Страница 72, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

22.5 a) $\sin 3t - \sin t;$

Б) $\cos(\alpha - 2\beta) - \cos(\alpha + 2\beta);$

В) $\cos 6t + \cos 4t;$

Г) $\sin(\alpha - 2\beta) - \sin(\alpha + 2\beta).$

а)

Для преобразования разности синусов в произведение используем формулу разности синусов:

$\sin x - \sin y = 2 \sin\frac{x-y}{2} \cos\frac{x+y}{2}$

В нашем случае $x = 3t$ и $y = t$.

Подставляем значения в формулу:

$\sin 3t - \sin t = 2 \sin\frac{3t-t}{2} \cos\frac{3t+t}{2} = 2 \sin\frac{2t}{2} \cos\frac{4t}{2} = 2 \sin t \cos 2t$.

Ответ: $2 \sin t \cos 2t$.

б)

Для преобразования разности косинусов в произведение используем формулу разности косинусов:

$\cos x - \cos y = -2 \sin\frac{x+y}{2} \sin\frac{x-y}{2}$

В данном примере $x = \alpha - 2\beta$ и $y = \alpha + 2\beta$.

Вычислим полусумму и полуразность аргументов:

$\frac{x+y}{2} = \frac{(\alpha - 2\beta) + (\alpha + 2\beta)}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha$

$\frac{x-y}{2} = \frac{(\alpha - 2\beta) - (\alpha + 2\beta)}{2} = \frac{\alpha - 2\beta - \alpha - 2\beta}{2} = \frac{-4\beta}{2} = -2\beta$

Подставляем полученные значения в формулу:

$\cos(\alpha - 2\beta) - \cos(\alpha + 2\beta) = -2 \sin(\alpha) \sin(-2\beta)$.

Используя свойство нечетности синуса $\sin(-z) = -\sin z$, получаем:

$-2 \sin(\alpha) (-\sin(2\beta)) = 2 \sin\alpha \sin 2\beta$.

Ответ: $2 \sin\alpha \sin 2\beta$.

в)

Для преобразования суммы косинусов в произведение используем формулу суммы косинусов:

$\cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$

Здесь $x = 6t$ и $y = 4t$.

Подставляем значения в формулу:

$\cos 6t + \cos 4t = 2 \cos\frac{6t+4t}{2} \cos\frac{6t-4t}{2} = 2 \cos\frac{10t}{2} \cos\frac{2t}{2} = 2 \cos 5t \cos t$.

Ответ: $2 \cos 5t \cos t$.

г)

Для преобразования разности синусов в произведение используем формулу разности синусов:

$\sin x - \sin y = 2 \sin\frac{x-y}{2} \cos\frac{x+y}{2}$

В этом случае $x = \alpha - 2\beta$ и $y = \alpha + 2\beta$.

Вычислим полусумму и полуразность аргументов:

$\frac{x-y}{2} = \frac{(\alpha - 2\beta) - (\alpha + 2\beta)}{2} = \frac{\alpha - 2\beta - \alpha - 2\beta}{2} = \frac{-4\beta}{2} = -2\beta$

$\frac{x+y}{2} = \frac{(\alpha - 2\beta) + (\alpha + 2\beta)}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha$

Подставляем полученные значения в формулу:

$\sin(\alpha - 2\beta) - \sin(\alpha + 2\beta) = 2 \sin(-2\beta) \cos(\alpha)$.

Так как синус — функция нечетная, $\sin(-z) = -\sin z$, то:

$2 (-\sin(2\beta)) \cos(\alpha) = -2 \sin 2\beta \cos\alpha$.

Ответ: $-2 \sin 2\beta \cos\alpha$.

Представьте в виде произведения:

22.1 a) $\sin 40^\circ + \sin 16^\circ$;

б) $\sin 20^\circ - \sin 40^\circ$;

в) $\sin 10^\circ + \sin 50^\circ$;

г) $\sin 52^\circ - \sin 36^\circ$.

Для решения этой задачи используются формулы преобразования суммы и разности синусов в произведение (формулы преобразования суммы в произведение):

Сумма синусов: $ \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $

Разность синусов: $ \sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2} $

а) $ \sin40^\circ + \sin16^\circ $

Применяем формулу суммы синусов, где $ \alpha = 40^\circ $, а $ \beta = 16^\circ $:

$ \sin40^\circ + \sin16^\circ = 2\sin\frac{40^\circ+16^\circ}{2}\cos\frac{40^\circ-16^\circ}{2} = 2\sin\frac{56^\circ}{2}\cos\frac{24^\circ}{2} = 2\sin28^\circ\cos12^\circ $.

Ответ: $ 2\sin28^\circ\cos12^\circ $.

б) $ \sin20^\circ - \sin40^\circ $

Применяем формулу разности синусов, где $ \alpha = 20^\circ $, а $ \beta = 40^\circ $:

$ \sin20^\circ - \sin40^\circ = 2\sin\frac{20^\circ-40^\circ}{2}\cos\frac{20^\circ+40^\circ}{2} = 2\sin\frac{-20^\circ}{2}\cos\frac{60^\circ}{2} = 2\sin(-10^\circ)\cos30^\circ $.

Так как синус — нечетная функция ($ \sin(-x) = -\sin(x) $), а значение косинуса $ \cos30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $, то можем упростить выражение:

$ 2\sin(-10^\circ)\cos30^\circ = -2\sin10^\circ\cos30^\circ = -2\sin10^\circ \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}\sin10^\circ $.

Ответ: $ -\sqrt{3}\sin10^\circ $.

в) $ \sin10^\circ + \sin50^\circ $

Применяем формулу суммы синусов, где $ \alpha = 10^\circ $, а $ \beta = 50^\circ $:

$ \sin10^\circ + \sin50^\circ = 2\sin\frac{10^\circ+50^\circ}{2}\cos\frac{10^\circ-50^\circ}{2} = 2\sin\frac{60^\circ}{2}\cos\frac{-40^\circ}{2} = 2\sin30^\circ\cos(-20^\circ) $.

Так как косинус — четная функция ($ \cos(-x) = \cos(x) $), а значение синуса $ \sin30^\circ = \frac{1}{2} $, то можем упростить выражение:

$ 2\sin30^\circ\cos(-20^\circ) = 2\sin30^\circ\cos20^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos20^\circ = \cos20^\circ $.

Ответ: $ \cos20^\circ $.

г) $ \sin52^\circ - \sin36^\circ $

Применяем формулу разности синусов, где $ \alpha = 52^\circ $, а $ \beta = 36^\circ $:

$ \sin52^\circ - \sin36^\circ = 2\sin\frac{52^\circ-36^\circ}{2}\cos\frac{52^\circ+36^\circ}{2} = 2\sin\frac{16^\circ}{2}\cos\frac{88^\circ}{2} = 2\sin8^\circ\cos44^\circ $.

Ответ: $ 2\sin8^\circ\cos44^\circ $.

22.6 a) $tg 25^{\circ} + tg 35^{\circ}$;

б) $tg \frac{\pi}{5} - tg \frac{\pi}{10}$;

В) $tg 20^{\circ} + tg 40$;

Г) $tg \frac{\pi}{3} - tg \frac{\pi}{4}$.

а) tg 25° + tg 35°

Для преобразования суммы тангенсов воспользуемся формулой суммы тангенсов, которая выводится из формулы синуса суммы углов: $ \text{tg}\,\alpha + \text{tg}\,\beta = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta} = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos\alpha \cos\beta} $.
В данном случае $ \alpha = 25^\circ $ и $ \beta = 35^\circ $.
Подставим значения в формулу:
$ \text{tg}\,25^\circ + \text{tg}\,35^\circ = \frac{\sin(25^\circ + 35^\circ)}{\cos 25^\circ \cos 35^\circ} = \frac{\sin 60^\circ}{\cos 25^\circ \cos 35^\circ} $.
Мы знаем, что $ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Следовательно, выражение можно записать как:
$ \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\cos 25^\circ \cos 35^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2\cos 25^\circ \cos 35^\circ} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2\cos 25^\circ \cos 35^\circ} $.

б) $ \text{tg}\frac{\pi}{5} - \text{tg}\frac{\pi}{10} $

Для преобразования разности тангенсов воспользуемся формулой разности тангенсов, которая выводится из формулы синуса разности углов: $ \text{tg}\,\alpha - \text{tg}\,\beta = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta} = \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos\alpha \cos\beta} $.
В данном случае $ \alpha = \frac{\pi}{5} $ и $ \beta = \frac{\pi}{10} $.
Разность углов $ \alpha - \beta = \frac{\pi}{5} - \frac{\pi}{10} = \frac{2\pi - \pi}{10} = \frac{\pi}{10} $.
Подставим значения в формулу:
$ \text{tg}\frac{\pi}{5} - \text{tg}\frac{\pi}{10} = \frac{\sin(\frac{\pi}{5} - \frac{\pi}{10})}{\cos\frac{\pi}{5}\cos\frac{\pi}{10}} = \frac{\sin\frac{\pi}{10}}{\cos\frac{\pi}{5}\cos\frac{\pi}{10}} $.
Это выражение можно упростить, выделив тангенс:
$ \frac{\sin\frac{\pi}{10}}{\cos\frac{\pi}{10} \cdot \cos\frac{\pi}{5}} = \text{tg}\frac{\pi}{10} \cdot \frac{1}{\cos\frac{\pi}{5}} = \frac{\text{tg}\frac{\pi}{10}}{\cos\frac{\pi}{5}} $.
Ответ: $ \frac{\text{tg}\frac{\pi}{10}}{\cos\frac{\pi}{5}} $.

в) tg 20° + tg 40°

Используем ту же формулу для суммы тангенсов, что и в пункте а): $ \text{tg}\,\alpha + \text{tg}\,\beta = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos\alpha \cos\beta} $.
Здесь $ \alpha = 20^\circ $ и $ \beta = 40^\circ $.
Подставляем значения:
$ \text{tg}\,20^\circ + \text{tg}\,40^\circ = \frac{\sin(20^\circ + 40^\circ)}{\cos 20^\circ \cos 40^\circ} = \frac{\sin 60^\circ}{\cos 20^\circ \cos 40^\circ} $.
Поскольку $ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $, получаем:
$ \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\cos 20^\circ \cos 40^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2\cos 20^\circ \cos 40^\circ} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2\cos 20^\circ \cos 40^\circ} $.

г) $ \text{tg}\frac{\pi}{3} - \text{tg}\frac{\pi}{4} $

В данном случае нам нужно найти разность значений тангенсов для табличных углов.
Мы знаем, что $ \frac{\pi}{3} $ радиан соответствует $ 60^\circ $, а $ \frac{\pi}{4} $ радиан соответствует $ 45^\circ $.
Значения тангенсов для этих углов:
$ \text{tg}\frac{\pi}{3} = \text{tg}\,60^\circ = \sqrt{3} $.
$ \text{tg}\frac{\pi}{4} = \text{tg}\,45^\circ = 1 $.
Вычислим разность:
$ \text{tg}\frac{\pi}{3} - \text{tg}\frac{\pi}{4} = \sqrt{3} - 1 $.
Ответ: $ \sqrt{3} - 1 $.

22.2 a) $\cos 15^\circ + \cos 45^\circ$;

б) $\cos 46^\circ - \cos 74^\circ$;

В) $\cos 20^\circ + \cos 40^\circ$;

Г) $\cos 75^\circ - \cos 15^\circ$.

а) Для преобразования суммы косинусов в произведение используется формула суммы косинусов: $ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} $.
В нашем случае $ \alpha = 15^\circ $ и $ \beta = 45^\circ $.
$ \cos 15^\circ + \cos 45^\circ = 2 \cos\frac{15^\circ+45^\circ}{2} \cos\frac{15^\circ-45^\circ}{2} = 2 \cos\frac{60^\circ}{2} \cos\frac{-30^\circ}{2} = 2 \cos 30^\circ \cos(-15^\circ) $.
Так как косинус — четная функция, $ \cos(-15^\circ) = \cos 15^\circ $. Значение $ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Подставляем известные значения:
$ 2 \cos 30^\circ \cos 15^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos 15^\circ = \sqrt{3} \cos 15^\circ $.
Ответ: $ \sqrt{3} \cos 15^\circ $.

б) Для преобразования разности косинусов в произведение используется формула разности косинусов: $ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2} $.
В данном случае $ \alpha = 46^\circ $ и $ \beta = 74^\circ $.
$ \cos 46^\circ - \cos 74^\circ = -2 \sin\frac{46^\circ+74^\circ}{2} \sin\frac{46^\circ-74^\circ}{2} = -2 \sin\frac{120^\circ}{2} \sin\frac{-28^\circ}{2} = -2 \sin 60^\circ \sin(-14^\circ) $.
Так как синус — нечетная функция, $ \sin(-14^\circ) = -\sin 14^\circ $. Значение $ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Подставляем значения в выражение:
$ -2 \sin 60^\circ (-\sin 14^\circ) = 2 \sin 60^\circ \sin 14^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin 14^\circ = \sqrt{3} \sin 14^\circ $.
Ответ: $ \sqrt{3} \sin 14^\circ $.

в) Для преобразования суммы косинусов в произведение используется формула: $ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} $.
Здесь $ \alpha = 20^\circ $ и $ \beta = 40^\circ $.
$ \cos 20^\circ + \cos 40^\circ = 2 \cos\frac{20^\circ+40^\circ}{2} \cos\frac{20^\circ-40^\circ}{2} = 2 \cos\frac{60^\circ}{2} \cos\frac{-20^\circ}{2} = 2 \cos 30^\circ \cos(-10^\circ) $.
Используя свойство четности косинуса $ \cos(-10^\circ) = \cos 10^\circ $ и значение $ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $, получаем:
$ 2 \cos 30^\circ \cos 10^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos 10^\circ = \sqrt{3} \cos 10^\circ $.
Ответ: $ \sqrt{3} \cos 10^\circ $.

г) Для преобразования разности косинусов в произведение используется формула: $ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2} $.
В этом выражении $ \alpha = 75^\circ $ и $ \beta = 15^\circ $.
$ \cos 75^\circ - \cos 15^\circ = -2 \sin\frac{75^\circ+15^\circ}{2} \sin\frac{75^\circ-15^\circ}{2} = -2 \sin\frac{90^\circ}{2} \sin\frac{60^\circ}{2} = -2 \sin 45^\circ \sin 30^\circ $.
Мы знаем табличные значения синусов: $ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $.
Подставим эти значения в выражение:
$ -2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{2\sqrt{2}}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
Ответ: $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

22.7 Вычислите:

а) $ \frac{\cos 68^\circ - \cos 22^\circ}{\sin 68^\circ - \sin 22^\circ}; $

б) $ \frac{\sin 130^\circ + \sin 110^\circ}{\cos 130^\circ + \cos 110^\circ}. $

а)

Для решения этой задачи воспользуемся формулами преобразования разности тригонометрических функций в произведение (формулы суммы-произведения).

Формула разности косинусов: $ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha + \beta}{2} \sin\frac{\alpha - \beta}{2} $.

Формула разности синусов: $ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos\frac{\alpha + \beta}{2} \sin\frac{\alpha - \beta}{2} $.

Применим эти формулы к числителю и знаменателю исходной дроби, положив $ \alpha = 68^\circ $ и $ \beta = 22^\circ $.

Преобразуем числитель:

$ \cos 68^\circ - \cos 22^\circ = -2 \sin\frac{68^\circ + 22^\circ}{2} \sin\frac{68^\circ - 22^\circ}{2} = -2 \sin\frac{90^\circ}{2} \sin\frac{46^\circ}{2} = -2 \sin 45^\circ \sin 23^\circ $.

Преобразуем знаменатель:

$ \sin 68^\circ - \sin 22^\circ = 2 \cos\frac{68^\circ + 22^\circ}{2} \sin\frac{68^\circ - 22^\circ}{2} = 2 \cos\frac{90^\circ}{2} \sin\frac{46^\circ}{2} = 2 \cos 45^\circ \sin 23^\circ $.

Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь:

$ \frac{\cos 68^\circ - \cos 22^\circ}{\sin 68^\circ - \sin 22^\circ} = \frac{-2 \sin 45^\circ \sin 23^\circ}{2 \cos 45^\circ \sin 23^\circ} $.

Сократим общие множители $ 2 $ и $ \sin 23^\circ $ (так как $ \sin 23^\circ \ne 0 $):

$ \frac{-\sin 45^\circ}{\cos 45^\circ} = -\tan 45^\circ $.

Зная, что $ \tan 45^\circ = 1 $, получаем:

$ -\tan 45^\circ = -1 $.

Ответ: $ -1 $

б)

Для решения этой задачи воспользуемся формулами преобразования суммы тригонометрических функций в произведение.

Формула суммы синусов: $ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha + \beta}{2} \cos\frac{\alpha - \beta}{2} $.

Формула суммы косинусов: $ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha + \beta}{2} \cos\frac{\alpha - \beta}{2} $.

Применим эти формулы к числителю и знаменателю, положив $ \alpha = 130^\circ $ и $ \beta = 110^\circ $.

Преобразуем числитель:

$ \sin 130^\circ + \sin 110^\circ = 2 \sin\frac{130^\circ + 110^\circ}{2} \cos\frac{130^\circ - 110^\circ}{2} = 2 \sin\frac{240^\circ}{2} \cos\frac{20^\circ}{2} = 2 \sin 120^\circ \cos 10^\circ $.

Преобразуем знаменатель:

$ \cos 130^\circ + \cos 110^\circ = 2 \cos\frac{130^\circ + 110^\circ}{2} \cos\frac{130^\circ - 110^\circ}{2} = 2 \cos\frac{240^\circ}{2} \cos\frac{20^\circ}{2} = 2 \cos 120^\circ \cos 10^\circ $.

Подставим полученные выражения в дробь:

$ \frac{\sin 130^\circ + \sin 110^\circ}{\cos 130^\circ + \cos 110^\circ} = \frac{2 \sin 120^\circ \cos 10^\circ}{2 \cos 120^\circ \cos 10^\circ} $.

Сократим общие множители $ 2 $ и $ \cos 10^\circ $ (так как $ \cos 10^\circ \ne 0 $):

$ \frac{\sin 120^\circ}{\cos 120^\circ} = \tan 120^\circ $.

Чтобы найти значение $ \tan 120^\circ $, воспользуемся формулой приведения: $ \tan(180^\circ - \alpha) = -\tan \alpha $.

$ \tan 120^\circ = \tan(180^\circ - 60^\circ) = -\tan 60^\circ $.

Зная, что $ \tan 60^\circ = \sqrt{3} $, получаем:

$ -\tan 60^\circ = -\sqrt{3} $.

Ответ: $ -\sqrt{3} $

22.3 a) $sin(\frac{\pi}{5}) - sin(\frac{\pi}{10});$

б) $sin(\frac{\pi}{3}) + sin(\frac{\pi}{4});$

в) $sin(\frac{\pi}{6}) + sin(\frac{\pi}{7});$

г) $sin(\frac{\pi}{3}) - sin(\frac{\pi}{11}).$

а) Для преобразования разности синусов $\sin \frac{\pi}{5} - \sin \frac{\pi}{10}$ в произведение воспользуемся формулой разности синусов:
$\sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2}$
В данном выражении $\alpha = \frac{\pi}{5}$ и $\beta = \frac{\pi}{10}$.
Вычислим полуразность и полусумму аргументов:
$\frac{\alpha - \beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{5} - \frac{\pi}{10}}{2} = \frac{\frac{2\pi - \pi}{10}}{2} = \frac{\pi / 10}{2} = \frac{\pi}{20}$
$\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{5} + \frac{\pi}{10}}{2} = \frac{\frac{2\pi + \pi}{10}}{2} = \frac{3\pi / 10}{2} = \frac{3\pi}{20}$
Подставим найденные значения в формулу:
$\sin \frac{\pi}{5} - \sin \frac{\pi}{10} = 2 \sin \frac{\pi}{20} \cos \frac{3\pi}{20}$
Ответ: $2 \sin \frac{\pi}{20} \cos \frac{3\pi}{20}$

б) Для преобразования суммы синусов $\sin \frac{\pi}{3} + \sin \frac{\pi}{4}$ в произведение воспользуемся формулой суммы синусов:
$\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$
В данном выражении $\alpha = \frac{\pi}{3}$ и $\beta = \frac{\pi}{4}$.
Вычислим полусумму и полуразность аргументов:
$\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}}{2} = \frac{\frac{4\pi + 3\pi}{12}}{2} = \frac{7\pi / 12}{2} = \frac{7\pi}{24}$
$\frac{\alpha - \beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}}{2} = \frac{\frac{4\pi - 3\pi}{12}}{2} = \frac{\pi / 12}{2} = \frac{\pi}{24}$
Подставим найденные значения в формулу:
$\sin \frac{\pi}{3} + \sin \frac{\pi}{4} = 2 \sin \frac{7\pi}{24} \cos \frac{\pi}{24}$
Ответ: $2 \sin \frac{7\pi}{24} \cos \frac{\pi}{24}$

в) Для преобразования суммы синусов $\sin \frac{\pi}{6} + \sin \frac{\pi}{7}$ в произведение воспользуемся формулой суммы синусов:
$\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$
В данном выражении $\alpha = \frac{\pi}{6}$ и $\beta = \frac{\pi}{7}$.
Вычислим полусумму и полуразность аргументов:
$\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{7}}{2} = \frac{\frac{7\pi + 6\pi}{42}}{2} = \frac{13\pi / 42}{2} = \frac{13\pi}{84}$
$\frac{\alpha - \beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{7}}{2} = \frac{\frac{7\pi - 6\pi}{42}}{2} = \frac{\pi / 42}{2} = \frac{\pi}{84}$
Подставим найденные значения в формулу:
$\sin \frac{\pi}{6} + \sin \frac{\pi}{7} = 2 \sin \frac{13\pi}{84} \cos \frac{\pi}{84}$
Ответ: $2 \sin \frac{13\pi}{84} \cos \frac{\pi}{84}$

г) Для преобразования разности синусов $\sin \frac{\pi}{3} - \sin \frac{\pi}{11}$ в произведение воспользуемся формулой разности синусов:
$\sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2}$
В данном выражении $\alpha = \frac{\pi}{3}$ и $\beta = \frac{\pi}{11}$.
Вычислим полуразность и полусумму аргументов:
$\frac{\alpha - \beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{11}}{2} = \frac{\frac{11\pi - 3\pi}{33}}{2} = \frac{8\pi / 33}{2} = \frac{4\pi}{33}$
$\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{11}}{2} = \frac{\frac{11\pi + 3\pi}{33}}{2} = \frac{14\pi / 33}{2} = \frac{7\pi}{33}$
Подставим найденные значения в формулу:
$\sin \frac{\pi}{3} - \sin \frac{\pi}{11} = 2 \sin \frac{4\pi}{33} \cos \frac{7\pi}{33}$
Ответ: $2 \sin \frac{4\pi}{33} \cos \frac{7\pi}{33}$

22.8 Проверьте равенство:

а) $\sin 35^{\circ} + \sin 25^{\circ} = \cos 5^{\circ}$;

б) $\sin 40^{\circ} + \cos 70^{\circ} = \cos 10^{\circ}$;

в) $\cos 12^{\circ} - \cos 48^{\circ} = \sin 18^{\circ}$;

г) $\cos 20^{\circ} - \sin 50^{\circ} = \sin 10^{\circ}$.

а) Для проверки равенства $\sin 35^\circ + \sin 25^\circ = \cos 5^\circ$ преобразуем его левую часть, используя формулу суммы синусов: $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.
$\sin 35^\circ + \sin 25^\circ = 2 \sin\left(\frac{35^\circ+25^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{35^\circ-25^\circ}{2}\right) = 2 \sin\left(\frac{60^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{10^\circ}{2}\right) = 2 \sin 30^\circ \cos 5^\circ$.
Так как $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, то получаем:
$2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos 5^\circ = \cos 5^\circ$.
Мы получили, что левая часть равна правой ($\cos 5^\circ = \cos 5^\circ$), следовательно, равенство доказано.
Ответ: Равенство верно.

б) Для проверки равенства $\sin 40^\circ + \cos 70^\circ = \cos 10^\circ$ преобразуем его левую часть. Сначала воспользуемся формулой приведения $\cos \alpha = \sin(90^\circ - \alpha)$, чтобы привести выражение к сумме синусов.
$\cos 70^\circ = \sin(90^\circ - 70^\circ) = \sin 20^\circ$.
Теперь исходное выражение принимает вид: $\sin 40^\circ + \sin 20^\circ$.
Применим формулу суммы синусов: $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.
$\sin 40^\circ + \sin 20^\circ = 2 \sin\left(\frac{40^\circ+20^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{40^\circ-20^\circ}{2}\right) = 2 \sin\left(\frac{60^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{20^\circ}{2}\right) = 2 \sin 30^\circ \cos 10^\circ$.
Поскольку $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, получаем: $2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos 10^\circ = \cos 10^\circ$.
Левая часть равна правой ($\cos 10^\circ = \cos 10^\circ$), следовательно, равенство доказано.
Ответ: Равенство верно.

в) Для проверки равенства $\cos 12^\circ - \cos 48^\circ = \sin 18^\circ$ преобразуем его левую часть, используя формулу разности косинусов: $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.
$\cos 12^\circ - \cos 48^\circ = -2 \sin\left(\frac{12^\circ+48^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{12^\circ-48^\circ}{2}\right) = -2 \sin\left(\frac{60^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{-36^\circ}{2}\right) = -2 \sin 30^\circ \sin(-18^\circ)$.
Используя свойство нечетности синуса $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$ и значение $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, получаем:
$-2 \cdot \frac{1}{2} \cdot (-\sin 18^\circ) = -1 \cdot (-\sin 18^\circ) = \sin 18^\circ$.
Левая часть равна правой ($\sin 18^\circ = \sin 18^\circ$), следовательно, равенство доказано.
Ответ: Равенство верно.

г) Для проверки равенства $\cos 20^\circ - \sin 50^\circ = \sin 10^\circ$ преобразуем его левую часть. Воспользуемся формулой приведения $\sin \alpha = \cos(90^\circ - \alpha)$, чтобы привести выражение к разности косинусов.
$\sin 50^\circ = \cos(90^\circ - 50^\circ) = \cos 40^\circ$.
Теперь исходное выражение принимает вид: $\cos 20^\circ - \cos 40^\circ$.
Применим формулу разности косинусов: $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.
$\cos 20^\circ - \cos 40^\circ = -2 \sin\left(\frac{20^\circ+40^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{20^\circ-40^\circ}{2}\right) = -2 \sin\left(\frac{60^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{-20^\circ}{2}\right) = -2 \sin 30^\circ \sin(-10^\circ)$.
Используя свойство нечетности синуса $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$ и значение $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, получаем:
$-2 \cdot \frac{1}{2} \cdot (-\sin 10^\circ) = -1 \cdot (-\sin 10^\circ) = \sin 10^\circ$.
Левая часть равна правой ($\sin 10^\circ = \sin 10^\circ$), следовательно, равенство доказано.
Ответ: Равенство верно.

22.4 a) $\cos \frac{\pi}{10} - \cos \frac{\pi}{20};$

б) $\cos \frac{11\pi}{12} + \cos \frac{3\pi}{4};$

в) $\cos \frac{\pi}{5} - \cos \frac{\pi}{11};$

г) $\cos \frac{3\pi}{8} + \cos \frac{5\pi}{4}.$

а) Для преобразования разности косинусов в произведение воспользуемся формулой: $cos \alpha - cos \beta = -2 \sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$.

В нашем случае $\alpha = \frac{\pi}{10}$ и $\beta = \frac{\pi}{20}$.

Вычислим полусумму и полуразность углов:

$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{10} + \frac{\pi}{20}}{2} = \frac{\frac{2\pi + \pi}{20}}{2} = \frac{3\pi}{40}$.

$\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{10} - \frac{\pi}{20}}{2} = \frac{\frac{2\pi - \pi}{20}}{2} = \frac{\pi}{40}$.

Подставим найденные значения в формулу:

$cos\frac{\pi}{10} - cos\frac{\pi}{20} = -2 \sin\left(\frac{3\pi}{40}\right) \sin\left(\frac{\pi}{40}\right)$.

Ответ: $-2 \sin\left(\frac{3\pi}{40}\right) \sin\left(\frac{\pi}{40}\right)$.

б) Для преобразования суммы косинусов в произведение воспользуемся формулой: $cos \alpha + cos \beta = 2 \cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$.

В данном случае $\alpha = \frac{11\pi}{12}$ и $\beta = \frac{3\pi}{4}$.

Вычислим полусумму и полуразность углов:

$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{11\pi}{12} + \frac{3\pi}{4}}{2} = \frac{\frac{11\pi + 9\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{20\pi}{12}}{2} = \frac{20\pi}{24} = \frac{5\pi}{6}$.

$\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\frac{11\pi}{12} - \frac{3\pi}{4}}{2} = \frac{\frac{11\pi - 9\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{2\pi}{12}}{2} = \frac{2\pi}{24} = \frac{\pi}{12}$.

Подставим найденные значения в формулу:

$cos\frac{11\pi}{12} + cos\frac{3\pi}{4} = 2 \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) \cos\left(\frac{\pi}{12}\right)$.

Так как $cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, то можем упростить выражение:

$2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{12}\right) = -\sqrt{3} \cos\left(\frac{\pi}{12}\right)$.

Ответ: $-\sqrt{3} \cos\left(\frac{\pi}{12}\right)$.

в) Используем формулу разности косинусов: $cos \alpha - cos \beta = -2 \sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$.

Здесь $\alpha = \frac{\pi}{5}$ и $\beta = \frac{\pi}{11}$.

Найдем полусумму и полуразность углов:

$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{5} + \frac{\pi}{11}}{2} = \frac{\frac{11\pi + 5\pi}{55}}{2} = \frac{16\pi}{110} = \frac{8\pi}{55}$.

$\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{5} - \frac{\pi}{11}}{2} = \frac{\frac{11\pi - 5\pi}{55}}{2} = \frac{6\pi}{110} = \frac{3\pi}{55}$.

Подставляем в формулу:

$cos\frac{\pi}{5} - cos\frac{\pi}{11} = -2 \sin\left(\frac{8\pi}{55}\right) \sin\left(\frac{3\pi}{55}\right)$.

Ответ: $-2 \sin\left(\frac{8\pi}{55}\right) \sin\left(\frac{3\pi}{55}\right)$.

г) Для преобразования суммы косинусов используем формулу: $cos \alpha + cos \beta = 2 \cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$.

Заметим, что $cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) = cos\left(\frac{5\pi}{4} - 2\pi\right) = cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right)$. Поскольку косинус — четная функция, $cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right) = cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)$.

Таким образом, исходное выражение можно переписать как: $cos\frac{3\pi}{8} + cos\frac{3\pi}{4}$.

Теперь применим формулу суммы косинусов, где $\alpha = \frac{3\pi}{8}$ и $\beta = \frac{3\pi}{4}$.

Вычислим полусумму и полуразность углов:

$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{3\pi}{8} + \frac{3\pi}{4}}{2} = \frac{\frac{3\pi + 6\pi}{8}}{2} = \frac{9\pi}{16}$.

$\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\frac{3\pi}{8} - \frac{3\pi}{4}}{2} = \frac{\frac{3\pi - 6\pi}{8}}{2} = \frac{-3\pi}{16}$.

Подставляем в формулу:

$cos\frac{3\pi}{8} + cos\frac{5\pi}{4} = 2 \cos\left(\frac{9\pi}{16}\right) \cos\left(-\frac{3\pi}{16}\right)$.

Учитывая четность косинуса, $cos\left(-\frac{3\pi}{16}\right) = cos\left(\frac{3\pi}{16}\right)$, получаем:

$2 \cos\left(\frac{9\pi}{16}\right) \cos\left(\frac{3\pi}{16}\right)$.

Ответ: $2 \cos\left(\frac{9\pi}{16}\right) \cos\left(\frac{3\pi}{16}\right)$.