Номер 6, страница 76, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §10 - номер 6, страница 76.

Условие.

6. Каков характер монотонности функции $y = \sin x$ на отрезке $[0; 1]$, $[2; 3]$, $[5; 6]$?

Решение 6.

Чтобы определить характер монотонности функции $y = \sin x$, необходимо исследовать знак ее производной $y' = (\sin x)' = \cos x$ на заданных отрезках. Функция является монотонно возрастающей на промежутке, где ее производная положительна ($y' > 0$), и монотонно убывающей, где ее производная отрицательна ($y' < 0$).

Для анализа знака $\cos x$ будем использовать числовую окружность или график функции косинуса, помня, что аргумент $x$ задан в радианах. Используем приближенное значение $\pi \approx 3.14$.

• $\cos x > 0$ при $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• $\cos x < 0$ при $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ключевыми точками, где производная меняет знак, являются $x = \frac{\pi}{2} \approx 1.57$, $x = \frac{3\pi}{2} \approx 4.71$, $x = \frac{5\pi}{2} \approx 7.85$ и так далее.

[0; 1]

Рассмотрим отрезок $[0; 1]$. Так как $0 < 1 < \frac{\pi}{2} \approx 1.57$, весь этот отрезок попадает в промежуток, где $\cos x > 0$ (первая четверть). Следовательно, производная $y' = \cos x$ положительна на всем отрезке $[0; 1]$. Это означает, что функция $y = \sin x$ монотонно возрастает на данном отрезке.

Ответ: на отрезке $[0; 1]$ функция возрастает.

[2; 3]

Рассмотрим отрезок $[2; 3]$. Так как $\frac{\pi}{2} \approx 1.57 < 2 < 3 < \pi \approx 3.14$, весь этот отрезок попадает в промежуток $(\frac{\pi}{2}, \pi)$, где $\cos x < 0$ (вторая четверть). Следовательно, производная $y' = \cos x$ отрицательна на всем отрезке $[2; 3]$. Это означает, что функция $y = \sin x$ монотонно убывает на данном отрезке.

Ответ: на отрезке $[2; 3]$ функция убывает.

[5; 6]

Рассмотрим отрезок $[5; 6]$. Так как $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71 < 5 < 6 < 2\pi \approx 6.28$, весь этот отрезок попадает в промежуток $(\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$, где $\cos x > 0$ (четвертая четверть). Следовательно, производная $y' = \cos x$ положительна на всем отрезке $[5; 6]$. Это означает, что функция $y = \sin x$ монотонно возрастает на данном отрезке.

Ответ: на отрезке $[5; 6]$ функция возрастает.