Страница 76, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

22.40 a) $2 \sin 17x + \sqrt{3} \cos 5x + \sin 5x = 0;$

б) $5 \sin x - 12 \cos x + 13 \sin 3x = 0.$

а) Решим уравнение $2 \sin 17x + \sqrt{3} \cos 5x + \sin 5x = 0$.

Сначала преобразуем сумму $\sqrt{3} \cos 5x + \sin 5x$ с помощью метода введения вспомогательного угла. Вынесем за скобки множитель $R = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$.

$\sqrt{3} \cos 5x + \sin 5x = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 5x + \frac{1}{2} \sin 5x \right)$.

Заметим, что $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$. Однако, для использования формулы синуса суммы, удобнее представить коэффициенты как $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

$2 \left( \sin(\frac{\pi}{3}) \cos 5x + \cos(\frac{\pi}{3}) \sin 5x \right) = 2 \sin(5x + \frac{\pi}{3})$.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$2 \sin 17x + 2 \sin(5x + \frac{\pi}{3}) = 0$.

Разделим обе части уравнения на 2:

$\sin 17x + \sin(5x + \frac{\pi}{3}) = 0$.

Перенесем одно из слагаемых в правую часть:

$\sin 17x = - \sin(5x + \frac{\pi}{3})$.

Используя свойство нечетности функции синус, $-\sin\alpha = \sin(-\alpha)$, получаем:

$\sin 17x = \sin(-5x - \frac{\pi}{3})$.

Равенство синусов $\sin A = \sin B$ выполняется в двух случаях:

1) $A = B + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$17x = -5x - \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

$22x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$

$x = -\frac{\pi}{66} + \frac{\pi k}{11}, \quad k \in \mathbb{Z}$.

2) $A = \pi - B + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

$17x = \pi - (-5x - \frac{\pi}{3}) + 2\pi m$

$17x = \pi + 5x + \frac{\pi}{3} + 2\pi m$

$12x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi m$

$x = \frac{4\pi}{3 \cdot 12} + \frac{2\pi m}{12}$

$x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi m}{6}, \quad m \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{66} + \frac{\pi k}{11}, \quad x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi m}{6}, \quad k, m \in \mathbb{Z}$.

б) Решим уравнение $5 \sin x - 12 \cos x + 13 \sin 3x = 0$.

Преобразуем выражение $5 \sin x - 12 \cos x$ методом введения вспомогательного угла. Вынесем за скобки множитель $R = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

$5 \sin x - 12 \cos x = 13 \left( \frac{5}{13} \sin x - \frac{12}{13} \cos x \right)$.

Введем вспомогательный угол $\alpha$ такой, что $\cos \alpha = \frac{5}{13}$ и $\sin \alpha = \frac{12}{13}$. Угол $\alpha$ можно выразить как $\alpha = \arccos(\frac{5}{13})$ или $\alpha = \arcsin(\frac{12}{13})$.

Тогда выражение в скобках принимает вид $\sin x \cos \alpha - \cos x \sin \alpha$, что является формулой синуса разности $\sin(x-\alpha)$.

$13 (\sin x \cos \alpha - \cos x \sin \alpha) = 13 \sin(x - \alpha)$.

Подставим это в исходное уравнение:

$13 \sin(x - \alpha) + 13 \sin 3x = 0$.

Разделим обе части на 13:

$\sin 3x + \sin(x - \alpha) = 0$.

$\sin 3x = - \sin(x - \alpha)$.

Используя свойство $\sin(-\beta) = -\sin\beta$, получаем:

$\sin 3x = \sin(-(x - \alpha)) = \sin(\alpha - x)$.

Равенство синусов $\sin A = \sin B$ выполняется в двух случаях:

1) $A = B + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$3x = \alpha - x + 2\pi k$

$4x = \alpha + 2\pi k$

$x = \frac{\alpha}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$.

2) $A = \pi - B + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

$3x = \pi - (\alpha - x) + 2\pi m$

$3x = \pi - \alpha + x + 2\pi m$

$2x = \pi - \alpha + 2\pi m$

$x = \frac{\pi - \alpha}{2} + \pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$.

Запишем ответ, используя $\alpha = \arccos(\frac{5}{13})$.

Ответ: $x = \frac{1}{4}\arccos(\frac{5}{13}) + \frac{\pi k}{2}, \quad x = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\arccos(\frac{5}{13}) + \pi m, \quad k, m \in \mathbb{Z}$.

22.41 a) $(\sin x + \sqrt{3} \cos x)^2 - 5 = \cos \left(\frac{\pi}{6} - x\right)$;

б) $(\sqrt{3} \sin x - \cos x)^2 + 1 = 4 \cos \left(x + \frac{\pi}{3}\right)$.

а) $(\sin x + \sqrt{3} \cos x)^2 - 5 = \cos(\frac{\pi}{6} - x)$

Для решения данного уравнения воспользуемся методом введения вспомогательного угла для выражения в скобках. Преобразуем сумму $\sin x + \sqrt{3} \cos x$.

Вынесем за скобки множитель $R = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$.

$\sin x + \sqrt{3} \cos x = 2(\frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x)$.

Так как $\frac{1}{2} = \sin(\frac{\pi}{6})$ и $\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos(\frac{\pi}{6})$, то выражение в скобках можно свернуть по формуле косинуса разности $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$.

$2(\sin(\frac{\pi}{6})\sin x + \cos(\frac{\pi}{6})\cos x) = 2\cos(x - \frac{\pi}{6})$.

Так как косинус — чётная функция, то $\cos(x - \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6} - x)$. Таким образом, $\sin x + \sqrt{3} \cos x = 2\cos(\frac{\pi}{6} - x)$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$(2\cos(\frac{\pi}{6} - x))^2 - 5 = \cos(\frac{\pi}{6} - x)$

$4\cos^2(\frac{\pi}{6} - x) - 5 = \cos(\frac{\pi}{6} - x)$

Перенесём все члены в одну сторону и сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos(\frac{\pi}{6} - x)$, при этом $|t| \le 1$.

$4t^2 - t - 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 1 + 80 = 81 = 9^2$

$t_1 = \frac{1 - 9}{2 \cdot 4} = \frac{-8}{8} = -1$

$t_2 = \frac{1 + 9}{2 \cdot 4} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$

Корень $t_2 = \frac{5}{4}$ не удовлетворяет условию $|t| \le 1$, поэтому он является посторонним.

Вернемся к замене с $t_1 = -1$:

$\cos(\frac{\pi}{6} - x) = -1$

Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Аргумент косинуса должен быть равен $\pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$\frac{\pi}{6} - x = \pi + 2\pi n$

$-x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi n$

$-x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$

$x = -\frac{5\pi}{6} - 2\pi n$

Поскольку $n$ может быть любым целым числом, можно заменить $-n$ на $k$, где $k \in \mathbb{Z}$, для более удобной записи.

$x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $(\sqrt{3} \sin x - \cos x)^2 + 1 = 4 \cos(x + \frac{\pi}{3})$

Аналогично предыдущему пункту, преобразуем выражение в скобках. Вынесем множитель $R = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$.

$\sqrt{3} \sin x - \cos x = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x)$.

Так как $\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin(\frac{\pi}{3})$ и $\frac{1}{2} = \cos(\frac{\pi}{3})$, то выражение можно преобразовать к виду:

$2(\sin(\frac{\pi}{3})\sin x - \cos(\frac{\pi}{3})\cos x) = -2(\cos(\frac{\pi}{3})\cos x - \sin(\frac{\pi}{3})\sin x)$.

Используя формулу косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$, получаем:

$\sqrt{3} \sin x - \cos x = -2\cos(x + \frac{\pi}{3})$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$(-2\cos(x + \frac{\pi}{3}))^2 + 1 = 4\cos(x + \frac{\pi}{3})$

$4\cos^2(x + \frac{\pi}{3}) + 1 = 4\cos(x + \frac{\pi}{3})$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos(x + \frac{\pi}{3})$, при этом $|t| \le 1$.

$4t^2 - 4t + 1 = 0$

Это уравнение является полным квадратом:

$(2t - 1)^2 = 0$

$2t - 1 = 0$

$t = \frac{1}{2}$

Корень $t = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию $|t| \le 1$. Вернемся к замене:

$\cos(x + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

Общее решение этого уравнения имеет вид:

$x + \frac{\pi}{3} = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x + \frac{\pi}{3} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

Рассмотрим два случая:

1) $x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

$x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $x + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$

$x = -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

$x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2\pi n$, $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Решите уравнение:

22.37 a) $\cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x = \sqrt{2}$;

б) $\sin 5x - \cos 5x = \frac{\sqrt{6}}{2}$;

В) $\cos \frac{x}{2} - \sqrt{3} \sin \frac{x}{2} + 1 = 0$;

Г) $\sin \frac{x}{3} + \cos \frac{x}{3} = 1$.

а) Исходное уравнение: $ \cos{2x} + \sqrt{3}\sin{2x} = \sqrt{2} $.
Это однородное тригонометрическое уравнение вида $ a\cos{t} + b\sin{t} = c $. Для его решения применим метод введения вспомогательного угла. Разделим обе части уравнения на коэффициент $ \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2 $.
$ \frac{1}{2}\cos{2x} + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin{2x} = \frac{\sqrt{2}}{2} $
Заметим, что $ \frac{1}{2} = \cos{\frac{\pi}{3}} $ и $ \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin{\frac{\pi}{3}} $. Подставим эти значения в уравнение:
$ \cos{\frac{\pi}{3}}\cos{2x} + \sin{\frac{\pi}{3}}\sin{2x} = \frac{\sqrt{2}}{2} $
Применим формулу косинуса разности $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta $:
$ \cos(2x - \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $
Теперь решим это простейшее тригонометрическое уравнение:
$ 2x - \frac{\pi}{3} = \pm\arccos{\frac{\sqrt{2}}{2}} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $
$ 2x - \frac{\pi}{3} = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n $
$ 2x = \frac{\pi}{3} \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n $
Получаем две серии решений:
1) $ 2x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{4\pi+3\pi}{12} + 2\pi n = \frac{7\pi}{12} + 2\pi n \implies x = \frac{7\pi}{24} + \pi n $
2) $ 2x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{4\pi-3\pi}{12} + 2\pi n = \frac{\pi}{12} + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{24} + \pi n $
Ответ: $ x = \frac{\pi}{24} + \pi n; \quad x = \frac{7\pi}{24} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

б) Исходное уравнение: $ \sin{5x} - \cos{5x} = \frac{\sqrt{6}}{2} $.
Разделим обе части уравнения на $ \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} $.
$ \frac{1}{\sqrt{2}}\sin{5x} - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos{5x} = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} $
$ \frac{\sqrt{2}}{2}\sin{5x} - \frac{\sqrt{2}}{2}\cos{5x} = \frac{\sqrt{3}}{2} $
Заменим $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ на $ \cos{\frac{\pi}{4}} $ и $ \sin{\frac{\pi}{4}} $ соответственно:
$ \sin{5x}\cos{\frac{\pi}{4}} - \cos{5x}\sin{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} $
Применим формулу синуса разности $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta $:
$ \sin(5x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $
Решаем уравнение:
$ 5x - \frac{\pi}{4} = (-1)^n \arcsin{\frac{\sqrt{3}}{2}} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $
$ 5x - \frac{\pi}{4} = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n $
$ 5x = \frac{\pi}{4} + (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n $
$ x = \frac{\pi}{20} + (-1)^n \frac{\pi}{15} + \frac{\pi n}{5} $
Ответ: $ x = \frac{\pi}{20} + (-1)^n \frac{\pi}{15} + \frac{\pi n}{5}, \quad n \in \mathbb{Z} $.

в) Исходное уравнение: $ \cos{\frac{x}{2}} - \sqrt{3}\sin{\frac{x}{2}} + 1 = 0 $.
Перенесем 1 в правую часть: $ \cos{\frac{x}{2}} - \sqrt{3}\sin{\frac{x}{2}} = -1 $.
Разделим обе части на $ \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2 $.
$ \frac{1}{2}\cos{\frac{x}{2}} - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin{\frac{x}{2}} = -\frac{1}{2} $
Заменим $ \frac{1}{2} = \cos{\frac{\pi}{3}} $ и $ \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin{\frac{\pi}{3}} $:
$ \cos{\frac{\pi}{3}}\cos{\frac{x}{2}} - \sin{\frac{\pi}{3}}\sin{\frac{x}{2}} = -\frac{1}{2} $
Применим формулу косинуса суммы $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $:
$ \cos(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2} $
Решаем уравнение:
$ \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} = \pm\arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $
$ \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n $
$ \frac{x}{2} = -\frac{\pi}{3} \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n $
Получаем две серии решений:
1) $ \frac{x}{2} = -\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} + 2\pi n = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \implies x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi n $
2) $ \frac{x}{2} = -\frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} + 2\pi n = -\pi + 2\pi n \implies x = -2\pi + 4\pi n $
Ответ: $ x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi n; \quad x = -2\pi + 4\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

г) Исходное уравнение: $ \sin{\frac{x}{3}} + \cos{\frac{x}{3}} = 1 $.
Разделим обе части уравнения на $ \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $.
$ \frac{1}{\sqrt{2}}\sin{\frac{x}{3}} + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos{\frac{x}{3}} = \frac{1}{\sqrt{2}} $
$ \frac{\sqrt{2}}{2}\sin{\frac{x}{3}} + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos{\frac{x}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $
Заменим $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ на $ \cos{\frac{\pi}{4}} $ и $ \sin{\frac{\pi}{4}} $ соответственно:
$ \sin{\frac{x}{3}}\cos{\frac{\pi}{4}} + \cos{\frac{x}{3}}\sin{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $
Применим формулу синуса суммы $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta $:
$ \sin(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $
Решаем уравнение:
$ \frac{x}{3} + \frac{\pi}{4} = (-1)^n \arcsin{\frac{\sqrt{2}}{2}} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $
$ \frac{x}{3} + \frac{\pi}{4} = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n $
$ \frac{x}{3} = -\frac{\pi}{4} + (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n $
Рассмотрим два случая в зависимости от четности $n$ (заменив $n$ на $k$):
1) Если $ n = 2k $ (четное), то $ (-1)^n = 1 $:
$ \frac{x}{3} = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k = 2\pi k \implies x = 6\pi k $
2) Если $ n = 2k+1 $ (нечетное), то $ (-1)^n = -1 $:
$ \frac{x}{3} = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + \pi(2k+1) = -\frac{\pi}{2} + \pi + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = \frac{3\pi}{2} + 6\pi k $
Ответ: $ x = 6\pi k; \quad x = \frac{3\pi}{2} + 6\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

22.42 a) $\sqrt{3} \sin x + \cos x + 2 = \frac{12}{\pi}x;$

б) $\sqrt{2}(\cos x - \sin x) = 2x - \frac{\pi}{2}.$

а)

Рассмотрим уравнение $\sqrt{3} \sin x + \cos x + 2 = \frac{12}{\pi}x$.

Это трансцендентное уравнение, которое удобно решать, анализируя его левую и правую части как отдельные функции.

Пусть $f(x) = \sqrt{3} \sin x + \cos x + 2$ и $g(x) = \frac{12}{\pi}x$.

Преобразуем левую часть, используя метод вспомогательного угла:

$\sqrt{3} \sin x + \cos x = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x)$

Так как $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, то выражение можно записать как:

$2(\sin x \cos \frac{\pi}{6} + \cos x \sin \frac{\pi}{6}) = 2 \sin(x + \frac{\pi}{6})$

Таким образом, функция $f(x)$ принимает вид:

$f(x) = 2 \sin(x + \frac{\pi}{6}) + 2$

Теперь оценим область значений функции $f(x)$. Поскольку $-1 \le \sin(x + \frac{\pi}{6}) \le 1$, то:

$-2 \le 2 \sin(x + \frac{\pi}{6}) \le 2$

$0 \le 2 \sin(x + \frac{\pi}{6}) + 2 \le 4$

Следовательно, область значений $f(x)$ есть отрезок $[0, 4]$.

Правая часть уравнения, $g(x) = \frac{12}{\pi}x$, является линейной функцией — прямой, проходящей через начало координат.

Решение уравнения существует, если $g(x)$ находится в пределах области значений $f(x)$, то есть $0 \le \frac{12}{\pi}x \le 4$.

Рассмотрим крайний случай. Функция $f(x)$ достигает своего максимального значения 4, когда $\sin(x + \frac{\pi}{6}) = 1$.

$x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Проверим, может ли правая часть быть равной 4 при одном из этих значений $x$. Возьмем $k=0$, тогда $x = \frac{\pi}{3}$.

Подставим $x = \frac{\pi}{3}$ в правую часть уравнения:

$g(\frac{\pi}{3}) = \frac{12}{\pi} \cdot \frac{\pi}{3} = 4$

Мы видим, что при $x = \frac{\pi}{3}$ левая часть уравнения достигает своего максимума, равного 4, и правая часть также равна 4. Следовательно, $x = \frac{\pi}{3}$ является решением уравнения.

Чтобы доказать, что это решение единственное, рассмотрим производные обеих функций. Пусть $h(x) = f(x) - g(x) = 2 \sin(x + \frac{\pi}{6}) + 2 - \frac{12}{\pi}x$. Нам нужно найти корни уравнения $h(x) = 0$.

Найдем производную $h'(x)$:

$h'(x) = 2 \cos(x + \frac{\pi}{6}) - \frac{12}{\pi}$

Поскольку $-1 \le \cos(x + \frac{\pi}{6}) \le 1$, то $-2 \le 2 \cos(x + \frac{\pi}{6}) \le 2$.

Значение $\frac{12}{\pi} \approx \frac{12}{3.14} > 3$.

Следовательно, $h'(x) = 2 \cos(x + \frac{\pi}{6}) - \frac{12}{\pi} \le 2 - \frac{12}{\pi} < 2 - 3 = -1$.

Так как $h'(x) < 0$ для любого $x$, функция $h(x)$ является строго убывающей на всей числовой прямой. Строго монотонная функция может пересекать ось абсцисс не более одного раза. Поскольку мы уже нашли один корень $x = \frac{\pi}{3}$, других решений у уравнения нет.

Ответ: $x = \frac{\pi}{3}$

б)

Рассмотрим уравнение $\sqrt{2}(\cos x - \sin x) = 2x - \frac{\pi}{2}$.

Преобразуем левую часть уравнения, используя метод вспомогательного угла:

$\sqrt{2}(\cos x - \sin x) = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} (\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x) = 2(\cos x \cos \frac{\pi}{4} - \sin x \sin \frac{\pi}{4}) = 2\cos(x + \frac{\pi}{4})$.

Однако удобнее использовать другую формулу:

$\sqrt{2}(\cos x - \sin x) = 2(\sin \frac{\pi}{4} \cos x - \cos \frac{\pi}{4} \sin x) = 2\sin(\frac{\pi}{4} - x) = -2\sin(x - \frac{\pi}{4})$.

Теперь уравнение принимает вид:

$-2\sin(x - \frac{\pi}{4}) = 2x - \frac{\pi}{2}$

Преобразуем правую часть:

$2x - \frac{\pi}{2} = 2(x - \frac{\pi}{4})$

Подставим это в уравнение:

$-2\sin(x - \frac{\pi}{4}) = 2(x - \frac{\pi}{4})$

Разделим обе части на -2:

$\sin(x - \frac{\pi}{4}) = -(x - \frac{\pi}{4})$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = x - \frac{\pi}{4}$. Тогда уравнение примет вид:

$\sin y = -y$, или $\sin y + y = 0$.

Рассмотрим функцию $h(y) = \sin y + y$.

Очевидно, что $y=0$ является решением этого уравнения, так как $\sin 0 + 0 = 0$.

Чтобы доказать, что это решение единственное, найдем производную функции $h(y)$:

$h'(y) = (\sin y + y)' = \cos y + 1$.

Поскольку $-1 \le \cos y \le 1$, то $0 \le \cos y + 1 \le 2$.

Производная $h'(y) \ge 0$ для всех $y$. Это означает, что функция $h(y)$ является неубывающей. Она строго возрастает везде, кроме точек, где $h'(y) = 0$. Равенство нулю достигается при $\cos y = -1$, то есть при $y = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Поскольку функция $h(y)$ является монотонно неубывающей и не является постоянной ни на каком интервале, она может иметь не более одного корня. Мы уже нашли корень $y=0$. Следовательно, это единственное решение.

Вернемся к исходной переменной:

$y = x - \frac{\pi}{4} = 0$

$x = \frac{\pi}{4}$

Проверим найденное решение, подставив его в исходное уравнение:

ЛЧ: $\sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} - \sin \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot 0 = 0$.

ПЧ: $2(\frac{\pi}{4}) - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = 0$.

ЛЧ = ПЧ, решение верное.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4}$

22.38 a) $4 \sin x - 3 \cos x = 5;$

Б) $3 \sin 2x + 4 \cos 2x = 2,5;$

В) $12 \sin x + 5 \cos x + 13 = 0;$

Г) $5 \cos \frac{x}{2} - 12 \sin \frac{x}{2} = 6,5.$

Все представленные уравнения имеют вид $a \sin(kx) + b \cos(kx) = c$. Для их решения используется метод введения вспомогательного угла, который позволяет преобразовать выражение $a \sin \alpha + b \cos \alpha$ к виду $R \sin(\alpha \pm \phi)$ или $R \cos(\alpha \pm \phi)$, где $R = \sqrt{a^2+b^2}$.

Дано уравнение $4 \sin x - 3 \cos x = 5$.

Здесь $a=4$, $b=-3$. Вычислим $R = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$.

Разделим обе части уравнения на $R=5$:

$\frac{4}{5} \sin x - \frac{3}{5} \cos x = 1$

Преобразуем левую часть к виду $R \cos(x-\phi)$. Общая формула: $a \sin x + b \cos x = R(\frac{a}{R}\sin x + \frac{b}{R}\cos x)$. Чтобы получить формулу косинуса разности $\cos(x-\phi) = \cos x \cos \phi + \sin x \sin \phi$, нам нужно положить $\sin \phi = \frac{a}{R}$ и $\cos \phi = \frac{b}{R}$.

В нашем случае $\sin \phi = \frac{4}{5}$ и $\cos \phi = -\frac{3}{5}$.

Тогда уравнение принимает вид:

$\sin \phi \sin x + \cos \phi \cos x = 1$

$\cos(x-\phi) = 1$

Решением этого уравнения является:

$x - \phi = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \phi + 2\pi n$.

Вспомогательный угол $\phi$ определяется условиями $\sin \phi = 4/5$ и $\cos \phi = -3/5$. Это означает, что угол $\phi$ находится во второй четверти. Его можно выразить через арккосинус: $\phi = \arccos(-\frac{3}{5})$.

Таким образом, окончательное решение:

$x = \arccos(-\frac{3}{5}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \arccos(-\frac{3}{5}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Дано уравнение $3 \sin 2x + 4 \cos 2x = 2,5$.

Здесь $a=3$, $b=4$. Вычислим $R = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.

Разделим обе части уравнения на $R=5$:

$\frac{3}{5} \sin 2x + \frac{4}{5} \cos 2x = \frac{2,5}{5}$

$\frac{3}{5} \sin 2x + \frac{4}{5} \cos 2x = 0,5$

Преобразуем левую часть к виду $R \sin(2x+\phi)$. Формула: $\sin(2x+\phi) = \sin 2x \cos \phi + \cos 2x \sin \phi$. Положим $\cos \phi = \frac{3}{5}$ и $\sin \phi = \frac{4}{5}$.

Уравнение принимает вид:

$\sin(2x + \phi) = 0,5$

Решением этого уравнения является:

$2x + \phi = (-1)^k \arcsin(0,5) + \pi k = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$2x = -\phi + (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$

$x = -\frac{\phi}{2} + (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$

Вспомогательный угол $\phi$ определяется условиями $\cos \phi = 3/5$ и $\sin \phi = 4/5$. Угол $\phi$ находится в первой четверти, и его можно выразить как $\phi = \arccos(\frac{3}{5})$.

Таким образом, окончательное решение:

$x = -\frac{1}{2}\arccos(\frac{3}{5}) + (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{1}{2}\arccos(\frac{3}{5}) + (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Дано уравнение $12 \sin x + 5 \cos x + 13 = 0$, что эквивалентно $12 \sin x + 5 \cos x = -13$.

Здесь $a=12$, $b=5$. Вычислим $R = \sqrt{12^2+5^2} = \sqrt{144+25} = \sqrt{169} = 13$.

Разделим обе части уравнения на $R=13$:

$\frac{12}{13} \sin x + \frac{5}{13} \cos x = -1$

Значение выражения $a \sin x + b \cos x$ лежит в диапазоне $[-R, R]$, то есть в данном случае $[-13, 13]$. Правая часть уравнения, $-13$, является минимально возможным значением. Это означает, что решение существует.

Преобразуем левую часть к виду $R \cos(x-\phi)$. Для этого положим $\cos \phi = \frac{5}{13}$ и $\sin \phi = \frac{12}{13}$.

Уравнение принимает вид:

$\sin \phi \sin x + \cos \phi \cos x = -1$

$\cos(x - \phi) = -1$

Решением этого уравнения является:

$x - \phi = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \phi + \pi + 2\pi n$.

Вспомогательный угол $\phi$ определяется условиями $\cos \phi = 5/13$ и $\sin \phi = 12/13$. Угол $\phi$ находится в первой четверти, и его можно выразить как $\phi = \arccos(\frac{5}{13})$.

Таким образом, окончательное решение:

$x = \pi + \arccos(\frac{5}{13}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi + \arccos(\frac{5}{13}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Дано уравнение $5 \cos \frac{x}{2} - 12 \sin \frac{x}{2} = 6,5$.

Перепишем его в стандартном виде: $-12 \sin \frac{x}{2} + 5 \cos \frac{x}{2} = 6,5$.

Здесь $a=-12$, $b=5$. Вычислим $R = \sqrt{(-12)^2+5^2} = \sqrt{144+25} = \sqrt{169} = 13$.

Разделим обе части уравнения на $R=13$:

$-\frac{12}{13} \sin \frac{x}{2} + \frac{5}{13} \cos \frac{x}{2} = \frac{6,5}{13}$

$-\frac{12}{13} \sin \frac{x}{2} + \frac{5}{13} \cos \frac{x}{2} = 0,5$

Преобразуем левую часть к виду $R \cos(\frac{x}{2}+\phi)$. Формула: $\cos(\frac{x}{2}+\phi) = \cos \frac{x}{2} \cos \phi - \sin \frac{x}{2} \sin \phi$. Положим $\cos \phi = \frac{5}{13}$ и $\sin \phi = \frac{12}{13}$.

Уравнение принимает вид:

$\cos \phi \cos \frac{x}{2} - \sin \phi \sin \frac{x}{2} = 0,5$

$\cos(\frac{x}{2} + \phi) = 0,5$

Решением этого уравнения является:

$\frac{x}{2} + \phi = \pm \arccos(0,5) + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$\frac{x}{2} = -\phi \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

$x = -2\phi \pm \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$.

Вспомогательный угол $\phi$ определяется условиями $\cos \phi = 5/13$ и $\sin \phi = 12/13$. Угол $\phi$ находится в первой четверти, и его можно выразить как $\phi = \arccos(\frac{5}{13})$.

Таким образом, окончательное решение:

$x = -2\arccos(\frac{5}{13}) \pm \frac{2\pi}{3} + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -2\arccos(\frac{5}{13}) \pm \frac{2\pi}{3} + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

22.39 Докажите тождество:

a) $\sin x + \cos x + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \cos^2 \left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8}\right);$

б) $\cos 2x - \sin 2x - \sqrt{2} = -2\sqrt{2} \sin^2 \left(x + \frac{\pi}{8}\right).$

Для доказательства тождеств преобразуем их правые части к левым, используя тригонометрические формулы.

а)

Докажем тождество: $ \sin x + \cos x + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \cos^2\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8}\right) $.

Преобразуем правую часть равенства. Для этого используем формулу понижения степени для косинуса: $ \cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2} $, или $ 2\cos^2\alpha = 1 + \cos(2\alpha) $.

$ 2\sqrt{2} \cos^2\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8}\right) = \sqrt{2} \cdot \left(2 \cos^2\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8}\right)\right) $

Применим формулу, где $ \alpha = \frac{x}{2} - \frac{\pi}{8} $. Тогда $ 2\alpha = 2\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8}\right) = x - \frac{\pi}{4} $.

$ \sqrt{2} \cdot \left(1 + \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right) = \sqrt{2} + \sqrt{2}\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) $

Теперь используем формулу косинуса разности: $ \cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b $.

$ \sqrt{2} + \sqrt{2}\left(\cos x \cos\frac{\pi}{4} + \sin x \sin\frac{\pi}{4}\right) $

Зная, что $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $, подставляем эти значения:

$ \sqrt{2} + \sqrt{2}\left(\cos x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x + \sin x) $

$ \sqrt{2} + \frac{2}{2}(\cos x + \sin x) = \sqrt{2} + \cos x + \sin x $

Полученное выражение равно левой части исходного тождества. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б)

Докажем тождество: $ \cos 2x - \sin 2x - \sqrt{2} = -2\sqrt{2} \sin^2\left(x + \frac{\pi}{8}\right) $.

Преобразуем правую часть равенства. Для этого используем формулу понижения степени для синуса: $ \sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2} $, или $ 2\sin^2\alpha = 1 - \cos(2\alpha) $.

$ -2\sqrt{2} \sin^2\left(x + \frac{\pi}{8}\right) = -\sqrt{2} \cdot \left(2 \sin^2\left(x + \frac{\pi}{8}\right)\right) $

Применим формулу, где $ \alpha = x + \frac{\pi}{8} $. Тогда $ 2\alpha = 2\left(x + \frac{\pi}{8}\right) = 2x + \frac{\pi}{4} $.

$ -\sqrt{2} \cdot \left(1 - \cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)\right) = -\sqrt{2} + \sqrt{2}\cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) $

Теперь используем формулу косинуса суммы: $ \cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b $.

$ -\sqrt{2} + \sqrt{2}\left(\cos 2x \cos\frac{\pi}{4} - \sin 2x \sin\frac{\pi}{4}\right) $

Подставляем значения $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $:

$ -\sqrt{2} + \sqrt{2}\left(\cos 2x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin 2x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos 2x - \sin 2x) $

$ -\sqrt{2} + \frac{2}{2}(\cos 2x - \sin 2x) = -\sqrt{2} + \cos 2x - \sin 2x $

Полученное выражение равно левой части исходного тождества. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Преобразуйте произведение в сумму:

23.1 а) $\sin 23^\circ \sin 32^\circ$;

б) $\cos \frac{\pi}{12} \cos \frac{\pi}{8}$;

в) $\sin 14^\circ \cos 16^\circ$;

г) $2 \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{5}$.

а) Для преобразования произведения синусов в сумму используется формула $\sin\alpha \sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))$.
В нашем случае $\alpha = 23^\circ$ и $\beta = 32^\circ$.
Подставим значения в формулу:
$\sin 23^\circ \sin 32^\circ = \frac{1}{2}(\cos(23^\circ - 32^\circ) - \cos(23^\circ + 32^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos(-9^\circ) - \cos(55^\circ))$.
Поскольку косинус является четной функцией ($\cos(-x) = \cos(x)$), получаем:
$\frac{1}{2}(\cos 9^\circ - \cos 55^\circ)$.

Ответ: $\frac{1}{2}(\cos 9^\circ - \cos 55^\circ)$.

б) Для преобразования произведения косинусов в сумму используется формула $\cos\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta))$.
Пусть $\alpha = \frac{\pi}{8}$ и $\beta = \frac{\pi}{12}$ (для удобства вычислений можно взять больший угол за $\alpha$).
Найдем разность и сумму углов:
$\alpha - \beta = \frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{12} = \frac{3\pi}{24} - \frac{2\pi}{24} = \frac{\pi}{24}$.
$\alpha + \beta = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{12} = \frac{3\pi}{24} + \frac{2\pi}{24} = \frac{5\pi}{24}$.
Подставим полученные значения в формулу:
$\cos \frac{\pi}{12} \cos \frac{\pi}{8} = \frac{1}{2}(\cos \frac{\pi}{24} + \cos \frac{5\pi}{24})$.

Ответ: $\frac{1}{2}(\cos \frac{\pi}{24} + \cos \frac{5\pi}{24})$.

в) Для преобразования произведения синуса на косинус в сумму используется формула $\sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta))$.
В данном случае $\alpha = 14^\circ$ и $\beta = 16^\circ$.
Подставим значения в формулу:
$\sin 14^\circ \cos 16^\circ = \frac{1}{2}(\sin(14^\circ + 16^\circ) + \sin(14^\circ - 16^\circ)) = \frac{1}{2}(\sin 30^\circ + \sin(-2^\circ))$.
Поскольку синус является нечетной функцией ($\sin(-x) = -\sin(x)$), получаем:
$\frac{1}{2}(\sin 30^\circ - \sin 2^\circ)$.

Ответ: $\frac{1}{2}(\sin 30^\circ - \sin 2^\circ)$.

г) Для преобразования данного произведения в сумму используется формула $2\sin\alpha \cos\beta = \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)$.
Здесь $\alpha = \frac{\pi}{8}$ и $\beta = \frac{\pi}{5}$.
Найдем сумму и разность углов:
$\alpha + \beta = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{5} = \frac{5\pi}{40} + \frac{8\pi}{40} = \frac{13\pi}{40}$.
$\alpha - \beta = \frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{5} = \frac{5\pi}{40} - \frac{8\pi}{40} = -\frac{3\pi}{40}$.
Подставим в формулу:
$2 \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{5} = \sin(\frac{13\pi}{40}) + \sin(-\frac{3\pi}{40})$.
Используя свойство нечетности синуса, получаем:
$\sin \frac{13\pi}{40} - \sin \frac{3\pi}{40}$.

Ответ: $\sin \frac{13\pi}{40} - \sin \frac{3\pi}{40}$.

4. Можно ли утверждать, что функция $y = \sin x$ ограничена снизу?

ограничена сверху?

Да, можно утверждать, что функция $y = \sin x$ ограничена и снизу, и сверху. Рассмотрим каждый случай подробно.

ограничена снизу?

Функция называется ограниченной снизу, если существует такое число $m$, что для любого значения $x$ из области определения функции выполняется неравенство $y(x) \ge m$.
Область значений тригонометрической функции синус — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого действительного числа $x$ значение $\sin x$ всегда находится в пределах от $-1$ до $1$ включительно.
Следовательно, для любого $x$ всегда выполняется неравенство:
$\sin x \ge -1$
Это означает, что существует число $m = -1$, которое является нижней границей для значений функции. Таким образом, функция $y = \sin x$ ограничена снизу.
Ответ: Да, функция $y = \sin x$ ограничена снизу, так как для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство $\sin x \ge -1$.

ограничена сверху?

Функция называется ограниченной сверху, если существует такое число $M$, что для любого значения $x$ из области определения функции выполняется неравенство $y(x) \le M$.
Исходя из той же области значений $[-1, 1]$ для функции $y = \sin x$, для любого действительного числа $x$ также всегда выполняется неравенство:
$\sin x \le 1$
Это означает, что существует число $M = 1$, которое является верхней границей для значений функции. Таким образом, функция $y = \sin x$ ограничена сверху.
Ответ: Да, функция $y = \sin x$ ограничена сверху, так как для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство $\sin x \le 1$.

5. Верно ли, что уравнение $sin x = 0$ имеет решения на любом числовом промежутке длиной 3? Если да, то объясните почему. Если нет, то приведите пример.

Нет, данное утверждение неверно. Уравнение $sin x = 0$ не всегда имеет решения на любом числовом промежутке длиной 3.

Для того чтобы доказать это, сначала найдем все решения уравнения $sin x = 0$. Решениями являются значения $x$, при которых функция синус обращается в ноль. Это происходит в точках $x = k\pi$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Таким образом, корни уравнения — это числа ..., $-2\pi$, $-\pi$, $0$, $\pi$, $2\pi$, ... Расстояние между любыми двумя соседними корнями является постоянной величиной и равно $(\text{k}+1)\pi - \text{k}\pi = \pi$.

Значение числа $\pi$ приблизительно равно $3.14159$. Следовательно, расстояние между соседними корнями больше, чем 3, то есть $\pi > 3$. Это означает, что можно выбрать такой числовой промежуток длиной 3, который целиком помещается между двумя соседними корнями и, следовательно, не содержит ни одного решения данного уравнения.

Пример:

Рассмотрим числовой промежуток $(0.1, 3.1)$. Его длина равна $3.1 - 0.1 = 3$. Проверим, есть ли на этом промежутке корни уравнения $sin x = 0$.

Корни уравнения имеют вид $k\pi$.

• При $k=0$, корень $x=0$. Это число не принадлежит промежутку $(0.1, 3.1)$.
• При $k=1$, корень $x=\pi \approx 3.14159$. Это число также не принадлежит промежутку $(0.1, 3.1)$.
• При $k \le -1$, корни будут отрицательными и не попадут в промежуток.
• При $k \ge 2$, корни будут больше, чем $2\pi \approx 6.28$, и также не попадут в промежуток.

Таким образом, на промежутке $(0.1, 3.1)$ длиной 3 нет ни одного решения уравнения $sin x = 0$.

Ответ: Нет, утверждение неверно. Например, на промежутке $(0.1, 3.1)$, длина которого равна 3, уравнение $sin x = 0$ не имеет решений.

6. Каков характер монотонности функции $y = \sin x$ на отрезке $[0; 1]$, $[2; 3]$, $[5; 6]$?

Чтобы определить характер монотонности функции $y = \sin x$, необходимо исследовать знак ее производной $y' = (\sin x)' = \cos x$ на заданных отрезках. Функция является монотонно возрастающей на промежутке, где ее производная положительна ($y' > 0$), и монотонно убывающей, где ее производная отрицательна ($y' < 0$).

Для анализа знака $\cos x$ будем использовать числовую окружность или график функции косинуса, помня, что аргумент $x$ задан в радианах. Используем приближенное значение $\pi \approx 3.14$.

• $\cos x > 0$ при $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• $\cos x < 0$ при $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ключевыми точками, где производная меняет знак, являются $x = \frac{\pi}{2} \approx 1.57$, $x = \frac{3\pi}{2} \approx 4.71$, $x = \frac{5\pi}{2} \approx 7.85$ и так далее.

[0; 1]

Рассмотрим отрезок $[0; 1]$. Так как $0 < 1 < \frac{\pi}{2} \approx 1.57$, весь этот отрезок попадает в промежуток, где $\cos x > 0$ (первая четверть). Следовательно, производная $y' = \cos x$ положительна на всем отрезке $[0; 1]$. Это означает, что функция $y = \sin x$ монотонно возрастает на данном отрезке.

Ответ: на отрезке $[0; 1]$ функция возрастает.

[2; 3]

Рассмотрим отрезок $[2; 3]$. Так как $\frac{\pi}{2} \approx 1.57 < 2 < 3 < \pi \approx 3.14$, весь этот отрезок попадает в промежуток $(\frac{\pi}{2}, \pi)$, где $\cos x < 0$ (вторая четверть). Следовательно, производная $y' = \cos x$ отрицательна на всем отрезке $[2; 3]$. Это означает, что функция $y = \sin x$ монотонно убывает на данном отрезке.

Ответ: на отрезке $[2; 3]$ функция убывает.

[5; 6]

Рассмотрим отрезок $[5; 6]$. Так как $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71 < 5 < 6 < 2\pi \approx 6.28$, весь этот отрезок попадает в промежуток $(\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$, где $\cos x > 0$ (четвертая четверть). Следовательно, производная $y' = \cos x$ положительна на всем отрезке $[5; 6]$. Это означает, что функция $y = \sin x$ монотонно возрастает на данном отрезке.

Ответ: на отрезке $[5; 6]$ функция возрастает.

7. Можно ли утверждать, что функция $y = \sin x$ монотонна на отрезке $[4; 5]$?

Для того чтобы определить, является ли функция монотонной на заданном отрезке, необходимо исследовать знак ее производной на этом отрезке. Функция является монотонной, если ее производная не меняет знак (то есть, является либо неотрицательной, либо неположительной) на всем протяжении отрезка.

Рассмотрим функцию $y = \sin x$. Ее производная: $y' = (\sin x)' = \cos x$. Нам необходимо исследовать знак производной на отрезке $[4; 5]$. Углы здесь заданы в радианах.

Проанализируем знак функции $y' = \cos x$ на интервале $x \in [4; 5]$. Известно, что $\cos x$ равен нулю в точках вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ – целое число. Найдем, попадают ли такие точки в наш отрезок.

Используем приближенное значение $\pi \approx 3.14159$.
При $k=0$, $x = \frac{\pi}{2} \approx 1.57$. Эта точка не входит в отрезок $[4; 5]$.
При $k=1$, $x = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2} \approx 1.57 + 3.14159 = 4.71238$. Эта точка входит в отрезок $[4; 5]$, так как $4 < 4.71238 < 5$.

Поскольку точка $x = \frac{3\pi}{2}$, в которой производная $y' = \cos x$ равна нулю, находится внутри отрезка $[4; 5]$, нам необходимо проверить знак производной слева и справа от этой точки.
Для $x \in [4, \frac{3\pi}{2})$ (это часть третьей координатной четверти) значение $\cos x$ отрицательно. Следовательно, на этом промежутке функция $y = \sin x$ убывает.
Для $x \in (\frac{3\pi}{2}, 5]$ (это часть четвертой координатной четверти) значение $\cos x$ положительно. Следовательно, на этом промежутке функция $y = \sin x$ возрастает.

Так как на отрезке $[4; 5]$ функция $y = \sin x$ сначала убывает (на $[4; \frac{3\pi}{2}]$), а затем возрастает (на $[\frac{3\pi}{2}; 5]$), она не является монотонной на всем отрезке.

Ответ: нет, утверждать, что функция $y = \sin x$ монотонна на отрезке $[4; 5]$, нельзя.