Страница 60, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Найдите значение выражения:

19.10 а) $\cos 107^\circ \cos 17^\circ + \sin 107^\circ \sin 17^\circ$;

б) $\cos 36^\circ \cos 24^\circ - \sin 36^\circ \sin 24^\circ$;

в) $\sin 63^\circ \cos 27^\circ + \cos 63^\circ \sin 27^\circ$;

г) $\sin 51^\circ \cos 21^\circ - \cos 51^\circ \sin 21^\circ$.

Для решения данных задач воспользуемся тригонометрическими формулами сложения и вычитания углов:

• Формула косинуса разности: $cos(\alpha - \beta) = cos\alpha \cdot cos\beta + sin\alpha \cdot sin\beta$
• Формула косинуса суммы: $cos(\alpha + \beta) = cos\alpha \cdot cos\beta - sin\alpha \cdot sin\beta$
• Формула синуса суммы: $sin(\alpha + \beta) = sin\alpha \cdot cos\beta + cos\alpha \cdot sin\beta$
• Формула синуса разности: $sin(\alpha - \beta) = sin\alpha \cdot cos\beta - cos\alpha \cdot sin\beta$

а) $cos107^\circ cos17^\circ + sin107^\circ sin17^\circ$

Данное выражение соответствует формуле косинуса разности углов $cos(\alpha - \beta)$, где $\alpha = 107^\circ$ и $\beta = 17^\circ$.

Применяем формулу:

$cos107^\circ cos17^\circ + sin107^\circ sin17^\circ = cos(107^\circ - 17^\circ)$

Вычисляем разность углов:

$107^\circ - 17^\circ = 90^\circ$

Таким образом, выражение равно $cos(90^\circ)$. Значение косинуса 90 градусов равно 0.

$cos(90^\circ) = 0$

Ответ: 0

б) $cos36^\circ cos24^\circ - sin36^\circ sin24^\circ$

Данное выражение соответствует формуле косинуса суммы углов $cos(\alpha + \beta)$, где $\alpha = 36^\circ$ и $\beta = 24^\circ$.

Применяем формулу:

$cos36^\circ cos24^\circ - sin36^\circ sin24^\circ = cos(36^\circ + 24^\circ)$

Вычисляем сумму углов:

$36^\circ + 24^\circ = 60^\circ$

Таким образом, выражение равно $cos(60^\circ)$. Значение косинуса 60 градусов равно $\frac{1}{2}$.

$cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

в) $sin63^\circ cos27^\circ + cos63^\circ sin27^\circ$

Данное выражение соответствует формуле синуса суммы углов $sin(\alpha + \beta)$, где $\alpha = 63^\circ$ и $\beta = 27^\circ$.

Применяем формулу:

$sin63^\circ cos27^\circ + cos63^\circ sin27^\circ = sin(63^\circ + 27^\circ)$

Вычисляем сумму углов:

$63^\circ + 27^\circ = 90^\circ$

Таким образом, выражение равно $sin(90^\circ)$. Значение синуса 90 градусов равно 1.

$sin(90^\circ) = 1$

Ответ: 1

г) $sin51^\circ cos21^\circ - cos51^\circ sin21^\circ$

Данное выражение соответствует формуле синуса разности углов $sin(\alpha - \beta)$, где $\alpha = 51^\circ$ и $\beta = 21^\circ$.

Применяем формулу:

$sin51^\circ cos21^\circ - cos51^\circ sin21^\circ = sin(51^\circ - 21^\circ)$

Вычисляем разность углов:

$51^\circ - 21^\circ = 30^\circ$

Таким образом, выражение равно $sin(30^\circ)$. Значение синуса 30 градусов равно $\frac{1}{2}$.

$sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

19.6 a) $\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{1}{2} \sin x = \sin \left(\frac{\pi}{3} - x\right);$

б) $\frac{1}{2} \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x = \cos \left(\frac{\pi}{3} - x\right).$

Рассмотрим уравнение $\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{1}{2} \sin x = \sin\left(\frac{\pi}{3} - x\right)$.

Преобразуем левую часть уравнения. Заметим, что коэффициенты при $\cos x$ и $\sin x$ являются значениями синуса и косинуса для угла $\frac{\pi}{3}$:

$\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$.

Подставим эти значения в левую часть уравнения:

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{1}{2} \sin x = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \cos x - \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \sin x$.

Воспользуемся формулой синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$.

Применив эту формулу к левой части, где $\alpha = \frac{\pi}{3}$ и $\beta = x$, получим, что она равна $\sin\left(\frac{\pi}{3} - x\right)$.

Таким образом, исходное уравнение принимает вид:

$\sin\left(\frac{\pi}{3} - x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3} - x\right)$.

Это равенство является тождеством, то есть оно верно для любого действительного значения $x$.

Ответ: $x \in \mathbb{R}$ (любое действительное число).

Рассмотрим уравнение $\frac{1}{2} \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x = \cos\left(\frac{\pi}{3} - x\right)$.

Преобразуем левую часть уравнения. Заметим, что коэффициенты при $\cos x$ и $\sin x$ являются значениями косинуса и синуса для угла $\frac{\pi}{3}$:

$\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ и $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставим эти значения в левую часть уравнения:

$\frac{1}{2} \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \cos x + \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \sin x$.

Воспользуемся формулой косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$.

Применив эту формулу к левой части, где $\alpha = x$ и $\beta = \frac{\pi}{3}$, получим, что она равна $\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$.

Так как функция косинус является четной, то есть $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$, мы можем записать: $\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(-\left(\frac{\pi}{3} - x\right)\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3} - x\right)$.

Таким образом, исходное уравнение принимает вид:

$\cos\left(\frac{\pi}{3} - x\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3} - x\right)$.

Это равенство также является тождеством и верно для любого действительного значения $x$.

Ответ: $x \in \mathbb{R}$ (любое действительное число).

19.11 a) $\cos \frac{5\pi}{8} \cos \frac{3\pi}{8} + \sin \frac{5\pi}{8} \sin \frac{3\pi}{8};$

б) $\sin \frac{2\pi}{15} \cos \frac{\pi}{5} + \cos \frac{2\pi}{15} \sin \frac{\pi}{5};$

в) $\cos \frac{\pi}{12} \cos \frac{\pi}{4} - \sin \frac{\pi}{12} \sin \frac{\pi}{4};$

г) $\sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{\pi}{4} - \cos \frac{\pi}{12} \sin \frac{\pi}{4}.$

а)

Данное выражение соответствует формуле косинуса разности: $cos(\alpha - \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta)$.
В нашем случае, $\alpha = \frac{5\pi}{8}$ и $\beta = \frac{3\pi}{8}$.
Следовательно, выражение можно переписать в виде:
$cos \frac{5\pi}{8} cos \frac{3\pi}{8} + sin \frac{5\pi}{8} sin \frac{3\pi}{8} = cos(\frac{5\pi}{8} - \frac{3\pi}{8})$
Вычислим разность в аргументе косинуса:
$\frac{5\pi}{8} - \frac{3\pi}{8} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$
Таким образом, получаем:
$cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

б)

Данное выражение соответствует формуле синуса суммы: $sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta)$.
В нашем случае, $\alpha = \frac{2\pi}{15}$ и $\beta = \frac{\pi}{5}$.
Следовательно, выражение можно переписать в виде:
$sin \frac{2\pi}{15} cos \frac{\pi}{5} + cos \frac{2\pi}{15} sin \frac{\pi}{5} = sin(\frac{2\pi}{15} + \frac{\pi}{5})$
Вычислим сумму в аргументе синуса, приведя дроби к общему знаменателю:
$\frac{2\pi}{15} + \frac{\pi}{5} = \frac{2\pi}{15} + \frac{3\pi}{15} = \frac{5\pi}{15} = \frac{\pi}{3}$
Таким образом, получаем:
$sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

в)

Данное выражение соответствует формуле косинуса суммы: $cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)$.
В нашем случае, $\alpha = \frac{\pi}{12}$ и $\beta = \frac{\pi}{4}$.
Следовательно, выражение можно переписать в виде:
$cos \frac{\pi}{12} cos \frac{\pi}{4} - sin \frac{\pi}{12} sin \frac{\pi}{4} = cos(\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{4})$
Вычислим сумму в аргументе косинуса, приведя дроби к общему знаменателю:
$\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} = \frac{4\pi}{12} = \frac{\pi}{3}$
Таким образом, получаем:
$cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$

г)

Данное выражение соответствует формуле синуса разности: $sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta)$.
В нашем случае, $\alpha = \frac{\pi}{12}$ и $\beta = \frac{\pi}{4}$.
Следовательно, выражение можно переписать в виде:
$sin \frac{\pi}{12} cos \frac{\pi}{4} - cos \frac{\pi}{12} sin \frac{\pi}{4} = sin(\frac{\pi}{12} - \frac{\pi}{4})$
Вычислим разность в аргументе синуса, приведя дроби к общему знаменателю:
$\frac{\pi}{12} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} = -\frac{2\pi}{12} = -\frac{\pi}{6}$
Таким образом, получаем $sin(-\frac{\pi}{6})$. Используя свойство нечетности синуса $sin(-x) = -sin(x)$:
$sin(-\frac{\pi}{6}) = -sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$
Ответ: $-\frac{1}{2}$

19.7 a) $\sin (30^\circ - \alpha) - \cos (60^\circ - \alpha) = -\sqrt{3} \sin \alpha;$

б) $\sin (30^\circ - \alpha) + \sin (30^\circ + \alpha) = \cos \alpha.$

а)

Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть, используя формулы синуса разности и косинуса разности:

$ \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $

$ \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $

Применим эти формулы к левой части равенства $ \sin(30^\circ - \alpha) - \cos(60^\circ - \alpha) $.

Сначала раскроем каждый член выражения:

$ \sin(30^\circ - \alpha) = \sin 30^\circ \cos \alpha - \cos 30^\circ \sin \alpha $

$ \cos(60^\circ - \alpha) = \cos 60^\circ \cos \alpha + \sin 60^\circ \sin \alpha $

Подставим эти разложения в исходное выражение:

$ (\sin 30^\circ \cos \alpha - \cos 30^\circ \sin \alpha) - (\cos 60^\circ \cos \alpha + \sin 60^\circ \sin \alpha) $

Теперь подставим известные значения тригонометрических функций: $ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $, $ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $, $ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $, $ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

$ \left( \frac{1}{2} \cos \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha \right) - \left( \frac{1}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha \right) $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{1}{2} \cos \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha - \frac{1}{2} \cos \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha $

Члены $ \frac{1}{2} \cos \alpha $ и $ -\frac{1}{2} \cos \alpha $ взаимно уничтожаются. Остается:

$ - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha = -2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha = -\sqrt{3} \sin \alpha $

В результате преобразований левая часть равенства стала равна $ -\sqrt{3} \sin \alpha $, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б)

Для доказательства этого тождества преобразуем его левую часть $ \sin(30^\circ - \alpha) + \sin(30^\circ + \alpha) $. Воспользуемся формулами синуса разности и синуса суммы:

$ \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $

$ \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $

Применим формулы:

$ \sin(30^\circ - \alpha) = \sin 30^\circ \cos \alpha - \cos 30^\circ \sin \alpha $

$ \sin(30^\circ + \alpha) = \sin 30^\circ \cos \alpha + \cos 30^\circ \sin \alpha $

Теперь сложим эти два выражения:

$ (\sin 30^\circ \cos \alpha - \cos 30^\circ \sin \alpha) + (\sin 30^\circ \cos \alpha + \cos 30^\circ \sin \alpha) $

Приведем подобные слагаемые. Члены $ -\cos 30^\circ \sin \alpha $ и $ \cos 30^\circ \sin \alpha $ взаимно уничтожаются:

$ \sin 30^\circ \cos \alpha + \sin 30^\circ \cos \alpha = 2 \sin 30^\circ \cos \alpha $

Подставим известное значение $ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $:

$ 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos \alpha = \cos \alpha $

В результате преобразования левая часть стала равна $ \cos \alpha $, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Вычислите:

19.12 a) $\sin 77^\circ \cos 17^\circ - \sin 13^\circ \cos 73^\circ$;

б) $\cos 125^\circ \cos 5^\circ + \sin 55^\circ \cos 85^\circ$.

Рассмотрим выражение $ \sin 77^\circ \cos 17^\circ - \sin 13^\circ \cos 73^\circ $.

Чтобы упростить это выражение, воспользуемся формулами приведения. Заметим, что некоторые углы в сумме дают $90^\circ$: $ 77^\circ + 13^\circ = 90^\circ $ и $ 73^\circ + 17^\circ = 90^\circ $. Это позволяет нам использовать формулы для дополнительных углов: $ \sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha $ и $ \cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha $.

Преобразуем вторую часть выражения:

$ \sin 13^\circ = \sin(90^\circ - 77^\circ) = \cos 77^\circ $

$ \cos 73^\circ = \cos(90^\circ - 17^\circ) = \sin 17^\circ $

Теперь подставим эти преобразованные значения обратно в исходное выражение:

$ \sin 77^\circ \cos 17^\circ - \cos 77^\circ \sin 17^\circ $

Полученное выражение является формулой синуса разности: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $, где $ \alpha = 77^\circ $ и $ \beta = 17^\circ $.

Применим эту формулу:

$ \sin(77^\circ - 17^\circ) = \sin(60^\circ) $

Значение синуса $60^\circ$ является табличным:

$ \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2} $

Рассмотрим выражение $ \cos 125^\circ \cos 5^\circ + \sin 55^\circ \cos 85^\circ $.

Чтобы привести это выражение к одной из формул сложения, преобразуем некоторые функции с помощью формул приведения. Наша цель — получить одинаковые углы в выражении.

Преобразуем $ \sin 55^\circ $ и $ \cos 85^\circ $. Используя формулу $ \sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha $, получим:

$ \sin 55^\circ = \sin(180^\circ - 125^\circ) = \sin 125^\circ $

Используя формулу $ \cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha $, получим:

$ \cos 85^\circ = \cos(90^\circ - 5^\circ) = \sin 5^\circ $

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$ \cos 125^\circ \cos 5^\circ + \sin 125^\circ \sin 5^\circ $

Это выражение соответствует формуле косинуса разности: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $, где $ \alpha = 125^\circ $ и $ \beta = 5^\circ $.

Применим эту формулу:

$ \cos(125^\circ - 5^\circ) = \cos(120^\circ) $

Для нахождения значения $ \cos(120^\circ) $ снова используем формулу приведения $ \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha $:

$ \cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) $

Значение косинуса $60^\circ$ является табличным и равно $ \frac{1}{2} $.

$ -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2} $

Ответ: $ -\frac{1}{2} $

19.8 a) $\sin 5x \cos 3x + \cos 5x \sin 3x = \sin 8x;$

б) $\cos 5x \cos 3x - \sin 5x \sin 3x = \cos 8x.$

a) Исходное уравнение: $sin(5x)cos(3x) + cos(5x)sin(3x) = sin(8x)$.
Для решения данного уравнения воспользуемся тригонометрической формулой синуса суммы двух углов: $sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta)$.
Левая часть нашего уравнения в точности соответствует этой формуле, где $\alpha = 5x$ и $\beta = 3x$.
Применим формулу, чтобы упростить левую часть:
$sin(5x)cos(3x) + cos(5x)sin(3x) = sin(5x + 3x) = sin(8x)$.
После подстановки в исходное уравнение получаем:
$sin(8x) = sin(8x)$.
Это равенство является тождеством, то есть оно верно для любых действительных значений переменной $x$.
Ответ: $x \in \mathbb{R}$ (любое действительное число).

б) Исходное уравнение: $cos(5x)cos(3x) - sin(5x)sin(3x) = cos(8x)$.
Для решения данного уравнения воспользуемся тригонометрической формулой косинуса суммы двух углов: $cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)$.
Левая часть нашего уравнения в точности соответствует этой формуле, где $\alpha = 5x$ и $\beta = 3x$.
Применим формулу, чтобы упростить левую часть:
$cos(5x)cos(3x) - sin(5x)sin(3x) = cos(5x + 3x) = cos(8x)$.
После подстановки в исходное уравнение получаем:
$cos(8x) = cos(8x)$.
Это равенство также является тождеством, то есть оно верно для любых действительных значений переменной $x$.
Ответ: $x \in \mathbb{R}$ (любое действительное число).

19.13 a) $\frac{\cos 105^\circ \cos 5^\circ + \sin 105^\circ \cos 85^\circ}{\cos 95^\circ \cos 5^\circ + \sin 95^\circ \sin 185^\circ}$;

б) $\frac{\sin 75^\circ \cos 5^\circ - \cos 75^\circ \cos 85^\circ}{\cos 375^\circ \cos 5^\circ - \sin 15^\circ \sin 365^\circ}$.

а) $ \frac{\cos 105^\circ \cos 5^\circ + \sin 105^\circ \cos 85^\circ}{\cos 95^\circ \cos 5^\circ + \sin 95^\circ \sin 185^\circ} $
Упростим числитель и знаменатель дроби по отдельности.
1. Числитель: $ \cos 105^\circ \cos 5^\circ + \sin 105^\circ \cos 85^\circ $.
Используем формулу приведения для $ \cos 85^\circ $: $ \cos 85^\circ = \cos(90^\circ - 5^\circ) = \sin 5^\circ $.
Подставим это в выражение для числителя: $ \cos 105^\circ \cos 5^\circ + \sin 105^\circ \sin 5^\circ $.
Это выражение является формулой косинуса разности: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $.
При $ \alpha = 105^\circ $ и $ \beta = 5^\circ $ получаем: $ \cos(105^\circ - 5^\circ) = \cos 100^\circ $.
2. Знаменатель: $ \cos 95^\circ \cos 5^\circ + \sin 95^\circ \sin 185^\circ $.
Используем формулу приведения для $ \sin 185^\circ $: $ \sin 185^\circ = \sin(180^\circ + 5^\circ) = -\sin 5^\circ $.
Подставим это в выражение для знаменателя: $ \cos 95^\circ \cos 5^\circ + \sin 95^\circ (-\sin 5^\circ) = \cos 95^\circ \cos 5^\circ - \sin 95^\circ \sin 5^\circ $.
Это выражение является формулой косинуса суммы: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $.
При $ \alpha = 95^\circ $ и $ \beta = 5^\circ $ получаем: $ \cos(95^\circ + 5^\circ) = \cos 100^\circ $.
3. Итоговое выражение:
$ \frac{\text{Числитель}}{\text{Знаменатель}} = \frac{\cos 100^\circ}{\cos 100^\circ} = 1 $.
Ответ: 1.

б) $ \frac{\sin 75^\circ \cos 5^\circ - \cos 75^\circ \cos 85^\circ}{\cos 375^\circ \cos 5^\circ - \sin 15^\circ \sin 365^\circ} $
Упростим числитель и знаменатель дроби по отдельности.
1. Числитель: $ \sin 75^\circ \cos 5^\circ - \cos 75^\circ \cos 85^\circ $.
Используем формулу приведения: $ \cos 85^\circ = \cos(90^\circ - 5^\circ) = \sin 5^\circ $.
Подставим это в выражение для числителя: $ \sin 75^\circ \cos 5^\circ - \cos 75^\circ \sin 5^\circ $.
Это выражение является формулой синуса разности: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $.
При $ \alpha = 75^\circ $ и $ \beta = 5^\circ $ получаем: $ \sin(75^\circ - 5^\circ) = \sin 70^\circ $.
2. Знаменатель: $ \cos 375^\circ \cos 5^\circ - \sin 15^\circ \sin 365^\circ $.
Используем периодичность тригонометрических функций ($ 360^\circ $):
$ \cos 375^\circ = \cos(360^\circ + 15^\circ) = \cos 15^\circ $.
$ \sin 365^\circ = \sin(360^\circ + 5^\circ) = \sin 5^\circ $.
Подставим это в выражение для знаменателя: $ \cos 15^\circ \cos 5^\circ - \sin 15^\circ \sin 5^\circ $.
Это выражение является формулой косинуса суммы: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $.
При $ \alpha = 15^\circ $ и $ \beta = 5^\circ $ получаем: $ \cos(15^\circ + 5^\circ) = \cos 20^\circ $.
3. Итоговое выражение:
$ \frac{\text{Числитель}}{\text{Знаменатель}} = \frac{\sin 70^\circ}{\cos 20^\circ} $.
Используем формулу приведения $ \sin 70^\circ = \sin(90^\circ - 20^\circ) = \cos 20^\circ $.
Получаем: $ \frac{\cos 20^\circ}{\cos 20^\circ} = 1 $.
Ответ: 1.

19.9 a) $ \sin 7x \cos 4x - \cos 7x \sin 4x = \sin 3x; $

б) $ \cos 2x \cos 12x + \sin 2x \sin 12x = \cos 10x. $

а)

Дано уравнение: $sin 7x \cdot cos 4x - cos 7x \cdot sin 4x = sin 3x$.

Левая часть этого уравнения соответствует формуле синуса разности двух углов: $sin(\alpha - \beta) = sin\alpha \cdot cos\beta - cos\alpha \cdot sin\beta$.

В данном случае, пусть $\alpha = 7x$ и $\beta = 4x$. Применим эту формулу к левой части уравнения:

$sin(7x - 4x) = sin 3x$

Выполним вычитание в скобках:

$sin(3x) = sin 3x$

В результате мы получили тождество, то есть равенство, которое является верным для любого значения переменной $x$. Это означает, что исходное уравнение также является тождеством.

Ответ: $x \in \mathbb{R}$ (x - любое действительное число).

б)

Дано уравнение: $cos 2x \cdot cos 12x + sin 2x \cdot sin 12x = cos 10x$.

Левая часть этого уравнения соответствует формуле косинуса разности двух углов: $cos(\alpha - \beta) = cos\alpha \cdot cos\beta + sin\alpha \cdot sin\beta$.

В данном случае, пусть $\alpha = 12x$ и $\beta = 2x$. Применим эту формулу к левой части уравнения (порядок аргументов не важен, так как $cos(-\phi) = cos(\phi)$):

$cos(12x - 2x) = cos 10x$

Выполним вычитание в скобках:

$cos(10x) = cos 10x$

Мы снова получили тождество, которое верно при любых значениях переменной $x$. Следовательно, исходное уравнение является тождеством.

Ответ: $x \in \mathbb{R}$ (x - любое действительное число).

1. Что такое $ \sin t $? Что такое $ \cos t $?

Что такое sin t?

Синус (обозначается как $\sin t$) – это одна из основных тригонометрических функций. Существует несколько способов его определения, наиболее общим из которых является определение через единичную окружность.

Определение через прямоугольный треугольник (для острых углов)
В прямоугольном треугольнике синусом острого угла $t$ называется отношение длины противолежащего этому углу катета к длине гипотенузы.
Если дан прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$, и угол $t$ является углом, противолежащим катету $a$, то:
$\sin t = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{c}$

Определение через единичную окружность (универсальное определение)
Рассмотрим в декартовой системе координат окружность с центром в начале координат (0,0) и радиусом, равным 1. Такую окружность называют единичной.
Начальная точка $P_0$ имеет координаты (1,0). При повороте этой точки на угол $t$ против часовой стрелки вокруг начала координат мы получаем новую точку $P$ на окружности. Угол $t$ может быть любым действительным числом и обычно измеряется в радианах.
Синусом угла $t$ называется ордината (координата $y$) точки $P$.
$y = \sin t$

Таким образом, синус характеризует вертикальное смещение точки на единичной окружности относительно центра. Значения синуса всегда лежат в пределах от -1 до 1, то есть $-1 \le \sin t \le 1$. Это нечетная ($\sin(-t) = -\sin t$) и периодическая функция с основным периодом $2\pi$.

Ответ: Синус угла $t$ — это ордината (координата $y$) точки на единичной окружности, которая получается при повороте начальной точки (1,0) на угол $t$ вокруг центра координат.

Что такое cos t?

Косинус (обозначается как $\cos t$) – это еще одна основная тригонометрическая функция, которая определяется аналогично синусу.

Определение через прямоугольный треугольник (для острых углов)
В прямоугольном треугольнике косинусом острого угла $t$ называется отношение длины прилежащего к этому углу катета к длине гипотенузы.
Если в том же треугольнике угол $t$ прилежит к катету $b$, то:
$\cos t = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{b}{c}$

Определение через единичную окружность (универсальное определение)
В той же модели с единичной окружностью, где точка $P$ с координатами $(x, y)$ получена поворотом точки $P_0(1,0)$ на угол $t$:
Косинусом угла $t$ называется абсцисса (координата $x$) точки $P$.
$x = \cos t$

Соответственно, косинус характеризует горизонтальное смещение точки на единичной окружности. Значения косинуса также лежат в пределах от -1 до 1 ($-1 \le \cos t \le 1$). Это четная ($\cos(-t) = \cos t$) и периодическая функция с основным периодом $2\pi$. Синус и косинус связаны фундаментальным соотношением, известным как основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, которое является следствием теоремы Пифагора для треугольника, образованного в единичной окружности.

Ответ: Косинус угла $t$ — это абсцисса (координата $x$) точки на единичной окружности, которая получается при повороте начальной точки (1,0) на угол $t$ вокруг центра координат.

2. Что такое $ \mathrm{tg}t $? Что такое $ \mathrm{ctg}t $?

Что такое tg t?
Тангенсом угла $t$ (обозначается $\tg t$ или $\tan t$) называется тригонометрическая функция, которая определяется как отношение синуса этого угла к его косинусу.
Математически это записывается формулой:
$\tg t = \frac{\sin t}{\cos t}$

Основные свойства тангенса:
1. Область определения: Тангенс определён для всех значений угла $t$, для которых косинус не равен нулю ($\cos t \neq 0$), так как деление на ноль не определено. Это условие выполняется для всех $t$, кроме $t = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
2. Область значений: Множество всех действительных чисел, то есть от $-\infty$ до $+\infty$.
3. Периодичность: Тангенс — периодическая функция с наименьшим положительным периодом, равным $\pi$. Это означает, что $\tg(t + \pi) = \tg t$ для любого $t$ из области определения.
4. Геометрический смысл: Если рассмотреть единичную окружность, то тангенс угла $t$ — это ордината (координата по оси y) точки пересечения прямой, содержащей радиус-вектор угла $t$, с касательной к окружности в точке $(1, 0)$. Эта касательная называется «осью тангенсов».

Ответ: Тангенс угла $t$ – это отношение синуса этого угла к его косинусу, которое вычисляется по формуле $\tg t = \frac{\sin t}{\cos t}$.

Что такое ctg t?
Котангенсом угла $t$ (обозначается $\ctg t$ или $\cot t$) называется тригонометрическая функция, которая определяется как отношение косинуса этого угла к его синусу.
Математически это записывается формулой:
$\ctg t = \frac{\cos t}{\sin t}$

Котангенс также является функцией, обратной тангенсу: $\ctg t = \frac{1}{\tg t}$.

Основные свойства котангенса:
1. Область определения: Котангенс определён для всех значений угла $t$, для которых синус не равен нулю ($\sin t \neq 0$). Это условие выполняется для всех $t$, кроме $t = \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
2. Область значений: Множество всех действительных чисел, то есть от $-\infty$ до $+\infty$.
3. Периодичность: Котангенс, как и тангенс, является периодической функцией с наименьшим положительным периодом $\pi$. То есть, $\ctg(t + \pi) = \ctg t$.
4. Геометрический смысл: На единичной окружности котангенс угла $t$ — это абсцисса (координата по оси x) точки пересечения прямой, содержащей радиус-вектор угла $t$, с касательной к окружности в точке $(0, 1)$. Эта касательная называется «осью котангенсов».

Ответ: Котангенс угла $t$ – это отношение косинуса этого угла к его синусу, которое вычисляется по формуле $\ctg t = \frac{\cos t}{\sin t}$.

3. Опишите область допустимых значений переменной для выражения $tgt$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для выражения $\tan(t)$ — это множество всех значений переменной $t$, при которых это выражение имеет смысл.

Тригонометрическая функция тангенс определяется как отношение синуса к косинусу:

$\tan(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)}$

Дробное выражение имеет смысл только тогда, когда его знаменатель не равен нулю. Следовательно, для выражения $\tan(t)$ должно выполняться условие:

$\cos(t) \neq 0$

Найдем значения $t$, при которых косинус равен нулю. На единичной окружности это точки, соответствующие ординатам $y=0$ на оси тангенсов, что происходит при углах, равных $\frac{\pi}{2}$ и $-\frac{\pi}{2}$, а также всех углах, получаемых из них добавлением целого числа полуоборотов ($\pi$).

Таким образом, $\cos(t) = 0$ при:

$t = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Следовательно, область допустимых значений для выражения $\tan(t)$ состоит из всех действительных чисел, кроме тех, для которых $\cos(t) = 0$.

Ответ: $t$ — любое действительное число, кроме $t = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

4. Опишите область допустимых значений переменной для выражения $ctg t$.

Область допустимых значений (ОДЗ) переменной для выражения $ctg(t)$ — это множество всех значений аргумента $t$, при которых данное выражение определено (имеет смысл).

Функция котангенса определяется через отношение синуса и косинуса:

$ctg(t) = \frac{cos(t)}{sin(t)}$

Дробное выражение определено только в том случае, если его знаменатель не равен нулю. Поэтому для функции $ctg(t)$ должно выполняться условие:

$sin(t) \neq 0$

Решим уравнение $sin(t) = 0$. Это простейшее тригонометрическое уравнение, решениями которого являются значения $t$, соответствующие точкам на единичной окружности с ординатой, равной нулю. Такими точками являются $(1, 0)$ и $(-1, 0)$, что соответствует углам $0, \pi, 2\pi, -\pi, -2\pi$ и так далее.

Общая формула для всех корней уравнения $sin(t) = 0$ имеет вид:

$t = \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Следовательно, эти значения $t$ должны быть исключены из области допустимых значений. Таким образом, ОДЗ для выражения $ctg(t)$ — это все действительные числа, кроме чисел вида $\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

5. Объясните, почему в четвёртой четверти числовой окружности синус отрицателен, а косинус положителен.

Для объяснения знаков синуса и косинуса в различных четвертях используется определение этих тригонометрических функций через числовую (или единичную) окружность.

Числовая окружность — это окружность с центром в начале декартовой системы координат, точке $O(0; 0)$, и радиусом, равным 1. Каждой точке $P$ на этой окружности соответствует определённый угол $\alpha$, образованный радиус-вектором $OP$ и положительным направлением оси абсцисс (оси $Ox$).

По определению, координаты $(x; y)$ точки $P$ на единичной окружности равны косинусу и синусу угла $\alpha$ соответственно:

• Косинус угла $\alpha$ — это абсцисса точки $P$, то есть $x = \cos(\alpha)$.
• Синус угла $\alpha$ — это ордината точки $P$, то есть $y = \sin(\alpha)$.

Координатные оси делят плоскость на четыре четверти. Четвёртая четверть — это область, в которой находятся все точки с положительной абсциссой ($x > 0$) и отрицательной ординатой ($y < 0$). На числовой окружности эта четверть соответствует углам от $270^\circ$ до $360^\circ$ (или в радианах от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$).

Почему синус отрицателен в четвёртой четверти

Синус угла $\alpha$ равен ординате ($y$) точки на числовой окружности. Для любой точки, находящейся в четвёртой четверти, её ордината $y$ отрицательна ($y < 0$). Следовательно, $\sin(\alpha) < 0$ для любого угла $\alpha$ из четвёртой четверти.

Почему косинус положителен в четвёртой четверти

Косинус угла $\alpha$ равен абсциссе ($x$) точки на числовой окружности. Для любой точки, находящейся в четвёртой четверти, её абсцисса $x$ положительна ($x > 0$). Следовательно, $\cos(\alpha) > 0$ для любого угла $\alpha$ из четвёртой четверти.

Ответ: В четвёртой четверти числовой окружности все точки имеют положительные абсциссы ($x>0$) и отрицательные ординаты ($y<0$). Поскольку по определению косинус угла равен абсциссе соответствующей точки на окружности ($\cos(\alpha) = x$), его значение в этой четверти положительно. А синус угла, равный ординате этой точки ($\sin(\alpha) = y$), соответственно, отрицателен.

6. Объясните, почему во второй четверти числовой окружности и тангенс, и котангенс отрицательны.

Для ответа на этот вопрос воспользуемся определениями тригонометрических функций через координаты точки на единичной (числовой) окружности. Единичная окружность — это окружность с радиусом 1 и центром в начале координат. Любой точке $M(x, y)$ на этой окружности соответствует угол $\alpha$, для которого справедливы следующие равенства:
$x = \cos(\alpha)$
$y = \sin(\alpha)$

Вторая четверть координатной плоскости — это область, где абсцисса ($x$) отрицательна, а ордината ($y$) положительна. Углы, попадающие во вторую четверть, находятся в диапазоне от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$ (или от 90° до 180°).

Поскольку во второй четверти $x < 0$ и $y > 0$, то для любого угла $\alpha$ из этой четверти знаки синуса и косинуса будут следующими:
$\sin(\alpha) = y > 0$ (синус положителен).
$\cos(\alpha) = x < 0$ (косинус отрицателен).

Теперь рассмотрим определения тангенса и котангенса.
Тангенс определяется как отношение синуса к косинусу: $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$.
Котангенс определяется как отношение косинуса к синусу: $\cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$.

Определим знак тангенса во второй четверти. Мы делим положительное значение синуса на отрицательное значение косинуса:
$\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{\text{положительное число}}{\text{отрицательное число}}$.
При делении положительного числа на отрицательное результат всегда будет отрицательным. Следовательно, $\tan(\alpha) < 0$.

Аналогично определим знак котангенса во второй четверти. Мы делим отрицательное значение косинуса на положительное значение синуса:
$\cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \frac{\text{отрицательное число}}{\text{положительное число}}$.
При делении отрицательного числа на положительное результат также всегда будет отрицательным. Следовательно, $\cot(\alpha) < 0$.

Ответ: Во второй четверти числовой окружности синус угла положителен, а косинус — отрицателен. Так как тангенс и котангенс определяются как отношения синуса и косинуса ($\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ и $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$), они представляют собой частное от деления чисел с разными знаками. Результат такого деления всегда отрицателен, поэтому и тангенс, и котангенс во второй четверти отрицательны.

7. Запишите уравнение единичной окружности с центром в начале координат в системе координат $xOy$. Как с помощью этого уравнения получить так называемое основное тригонометрическое тождество $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$?

Запишите уравнение единичной окружности с центром в начале координат в системе координат xOy.

Общее уравнение окружности с центром в точке $(x_0, y_0)$ и радиусом $R$ в декартовой системе координат имеет вид:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$

Согласно условию, центр окружности находится в начале координат, то есть его координаты $(x_0, y_0) = (0, 0)$. Окружность называется единичной, если ее радиус равен 1, следовательно, $R = 1$.

Подставим эти значения в общее уравнение окружности:

$(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 1^2$

После упрощения получаем искомое уравнение:

$x^2 + y^2 = 1$

Ответ: $x^2 + y^2 = 1$.

Как с помощью этого уравнения получить так называемое основное тригонометрическое тождество $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$?

Рассмотрим единичную окружность в системе координат $xOy$. По определению, для любой точки $P(x, y)$, лежащей на этой окружности, ее координаты выражаются через тригонометрические функции угла $t$, который образует радиус-вектор $OP$ с положительным направлением оси $Ox$:

Абсцисса точки: $x = \cos t$

Ордината точки: $y = \sin t$

Поскольку точка $P$ с координатами $(\cos t, \sin t)$ принадлежит единичной окружности, ее координаты должны удовлетворять уравнению этой окружности, которое было найдено в первой части: $x^2 + y^2 = 1$.

Выполним подстановку выражений для $x$ и $y$ через тригонометрические функции в уравнение окружности:

$(\cos t)^2 + (\sin t)^2 = 1$

Используя стандартную форму записи степеней тригонометрических функций, мы получаем тождество, которое называется основным тригонометрическим тождеством:

$\cos^2 t + \sin^2 t = 1$

Таким образом, это тождество является прямым алгебраическим следствием геометрического определения синуса и косинуса на единичной окружности.

Ответ: Основное тригонометрическое тождество получается путем подстановки в уравнение единичной окружности $x^2 + y^2 = 1$ определений косинуса и синуса как координат точки на этой окружности: $x = \cos t$ и $y = \sin t$.

8. Объясните, почему $sin(-t) = -sin t$, а $cos(-t) = cos t$.

Для объяснения этих свойств удобнее всего использовать тригонометрическую (единичную) окружность. Это окружность с радиусом $1$, центр которой находится в начале координат $(0, 0)$. Любая точка $P$ на этой окружности, соответствующая углу $t$ (отсчитанному от положительного направления оси Ox против часовой стрелки), имеет координаты $(\cos t, \sin t)$.

Почему $\sin(-t) = -\sin t$

По определению, синус угла — это ордината (координата $y$) точки на единичной окружности.

1. Возьмем на окружности точку $P(x, y)$, соответствующую углу $t$. Ее координаты равны $P(\cos t, \sin t)$. Таким образом, $y = \sin t$.

2. Теперь рассмотрим угол $-t$. Этот угол имеет ту же величину, что и угол $t$, но откладывается в противоположном направлении (по часовой стрелке). Точка $P'$, соответствующая углу $-t$, будет симметрична точке $P$ относительно оси абсцисс (оси Ox).

3. Если точка $P$ имеет координаты $(x, y)$, то симметричная ей относительно оси Ox точка $P'$ будет иметь координаты $(x, -y)$.

4. С другой стороны, по определению, координаты точки $P'$ равны $(\cos(-t), \sin(-t))$.

5. Сравнивая две записи для координат точки $P'$, мы можем приравнять их ординаты (координаты $y$): $\sin(-t) = -y$.

6. Так как из пункта 1 мы знаем, что $y = \sin t$, то, подставив это значение, получаем: $\sin(-t) = -\sin t$.

Это свойство означает, что синус является нечетной функцией.

Ответ: Точки на единичной окружности, соответствующие углам $t$ и $-t$, симметричны относительно оси Ox. Поэтому их ординаты (синусы) противоположны по знаку, то есть $\sin(-t) = -\sin t$.

Почему $\cos(-t) = \cos t$

По определению, косинус угла — это абсцисса (координата $x$) точки на единичной окружности.

1. Возьмем ту же точку $P(x, y)$, соответствующую углу $t$, с координатами $P(\cos t, \sin t)$. Таким образом, $x = \cos t$.

2. Точка $P'$, соответствующая углу $-t$, как мы уже установили, симметрична точке $P$ относительно оси Ox и имеет координаты $(x, -y)$.

3. По определению, координаты точки $P'$ также равны $(\cos(-t), \sin(-t))$.

4. Теперь сравним абсциссы (координаты $x$) для точки $P'$: $\cos(-t) = x$.

5. Так как из пункта 1 мы знаем, что $x = \cos t$, то, подставив это значение, получаем: $\cos(-t) = \cos t$.

Это свойство означает, что косинус является четной функцией.

Ответ: Точки на единичной окружности, соответствующие углам $t$ и $-t$, симметричны относительно оси Ox. Поэтому их абсциссы (косинусы) равны, то есть $\cos(-t) = \cos t$.

9. Докажите, что $tg(-t) = -tg t$, $ctg(-t) = -ctg t$.

$tg(-t) = -tg(t)$

Для доказательства этого тождества мы будем использовать определение тангенса через синус и косинус, а также известные свойства четности этих тригонометрических функций.

По определению, тангенс угла $t$ равен отношению синуса этого угла к его косинусу:
$tg(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)}$

Также нам известны следующие свойства четности для функций синуса и косинуса:
1. Функция синус является нечетной: $\sin(-t) = -\sin(t)$.
2. Функция косинус является четной: $\cos(-t) = \cos(t)$.

Рассмотрим левую часть доказываемого равенства $tg(-t)$ и применим к ней определение тангенса:
$tg(-t) = \frac{\sin(-t)}{\cos(-t)}$

Теперь подставим в полученную дробь свойства четности синуса и косинуса:
$\frac{\sin(-t)}{\cos(-t)} = \frac{-\sin(t)}{\cos(t)}$

Вынесем знак "минус" перед дробью:
$\frac{-\sin(t)}{\cos(t)} = -\frac{\sin(t)}{\cos(t)}$

Поскольку выражение $\frac{\sin(t)}{\cos(t)}$ равно $tg(t)$, мы приходим к следующему результату:
$-\frac{\sin(t)}{\cos(t)} = -tg(t)$

Таким образом, мы показали, что левая часть исходного равенства равна правой: $tg(-t) = -tg(t)$. Это доказывает, что тангенс — нечетная функция.

Ответ: Тождество $tg(-t) = -tg(t)$ доказано.

$ctg(-t) = -ctg(t)$

Доказательство для котангенса проводится аналогичным образом, используя его определение и свойства четности синуса и косинуса.

По определению, котангенс угла $t$ равен отношению косинуса этого угла к его синусу:
$ctg(t) = \frac{\cos(t)}{\sin(t)}$

Используем те же свойства четности: $\cos(-t) = \cos(t)$ и $\sin(-t) = -\sin(t)$.

Рассмотрим левую часть доказываемого равенства $ctg(-t)$ и применим к ней определение котангенса:
$ctg(-t) = \frac{\cos(-t)}{\sin(-t)}$

Подставим свойства четности косинуса и синуса:
$\frac{\cos(-t)}{\sin(-t)} = \frac{\cos(t)}{-\sin(t)}$

Вынесем знак "минус" перед дробью:
$\frac{\cos(t)}{-\sin(t)} = -\frac{\cos(t)}{\sin(t)}$

Так как выражение $\frac{\cos(t)}{\sin(t)}$ равно $ctg(t)$, мы получаем:
$-\frac{\cos(t)}{\sin(t)} = -ctg(t)$

Таким образом, мы показали, что $ctg(-t) = -ctg(t)$. Это доказывает, что котангенс, как и тангенс, является нечетной функцией.

Ответ: Тождество $ctg(-t) = -ctg(t)$ доказано.

10. Объясните, почему $\sin(t + 2\pi n) = \sin t$, $\cos(t + 2\pi n) = \cos t$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Данные равенства, $\sin(t + 2\pi n) = \sin(t)$ и $\cos(t + 2\pi n) = \cos(t)$, являются следствием периодичности тригонометрических функций синуса и косинуса. Наиболее наглядно это можно объяснить с помощью единичной тригонометрической окружности.

Единичная окружность — это окружность с радиусом, равным 1, и центром в начале координат. Положение любой точки на этой окружности можно задать углом $t$ (в радианах), на который нужно повернуть начальную точку $(1, 0)$. По определению, координаты $(x, y)$ точки, полученной в результате поворота на угол $t$, равны $x = \cos(t)$ и $y = \sin(t)$.

Величина $2\pi$ радиан соответствует полному обороту вокруг окружности ($360^\circ$). Когда мы прибавляем к углу $t$ число $2\pi$, мы фактически совершаем один полный оборот из точки, соответствующей углу $t$, и возвращаемся в неё же. Положение точки на окружности не меняется, а значит, не меняются и её координаты. Следовательно, $\cos(t + 2\pi) = \cos(t)$ и $\sin(t + 2\pi) = \sin(t)$.

Выражение $2\pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$), обозначает $n$ полных оборотов. Если $n$ положительное, это $n$ оборотов против часовой стрелки. Если $n$ отрицательное, это $|n|$ оборотов по часовой стрелке. Если $n=0$, мы остаемся на месте. В любом из этих случаев, поворот на угол $t + 2\pi n$ приводит нас в ту же самую точку на окружности, что и поворот на угол $t$.

Поскольку точки для углов $t$ и $t + 2\pi n$ совпадают, их координаты $(x, y)$ также идентичны. Это означает, что абсцисса точки не меняется, то есть $\cos(t + 2\pi n) = \cos(t)$, и ордината точки не меняется, то есть $\sin(t + 2\pi n) = \sin(t)$. Это и доказывает данные равенства.

Ответ: Равенства $\sin(t + 2\pi n) = \sin(t)$ и $\cos(t + 2\pi n) = \cos(t)$ верны, так как функции синус и косинус периодичны с периодом $2\pi$. Прибавление к аргументу $t$ величины $2\pi n$ (где $n \in \mathbb{Z}$) соответствует совершению $n$ полных оборотов на единичной тригонометрической окружности, что возвращает нас в исходную точку. Поскольку положение точки не меняется, её координаты — косинус и синус — также остаются неизменными.