Номер 2, страница 69, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §9 - номер 2, страница 69.

Условие.

2. Замените данное выражение выражением $T(t)$, где $T$ — обозначение соответствующей тригонометрической функции:

$\cos \left(\frac{\pi}{2}-t\right)$, $\sin (\pi-t)$, $\operatorname{ctg}\left(\frac{3 \pi}{2}-t\right)$, $\operatorname{tg}(2 \pi-t)$.

Решение 6.

Для упрощения данных тригонометрических выражений используются формулы приведения. Общий алгоритм их применения состоит из двух шагов:

1. Определение названия функции. Если в аргументе содержится $ \frac{\pi}{2} $ или $ \frac{3\pi}{2} $ (т.е. $ \frac{n\pi}{2} $, где $ n $ — нечетное), функция меняется на кофункцию ($ \sin \leftrightarrow \cos $, $ \text{tg} \leftrightarrow \text{ctg} $). Если в аргументе содержится $ \pi $ или $ 2\pi $ (т.е. $ \frac{n\pi}{2} $, где $ n $ — четное), название функции не меняется.
2. Определение знака. Знак итогового выражения совпадает со знаком исходной функции в той координатной четверти, где находится угол, если считать $ t $ малым положительным углом (углом из I четверти).

Применим этот алгоритм к каждому из выражений.

$ \cos(\frac{\pi}{2} - t) $
1. В аргументе присутствует $ \frac{\pi}{2} $, поэтому функция $ \cos $ меняется на кофункцию $ \sin $.
2. Угол $ \frac{\pi}{2} - t $ находится в I четверти. Исходная функция $ \cos $ в I четверти имеет знак «+».
Следовательно, $ \cos(\frac{\pi}{2} - t) = \sin(t) $.
Ответ: $ \sin(t) $.

$ \sin(\pi - t) $
1. В аргументе присутствует $ \pi $, поэтому название функции $ \sin $ сохраняется.
2. Угол $ \pi - t $ находится во II четверти. Исходная функция $ \sin $ во II четверти имеет знак «+».
Следовательно, $ \sin(\pi - t) = \sin(t) $.
Ответ: $ \sin(t) $.

$ \text{ctg}(\frac{3\pi}{2} - t) $
1. В аргументе присутствует $ \frac{3\pi}{2} $, поэтому функция $ \text{ctg} $ меняется на кофункцию $ \text{tg} $.
2. Угол $ \frac{3\pi}{2} - t $ находится в III четверти. Исходная функция $ \text{ctg} $ в III четверти имеет знак «+».
Следовательно, $ \text{ctg}(\frac{3\pi}{2} - t) = \text{tg}(t) $.
Ответ: $ \text{tg}(t) $.

$ \text{tg}(2\pi - t) $
1. В аргументе присутствует $ 2\pi $, поэтому название функции $ \text{tg} $ сохраняется.
2. Угол $ 2\pi - t $ находится в IV четверти. Исходная функция $ \text{tg} $ в IV четверти имеет знак «-».
Следовательно, $ \text{tg}(2\pi - t) = -\text{tg}(t) $.
Ответ: $ -\text{tg}(t) $.