-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.