Номер 10, страница 60, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §6 - номер 10, страница 60.

Условие.

10. Объясните, почему $\sin(t + 2\pi n) = \sin t$, $\cos(t + 2\pi n) = \cos t$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Решение 6.

Данные равенства, $\sin(t + 2\pi n) = \sin(t)$ и $\cos(t + 2\pi n) = \cos(t)$, являются следствием периодичности тригонометрических функций синуса и косинуса. Наиболее наглядно это можно объяснить с помощью единичной тригонометрической окружности.

Единичная окружность — это окружность с радиусом, равным 1, и центром в начале координат. Положение любой точки на этой окружности можно задать углом $t$ (в радианах), на который нужно повернуть начальную точку $(1, 0)$. По определению, координаты $(x, y)$ точки, полученной в результате поворота на угол $t$, равны $x = \cos(t)$ и $y = \sin(t)$.

Величина $2\pi$ радиан соответствует полному обороту вокруг окружности ($360^\circ$). Когда мы прибавляем к углу $t$ число $2\pi$, мы фактически совершаем один полный оборот из точки, соответствующей углу $t$, и возвращаемся в неё же. Положение точки на окружности не меняется, а значит, не меняются и её координаты. Следовательно, $\cos(t + 2\pi) = \cos(t)$ и $\sin(t + 2\pi) = \sin(t)$.

Выражение $2\pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$), обозначает $n$ полных оборотов. Если $n$ положительное, это $n$ оборотов против часовой стрелки. Если $n$ отрицательное, это $|n|$ оборотов по часовой стрелке. Если $n=0$, мы остаемся на месте. В любом из этих случаев, поворот на угол $t + 2\pi n$ приводит нас в ту же самую точку на окружности, что и поворот на угол $t$.

Поскольку точки для углов $t$ и $t + 2\pi n$ совпадают, их координаты $(x, y)$ также идентичны. Это означает, что абсцисса точки не меняется, то есть $\cos(t + 2\pi n) = \cos(t)$, и ордината точки не меняется, то есть $\sin(t + 2\pi n) = \sin(t)$. Это и доказывает данные равенства.

Ответ: Равенства $\sin(t + 2\pi n) = \sin(t)$ и $\cos(t + 2\pi n) = \cos(t)$ верны, так как функции синус и косинус периодичны с периодом $2\pi$. Прибавление к аргументу $t$ величины $2\pi n$ (где $n \in \mathbb{Z}$) соответствует совершению $n$ полных оборотов на единичной тригонометрической окружности, что возвращает нас в исходную точку. Поскольку положение точки не меняется, её координаты — косинус и синус — также остаются неизменными.