Страница 66, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Докажите тождество:

21.6 a) $\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = \frac{1}{2} \sin x;$

б) $\cos^2 \frac{x}{4} - \sin^2 \frac{x}{4} = \cos \frac{x}{2};$

в) $\sin 2x \cos 2x = \frac{1}{2} \sin 4x;$

г) $\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2} = \cos x.$

а) Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть, используя формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.
Из этой формулы следует, что $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.
В нашем случае, пусть $\alpha = \frac{x}{2}$. Подставим это значение в формулу:
$\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} = \frac{1}{2}\sin\left(2 \cdot \frac{x}{2}\right) = \frac{1}{2}\sin x$.
Таким образом, мы показали, что левая часть тождества равна правой: $\frac{1}{2}\sin x = \frac{1}{2}\sin x$.
Ответ: тождество доказано.

б) Для доказательства данного тождества используем формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.
В левой части тождества мы видим выражение, соответствующее этой формуле.
Пусть $\alpha = \frac{x}{4}$. Подставим это значение в формулу:
$\cos^2\frac{x}{4} - \sin^2\frac{x}{4} = \cos\left(2 \cdot \frac{x}{4}\right) = \cos\left(\frac{x}{2}\right)$.
Левая часть тождества равна правой: $\cos\frac{x}{2} = \cos\frac{x}{2}$.
Ответ: тождество доказано.

в) Для доказательства этого тождества снова воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, из которой следует, что $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.
Рассмотрим левую часть тождества: $\sin 2x \cos 2x$.
Пусть $\alpha = 2x$. Подставим это значение в преобразованную формулу:
$\sin 2x \cos 2x = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 2x) = \frac{1}{2}\sin 4x$.
Мы получили, что левая часть тождества равна правой: $\frac{1}{2}\sin 4x = \frac{1}{2}\sin 4x$.
Ответ: тождество доказано.

г) Для доказательства этого тождества снова воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.
Левая часть тождества имеет вид $\cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2}$.
Пусть $\alpha = \frac{x}{2}$. Подставим это значение в формулу:
$\cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2} = \cos\left(2 \cdot \frac{x}{2}\right) = \cos x$.
Левая часть тождества равна правой: $\cos x = \cos x$.
Ответ: тождество доказано.

21.11 а) Дано: $\cos t = \frac{3}{4}$, $0 < t < \frac{\pi}{2}$.

Вычислите: $\cos \frac{t}{2}$; $\sin \frac{t}{2}$; $\text{tg} \frac{t}{2}$; $\text{ctg} \frac{t}{2}$.

б) Дано: $\text{ctg} t = -\frac{3}{4}$, $\pi < t < \frac{3\pi}{2}$.

Вычислите: $\cos \frac{t}{2}$; $\sin \frac{t}{2}$; $\text{tg} \frac{t}{2}$; $\text{ctg} \frac{t}{2}$.

Дано: $ \cos t = \frac{3}{4} $, $ 0 < t < \frac{\pi}{2} $. Для нахождения тригонометрических функций половинного угла $ \frac{t}{2} $ воспользуемся формулами понижения степени (формулами половинного угла): $ \cos^2 \frac{t}{2} = \frac{1 + \cos t}{2} $ и $ \sin^2 \frac{t}{2} = \frac{1 - \cos t}{2} $.

Сначала определим, в какой четверти находится угол $ \frac{t}{2} $. Из условия $ 0 < t < \frac{\pi}{2} $ следует, что $ \frac{0}{2} < \frac{t}{2} < \frac{\pi/2}{2} $, то есть $ 0 < \frac{t}{2} < \frac{\pi}{4} $. Это первая четверть, где значения всех тригонометрических функций (синус, косинус, тангенс и котангенс) положительны.

1. Вычислим $ \cos \frac{t}{2} $. $ \cos^2 \frac{t}{2} = \frac{1 + \cos t}{2} = \frac{1 + \frac{3}{4}}{2} = \frac{\frac{7}{4}}{2} = \frac{7}{8} $. Так как $ \frac{t}{2} $ находится в первой четверти, $ \cos \frac{t}{2} > 0 $. Следовательно: $ \cos \frac{t}{2} = \sqrt{\frac{7}{8}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}}{4} $.

2. Вычислим $ \sin \frac{t}{2} $. $ \sin^2 \frac{t}{2} = \frac{1 - \cos t}{2} = \frac{1 - \frac{3}{4}}{2} = \frac{\frac{1}{4}}{2} = \frac{1}{8} $. Так как $ \frac{t}{2} $ находится в первой четверти, $ \sin \frac{t}{2} > 0 $. Следовательно: $ \sin \frac{t}{2} = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} $.

3. Вычислим $ \operatorname{tg} \frac{t}{2} $. $ \operatorname{tg} \frac{t}{2} = \frac{\sin \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{14}}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{14}} = \sqrt{\frac{2}{14}} = \sqrt{\frac{1}{7}} = \frac{1}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{7} $.

4. Вычислим $ \operatorname{ctg} \frac{t}{2} $. $ \operatorname{ctg} \frac{t}{2} = \frac{\cos \frac{t}{2}}{\sin \frac{t}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{14}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{14}{2}} = \sqrt{7} $.

Ответ: $ \cos \frac{t}{2} = \frac{\sqrt{14}}{4} $, $ \sin \frac{t}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} $, $ \operatorname{tg} \frac{t}{2} = \frac{\sqrt{7}}{7} $, $ \operatorname{ctg} \frac{t}{2} = \sqrt{7} $.

Дано: $ \operatorname{ctg} t = \frac{3}{4} $, $ \pi < t < \frac{3\pi}{2} $. Для использования формул половинного угла нам необходимо найти значение $ \cos t $.

Угол $ t $ находится в третьей четверти ($ \pi < t < \frac{3\pi}{2} $), где и синус, и косинус отрицательны. Воспользуемся тождеством $ 1 + \operatorname{ctg}^2 t = \frac{1}{\sin^2 t} $. $ \frac{1}{\sin^2 t} = 1 + \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 1 + \frac{9}{16} = \frac{16+9}{16} = \frac{25}{16} $. Отсюда $ \sin^2 t = \frac{16}{25} $. Так как $ t $ в третьей четверти, $ \sin t < 0 $, поэтому $ \sin t = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5} $.

Теперь найдем $ \cos t $ из определения котангенса $ \operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t} $: $ \cos t = \sin t \cdot \operatorname{ctg} t = \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \frac{3}{4} = -\frac{3}{5} $.

Теперь определим четверть для угла $ \frac{t}{2} $. Из условия $ \pi < t < \frac{3\pi}{2} $ следует, что $ \frac{\pi}{2} < \frac{t}{2} < \frac{3\pi}{4} $. Это вторая четверть. Во второй четверти синус положителен, а косинус, тангенс и котангенс отрицательны.

1. Вычислим $ \cos \frac{t}{2} $. $ \cos^2 \frac{t}{2} = \frac{1 + \cos t}{2} = \frac{1 + (-\frac{3}{5})}{2} = \frac{1 - \frac{3}{5}}{2} = \frac{\frac{2}{5}}{2} = \frac{1}{5} $. Так как $ \frac{t}{2} $ во второй четверти, $ \cos \frac{t}{2} < 0 $. Следовательно: $ \cos \frac{t}{2} = -\sqrt{\frac{1}{5}} = -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5} $.

2. Вычислим $ \sin \frac{t}{2} $. $ \sin^2 \frac{t}{2} = \frac{1 - \cos t}{2} = \frac{1 - (-\frac{3}{5})}{2} = \frac{1 + \frac{3}{5}}{2} = \frac{\frac{8}{5}}{2} = \frac{4}{5} $. Так как $ \frac{t}{2} $ во второй четверти, $ \sin \frac{t}{2} > 0 $. Следовательно: $ \sin \frac{t}{2} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} $.

3. Вычислим $ \operatorname{tg} \frac{t}{2} $. $ \operatorname{tg} \frac{t}{2} = \frac{\sin \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2}} = \frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{-\frac{\sqrt{5}}{5}} = -2 $.

4. Вычислим $ \operatorname{ctg} \frac{t}{2} $. $ \operatorname{ctg} \frac{t}{2} = \frac{1}{\operatorname{tg} \frac{t}{2}} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2} $.

Ответ: $ \cos \frac{t}{2} = -\frac{\sqrt{5}}{5} $, $ \sin \frac{t}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{5} $, $ \operatorname{tg} \frac{t}{2} = -2 $, $ \operatorname{ctg} \frac{t}{2} = -\frac{1}{2} $.

21.7 a) $\cos(2\alpha + 2\beta) = \cos^2(\alpha + \beta) - \sin^2(\alpha + \beta);$

б) $\sin(2\alpha + 2\beta) = 2\sin(\alpha + \beta) \cos(\alpha + \beta).$

a) Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть.

В выражении $cos(2\alpha + 2\beta)$ вынесем общий множитель 2 за скобки в аргументе функции:

$cos(2\alpha + 2\beta) = cos(2(\alpha + \beta))$

Далее применим формулу косинуса двойного угла: $cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)$.

В данном случае, переменная $x$ соответствует выражению $(\alpha + \beta)$. Подставим его в формулу:

$cos(2(\alpha + \beta)) = cos^2(\alpha + \beta) - sin^2(\alpha + \beta)$

Полученное выражение полностью совпадает с правой частью исходного равенства. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

б) Докажем второе тождество, также преобразовав его левую часть.

В выражении $sin(2\alpha + 2\beta)$ вынесем общий множитель 2 за скобки в аргументе функции:

$sin(2\alpha + 2\beta) = sin(2(\alpha + \beta))$

Теперь применим формулу синуса двойного угла: $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$.

В нашем случае, переменная $x$ соответствует выражению $(\alpha + \beta)$. Подставим его в формулу:

$sin(2(\alpha + \beta)) = 2sin(\alpha + \beta)cos(\alpha + \beta)$

Результат преобразования левой части совпадает с правой частью исходного равенства, что и требовалось доказать.

Ответ: тождество доказано.

21.8 а) $tg (2\alpha + 2\beta) = \frac{2 tg (\alpha + \beta)}{1 - tg^2 (\alpha + \beta)};$

б) $tg (\alpha + \beta) = \frac{2 tg \left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}\right)}{1 - tg^2 \left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}\right)}.$

а)

Для доказательства данного тождества необходимо использовать формулу тангенса двойного угла, которая имеет вид: $tg(2x) = \frac{2tg(x)}{1 - tg^2(x)}$.

Рассмотрим левую часть исходного равенства: $tg(2\alpha + 2\beta)$.

Вынесем общий множитель 2 за скобки в аргументе тангенса:

$tg(2\alpha + 2\beta) = tg(2(\alpha + \beta))$

Теперь мы можем применить формулу тангенса двойного угла, приняв за $x$ выражение $(\alpha + \beta)$.

Подставляем $x = \alpha + \beta$ в формулу $tg(2x)$:

$tg(2(\alpha + \beta)) = \frac{2tg(\alpha + \beta)}{1 - tg^2(\alpha + \beta)}$

Таким образом, мы преобразовали левую часть равенства к виду правой части, что и доказывает истинность тождества.

Ответ: $tg(2\alpha + 2\beta) = \frac{2tg(\alpha + \beta)}{1 - tg^2(\alpha + \beta)}$.

б)

Данное тождество также доказывается с помощью формулы тангенса двойного угла: $tg(2x) = \frac{2tg(x)}{1 - tg^2(x)}$.

Рассмотрим левую часть исходного равенства: $tg(\alpha + \beta)$.

Чтобы применить формулу двойного угла, представим аргумент $(\alpha + \beta)$ как удвоенный угол. Для этого умножим и разделим его на 2:

$tg(\alpha + \beta) = tg\left(2 \cdot \frac{\alpha + \beta}{2}\right)$

Аргумент можно записать в виде суммы: $tg\left(2 \left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}\right)\right)$.

Теперь применим формулу тангенса двойного угла, где в качестве $x$ выступает выражение $\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}\right)$.

Подставляем $x = \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}$ в формулу $tg(2x)$:

$tg\left(2 \left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}\right)\right) = \frac{2tg\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}\right)}{1 - tg^2\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}\right)}$

Мы преобразовали левую часть равенства к виду правой, следовательно, тождество доказано.

Ответ: $tg(\alpha + \beta) = \frac{2tg\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}\right)}{1 - tg^2\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}\right)}$.

21.9 Известно, что $\sin t = \frac{5}{13}$, $\frac{\pi}{2} < t < \pi$. Найдите:

а) $\sin 2t$;

б) $\cos 2t$;

в) $\operatorname{tg} 2t$;

г) $\operatorname{ctg} 2t$.

По условию задачи, угол $t$ находится в интервале $ \frac{\pi}{2} < t < \pi $, что соответствует второй координатной четверти. В этой четверти синус положителен, а косинус отрицателен.

Нам известно значение синуса: $ \sin t = \frac{5}{13} $. Чтобы найти значения тригонометрических функций двойного угла, нам также понадобится значение косинуса.

Найдем $ \cos t $ с помощью основного тригонометрического тождества: $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $.

$ \cos^2 t = 1 - \sin^2 t = 1 - (\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169} $.

Поскольку угол $t$ находится во второй четверти, $ \cos t $ должен быть отрицательным. Следовательно,

$ \cos t = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13} $.

Теперь мы можем найти требуемые значения.

а) sin2t;

Используем формулу синуса двойного угла: $ \sin 2t = 2 \sin t \cos t $.

Подставляем известные значения $ \sin t $ и $ \cos t $:

$ \sin 2t = 2 \cdot (\frac{5}{13}) \cdot (-\frac{12}{13}) = -\frac{2 \cdot 5 \cdot 12}{13 \cdot 13} = -\frac{120}{169} $.

Ответ: $ -\frac{120}{169} $

б) cos2t;

Используем формулу косинуса двойного угла. Удобнее всего использовать формулу, зависящую только от синуса, значение которого дано в условии: $ \cos 2t = 1 - 2 \sin^2 t $.

Подставляем значение $ \sin t $:

$ \cos 2t = 1 - 2 \cdot (\frac{5}{13})^2 = 1 - 2 \cdot \frac{25}{169} = 1 - \frac{50}{169} = \frac{169 - 50}{169} = \frac{119}{169} $.

Для проверки можно использовать другую формулу: $ \cos 2t = \cos^2 t - \sin^2 t $.

$ \cos 2t = (-\frac{12}{13})^2 - (\frac{5}{13})^2 = \frac{144}{169} - \frac{25}{169} = \frac{119}{169} $.

Результаты совпадают.

Ответ: $ \frac{119}{169} $

в) tg2t;

Тангенс угла определяется как отношение синуса к косинусу: $ \text{tg} \, 2t = \frac{\sin 2t}{\cos 2t} $.

Подставляем значения, найденные в пунктах а) и б):

$ \text{tg} \, 2t = \frac{-120/169}{119/169} = -\frac{120}{119} $.

Ответ: $ -\frac{120}{119} $

г) ctg2t.

Котангенс - это величина, обратная тангенсу: $ \text{ctg} \, 2t = \frac{1}{\text{tg} \, 2t} $. Также его можно найти по формуле $ \text{ctg} \, 2t = \frac{\cos 2t}{\sin 2t} $.

Используя значение из пункта в):

$ \text{ctg} \, 2t = \frac{1}{-120/119} = -\frac{119}{120} $.

Ответ: $ -\frac{119}{120} $

21.5 a) $\frac{\text{tg} \frac{\pi}{8}}{1 - \text{tg}^2 \frac{\pi}{8}};$

б) $\frac{\text{tg} 75^\circ}{1 - \text{tg}^2 75^\circ}.$

а) Для решения данного примера воспользуемся формулой тангенса двойного угла:

$$ \tg(2\alpha) = \frac{2 \tg \alpha}{1 - \tg^2 \alpha} $$

Заметим, что данное в задаче выражение $\frac{\tg \frac{\pi}{8}}{1 - \tg^2 \frac{\pi}{8}}$ очень похоже на правую часть формулы. Мы можем преобразовать формулу, разделив обе части на 2:

$$ \frac{1}{2} \tg(2\alpha) = \frac{\tg \alpha}{1 - \tg^2 \alpha} $$

В нашем случае угол $\alpha = \frac{\pi}{8}$. Подставим это значение в преобразованную формулу:

$$ \frac{\tg \frac{\pi}{8}}{1 - \tg^2 \frac{\pi}{8}} = \frac{1}{2} \tg(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = \frac{1}{2} \tg(\frac{2\pi}{8}) = \frac{1}{2} \tg(\frac{\pi}{4}) $$

Значение тангенса угла $\frac{\pi}{4}$ (или $45^\circ$) является табличным и равно 1:

$$ \tg(\frac{\pi}{4}) = 1 $$

Подставим это значение в наше выражение:

$$ \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} $$

Ответ: $\frac{1}{2}$

б) Данный пример решается аналогично предыдущему. Используем ту же зависимость, выведенную из формулы тангенса двойного угла:

$$ \frac{\tg \alpha}{1 - \tg^2 \alpha} = \frac{1}{2} \tg(2\alpha) $$

В выражении $\frac{\tg 75^\circ}{1 - \tg^2 75^\circ}$ угол $\alpha = 75^\circ$. Подставим это значение в формулу:

$$ \frac{\tg 75^\circ}{1 - \tg^2 75^\circ} = \frac{1}{2} \tg(2 \cdot 75^\circ) = \frac{1}{2} \tg(150^\circ) $$

Теперь найдем значение $\tg(150^\circ)$. Угол $150^\circ$ находится во второй координатной четверти. Воспользуемся формулой приведения $\tg(180^\circ - x) = -\tg(x)$:

$$ \tg(150^\circ) = \tg(180^\circ - 30^\circ) = -\tg(30^\circ) $$

Значение $\tg(30^\circ)$ является табличным:

$$ \tg(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3} $$

Следовательно:

$$ \tg(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3} $$

Подставим найденное значение обратно в наше выражение:

$$ \frac{1}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{6} $$

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{6}$

21.10 Известно, что $ \cos x = 0,8 $, $ 0 < x < \frac{\pi}{2} $. Найдите:

а) $ \sin 2x $;

б) $ \cos 2x $;

в) $ \operatorname{tg} 2x $;

г) $ \operatorname{ctg} 2x $.

Поскольку нам известно, что $ \cos x = 0,8 $ и угол $ x $ находится в интервале $ 0 < x < \frac{\pi}{2} $ (первая четверть), то значение $ \sin x $ будет положительным. Найдем $ \sin x $ с помощью основного тригонометрического тождества $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $:
$ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - (0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36 $
$ \sin x = \sqrt{0,36} = 0,6 $.

а) sin 2x;
Для нахождения $ \sin 2x $ воспользуемся формулой синуса двойного угла: $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $.
Подставляя известные значения, получаем:
$ \sin 2x = 2 \cdot 0,6 \cdot 0,8 = 0,96 $.
Ответ: $ 0,96 $

б) cos 2x;
Для нахождения $ \cos 2x $ воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $ \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x $.
Подставляя известные значения, получаем:
$ \cos 2x = (0,8)^2 - (0,6)^2 = 0,64 - 0,36 = 0,28 $.
Ответ: $ 0,28 $

в) tg 2x;
Для нахождения $ \tg 2x $ воспользуемся определением тангенса: $ \tg 2x = \frac{\sin 2x}{\cos 2x} $.
Подставляя значения, найденные в пунктах а) и б), получаем:
$ \tg 2x = \frac{0,96}{0,28} = \frac{96}{28} = \frac{24}{7} $.
Ответ: $ \frac{24}{7} $

г) ctg 2x.
Для нахождения $ \ctg 2x $ воспользуемся определением котангенса: $ \ctg 2x = \frac{1}{\tg 2x} $.
Подставляя значение, найденное в пункте в), получаем:
$ \ctg 2x = \frac{1}{\frac{24}{7}} = \frac{7}{24} $.
Ответ: $ \frac{7}{24} $