Страница 59, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Докажите тождество:

19.5 a) $\sin(\alpha + \beta) + \sin(-\alpha) \cos(-\beta) = \sin \beta \cos \alpha;$

б) $\cos(\alpha + \beta) + \sin(-\alpha) \sin(-\beta) = \cos \alpha \cos \beta.$

а) Докажем тождество $ \sin(\alpha + \beta) + \sin(-\alpha) \cos(-\beta) = \sin\beta \cos\alpha $. Для этого преобразуем его левую часть, используя тригонометрические формулы.

1. Применим формулу синуса суммы двух углов:
$ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $.

2. Воспользуемся свойствами четности тригонометрических функций. Синус является нечетной функцией, а косинус — четной:
$ \sin(-\alpha) = -\sin\alpha $
$ \cos(-\beta) = \cos\beta $.

3. Подставим эти выражения в левую часть исходного равенства:
$ \sin(\alpha + \beta) + \sin(-\alpha) \cos(-\beta) = (\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta) + (-\sin\alpha)(\cos\beta) $.

4. Раскроем скобки и упростим полученное выражение:
$ \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta - \sin\alpha \cos\beta $.

5. Приведем подобные слагаемые. Члены $ \sin\alpha \cos\beta $ и $ -\sin\alpha \cos\beta $ взаимно уничтожаются:
$ \cos\alpha \sin\beta $.

В результате преобразований левая часть тождества стала равна $ \cos\alpha \sin\beta $, что совпадает с правой частью $ \sin\beta \cos\alpha $ (согласно свойству коммутативности умножения). Тождество доказано.

Ответ: Преобразование левой части $ \sin(\alpha + \beta) + \sin(-\alpha) \cos(-\beta) $ с использованием формулы синуса суммы и свойств четности/нечетности приводит к выражению $ (\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta) - \sin\alpha \cos\beta = \cos\alpha \sin\beta $, которое равно правой части $ \sin\beta \cos\alpha $.

б) Докажем тождество $ \cos(\alpha + \beta) + \sin(-\alpha) \sin(-\beta) = \cos\alpha \cos\beta $. Для этого также преобразуем его левую часть.

1. Применим формулу косинуса суммы двух углов:
$ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $.

2. Воспользуемся свойством нечетности функции синус:
$ \sin(-\alpha) = -\sin\alpha $
$ \sin(-\beta) = -\sin\beta $.

3. Подставим эти выражения в левую часть исходного равенства:
$ \cos(\alpha + \beta) + \sin(-\alpha) \sin(-\beta) = (\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta) + (-\sin\alpha)(-\sin\beta) $.

4. Упростим полученное выражение. Произведение двух отрицательных чисел положительно:
$ \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta + \sin\alpha \sin\beta $.

5. Приведем подобные слагаемые. Члены $ -\sin\alpha \sin\beta $ и $ \sin\alpha \sin\beta $ взаимно уничтожаются:
$ \cos\alpha \cos\beta $.

В результате преобразований левая часть тождества стала равна $ \cos\alpha \cos\beta $, что в точности совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Преобразование левой части $ \cos(\alpha + \beta) + \sin(-\alpha) \sin(-\beta) $ с использованием формулы косинуса суммы и свойства нечетности синуса приводит к выражению $ (\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta) + \sin\alpha \sin\beta = \cos\alpha \cos\beta $, которое равно правой части.

19.1 Представив $105^\circ$ как сумму $60^\circ + 45^\circ$, вычислите:

a) $\sin 105^\circ$;

б) $\cos 105^\circ$.

a) sin 105°
Для вычисления $\sin 105°$ представим угол $105°$ в виде суммы двух известных углов, как указано в условии: $105° = 60° + 45°$.
Воспользуемся формулой синуса суммы двух углов:
$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$
Подставим в формулу $\alpha = 60°$ и $\beta = 45°$:
$\sin(105°) = \sin(60° + 45°) = \sin 60° \cos 45° + \cos 60° \sin 45°$
Значения тригонометрических функций для этих углов являются табличными:
$\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos 60° = \frac{1}{2}$
$\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Подставим эти значения в выражение:
$\sin 105° = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$
Ответ: $\sin 105° = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

б) cos 105°
Аналогично, для вычисления $\cos 105°$ используем представление $105° = 60° + 45°$.
Воспользуемся формулой косинуса суммы двух углов:
$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$
Подставим в формулу $\alpha = 60°$ и $\beta = 45°$:
$\cos(105°) = \cos(60° + 45°) = \cos 60° \cos 45° - \sin 60° \sin 45°$
Используем те же табличные значения тригонометрических функций:
$\cos 105° = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$
Ответ: $\cos 105° = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$.

Упростите выражение:

19.2 a) $\sin(\alpha + \beta) - \sin\alpha \cos\beta$;

б) $\sin\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) - \frac{1}{2}\sin\alpha$;

в) $\sin\alpha \sin\beta + \cos(\alpha + \beta)$;

г) $\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha$.

а) Для упрощения выражения $\sin(\alpha + \beta) - \sin\alpha \cos\beta$ воспользуемся формулой синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$.
Подставим эту формулу в исходное выражение:
$\sin(\alpha + \beta) - \sin\alpha \cos\beta = (\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta) - \sin\alpha \cos\beta$.
Приведем подобные слагаемые:
$\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta - \sin\alpha \cos\beta = \cos\alpha \sin\beta$.
Ответ: $\cos\alpha \sin\beta$.

б) Для упрощения выражения $\sin\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) - \frac{1}{2}\sin\alpha$ используем формулу синуса суммы $\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$.
В нашем случае $x = \frac{\pi}{3}$ и $y = \alpha$.
$\sin\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \sin\frac{\pi}{3}\cos\alpha + \cos\frac{\pi}{3}\sin\alpha$.
Мы знаем, что $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$. Подставим эти значения:
$\sin\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha + \frac{1}{2}\sin\alpha$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha + \frac{1}{2}\sin\alpha\right) - \frac{1}{2}\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha$.

в) Для упрощения выражения $\sin\alpha \sin\beta + \cos(\alpha + \beta)$ воспользуемся формулой косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$.
Подставим эту формулу в исходное выражение:
$\sin\alpha \sin\beta + (\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta)$.
Приведем подобные слагаемые:
$\sin\alpha \sin\beta + \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta = \cos\alpha \cos\beta$.
Ответ: $\cos\alpha \cos\beta$.

г) Для упрощения выражения $\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha$ используем формулу косинуса суммы $\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$.
В нашем случае $x = \alpha$ и $y = \frac{\pi}{4}$.
$\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = \cos\alpha \cos\frac{\pi}{4} - \sin\alpha \sin\frac{\pi}{4}$.
Мы знаем, что $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим эти значения:
$\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = \cos\alpha \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin\alpha \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha\right) + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha$.

19.3 a) $ \sin \left(\frac{5\pi}{6} - \alpha\right) - \frac{1}{2} \cos \alpha;$

б) $ \sqrt{3} \cos \alpha - 2 \cos\left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right);$

в) $ \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha + \cos\left(\alpha - \frac{5\pi}{3}\right);$

г) $ \sqrt{2} \sin\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) - \sin \alpha.$

а) Для упрощения выражения $ \sin(\frac{5\pi}{6} - \alpha) - \frac{1}{2}\cos\alpha $ используем формулу синуса разности: $ \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $.

Применив формулу, получаем:

$ \sin(\frac{5\pi}{6} - \alpha) = \sin\frac{5\pi}{6}\cos\alpha - \cos\frac{5\pi}{6}\sin\alpha $.

Найдем значения тригонометрических функций для угла $ \frac{5\pi}{6} $:

$ \sin\frac{5\pi}{6} = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $

$ \cos\frac{5\pi}{6} = \cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\cos\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $

Подставим эти значения в исходное выражение:

$ (\frac{1}{2}\cos\alpha - (-\frac{\sqrt{3}}{2})\sin\alpha) - \frac{1}{2}\cos\alpha = \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha - \frac{1}{2}\cos\alpha $.

После приведения подобных слагаемых $ \frac{1}{2}\cos\alpha $ и $ -\frac{1}{2}\cos\alpha $ взаимно уничтожаются:

$ \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha $

б) Упростим выражение $ \sqrt{3}\cos\alpha - 2\cos(\alpha - \frac{\pi}{6}) $.

Применим формулу косинуса разности: $ \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $.

$ \cos(\alpha - \frac{\pi}{6}) = \cos\alpha\cos\frac{\pi}{6} + \sin\alpha\sin\frac{\pi}{6} $.

Значения тригонометрических функций для $ \frac{\pi}{6} $: $ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $.

Подставляем в выражение для косинуса разности:

$ \cos(\alpha - \frac{\pi}{6}) = \cos\alpha \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin\alpha \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha + \frac{1}{2}\sin\alpha $.

Теперь подставляем это в исходное выражение и раскрываем скобки:

$ \sqrt{3}\cos\alpha - 2(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha + \frac{1}{2}\sin\alpha) = \sqrt{3}\cos\alpha - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha - 2 \cdot \frac{1}{2}\sin\alpha $.

Упрощаем:

$ \sqrt{3}\cos\alpha - \sqrt{3}\cos\alpha - \sin\alpha = -\sin\alpha $.

Ответ: $ -\sin\alpha $

в) Упростим выражение $ \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha + \cos(\alpha - \frac{5\pi}{3}) $.

Используем формулу косинуса разности: $ \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $.

$ \cos(\alpha - \frac{5\pi}{3}) = \cos\alpha\cos\frac{5\pi}{3} + \sin\alpha\sin\frac{5\pi}{3} $.

Вычислим значения для угла $ \frac{5\pi}{3} $:

$ \cos\frac{5\pi}{3} = \cos(2\pi - \frac{\pi}{3}) = \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $.

$ \sin\frac{5\pi}{3} = \sin(2\pi - \frac{\pi}{3}) = -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

Подставляем эти значения:

$ \cos(\alpha - \frac{5\pi}{3}) = \cos\alpha \cdot \frac{1}{2} + \sin\alpha \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha $.

Подставляем полученное выражение в исходное:

$ \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha + (\frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha + \frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha $.

После сокращения взаимно противоположных слагаемых $ \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha $ и $ -\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha $ получаем:

$ \frac{1}{2}\cos\alpha $.

Ответ: $ \frac{1}{2}\cos\alpha $

г) Упростим выражение $ \sqrt{2}\sin(\alpha - \frac{\pi}{4}) - \sin\alpha $.

Воспользуемся формулой синуса разности: $ \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $.

$ \sin(\alpha - \frac{\pi}{4}) = \sin\alpha\cos\frac{\pi}{4} - \cos\alpha\sin\frac{\pi}{4} $.

Мы знаем, что $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Подставляем эти значения:

$ \sin(\alpha - \frac{\pi}{4}) = \sin\alpha \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos\alpha \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin\alpha - \cos\alpha) $.

Теперь подставляем это в исходное выражение и раскрываем скобки:

$ \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin\alpha - \cos\alpha) - \sin\alpha = \frac{2}{2}(\sin\alpha - \cos\alpha) - \sin\alpha $.

Упрощаем:

$ 1 \cdot (\sin\alpha - \cos\alpha) - \sin\alpha = \sin\alpha - \cos\alpha - \sin\alpha $.

После приведения подобных слагаемых остается:

$ -\cos\alpha $.

Ответ: $ -\cos\alpha $

19.4 a) $\cos(\alpha - \beta) - \cos \alpha \cos \beta$;

б) $\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)$;

В) $\sin \alpha \cos \beta - \sin(\alpha - \beta)$;

Г) $\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)$.

а) Для упрощения выражения $cos(\alpha - \beta) - cos\alpha cos\beta$ воспользуемся формулой косинуса разности двух углов: $cos(\alpha - \beta) = cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta$.
Подставим эту формулу в исходное выражение:
$(cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta) - cos\alpha cos\beta$
Теперь выполним вычитание. Слагаемые $cos\alpha cos\beta$ и $-cos\alpha cos\beta$ взаимно уничтожаются:
$cos\alpha cos\beta - cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta = sin\alpha sin\beta$
Ответ: $sin\alpha sin\beta$

б) Для упрощения выражения $sin(\alpha + \beta) + sin(\alpha - \beta)$ воспользуемся формулами синуса суммы и синуса разности:
$sin(\alpha + \beta) = sin\alpha cos\beta + cos\alpha sin\beta$
$sin(\alpha - \beta) = sin\alpha cos\beta - cos\alpha sin\beta$
Подставим эти формулы в исходное выражение:
$(sin\alpha cos\beta + cos\alpha sin\beta) + (sin\alpha cos\beta - cos\alpha sin\beta)$
Сгруппируем подобные слагаемые. Слагаемые $cos\alpha sin\beta$ и $-cos\alpha sin\beta$ взаимно уничтожаются:
$sin\alpha cos\beta + sin\alpha cos\beta = 2sin\alpha cos\beta$
Ответ: $2sin\alpha cos\beta$

в) Для упрощения выражения $sin\alpha cos\beta - sin(\alpha - \beta)$ применим формулу синуса разности: $sin(\alpha - \beta) = sin\alpha cos\beta - cos\alpha sin\beta$.
Подставим эту формулу в исходное выражение:
$sin\alpha cos\beta - (sin\alpha cos\beta - cos\alpha sin\beta)$
Раскроем скобки, обращая внимание на знак "минус" перед ними:
$sin\alpha cos\beta - sin\alpha cos\beta + cos\alpha sin\beta$
Слагаемые $sin\alpha cos\beta$ и $-sin\alpha cos\beta$ взаимно уничтожаются:
$cos\alpha sin\beta$
Ответ: $cos\alpha sin\beta$

г) Для упрощения выражения $cos(\alpha - \beta) - cos(\alpha + \beta)$ используем формулы косинуса разности и косинуса суммы:
$cos(\alpha - \beta) = cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta$
$cos(\alpha + \beta) = cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta$
Подставим эти формулы в исходное выражение:
$(cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta) - (cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta)$
Раскроем скобки:
$cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta - cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta$
Сгруппируем подобные слагаемые. Слагаемые $cos\alpha cos\beta$ и $-cos\alpha cos\beta$ взаимно уничтожаются:
$sin\alpha sin\beta + sin\alpha sin\beta = 2sin\alpha sin\beta$
Ответ: $2sin\alpha sin\beta$