Номер 2, страница 67, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §8 - номер 2, страница 67.

Условие.

2. Объясните, почему $ \sin 390^{\circ} = \frac{1}{2} $, а $ \cos 540^{\circ} = -1 $.

Решение 6.

sin 390° = 1/2

Тригонометрическая функция синус является периодической с периодом $360^\circ$. Это означает, что значения функции повторяются через каждый полный оборот. Свойство периодичности можно записать в виде формулы: $\sin(\alpha + 360^\circ \cdot k) = \sin(\alpha)$, где $k$ — любое целое число.

Чтобы найти значение $\sin(390^\circ)$, представим угол $390^\circ$ как сумму одного полного оборота ($360^\circ$) и некоторого остаточного угла:

$390^\circ = 360^\circ + 30^\circ$

Применяя свойство периодичности, мы можем отбросить полный оборот ($360^\circ$):

$\sin(390^\circ) = \sin(360^\circ + 30^\circ) = \sin(30^\circ)$

Значение синуса для угла $30^\circ$ является табличным и хорошо известным:

$\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$

Таким образом, мы показали, что $\sin(390^\circ) = \frac{1}{2}$.

Ответ: Равенство верно, так как функция синус имеет период $360^\circ$, поэтому $\sin(390^\circ) = \sin(360^\circ + 30^\circ) = \sin(30^\circ)$, а значение $\sin(30^\circ)$ равно $\frac{1}{2}$.

cos 540° = -1

Аналогично синусу, функция косинус также является периодической с периодом $360^\circ$. Ее свойство периодичности выражается формулой: $\cos(\alpha + 360^\circ \cdot k) = \cos(\alpha)$, где $k$ — любое целое число.

Представим угол $540^\circ$ в виде суммы полного оборота и остаточного угла:

$540^\circ = 360^\circ + 180^\circ$

Используя свойство периодичности функции косинус, отбрасываем полный оборот:

$\cos(540^\circ) = \cos(360^\circ + 180^\circ) = \cos(180^\circ)$

Значение косинуса для угла $180^\circ$ также является табличным. На единичной окружности угол в $180^\circ$ соответствует точке с координатами $(-1, 0)$. Косинус угла по определению равен абсциссе (координате x) этой точки.

$\cos(180^\circ) = -1$

Следовательно, мы доказали, что $\cos(540^\circ) = -1$.

Ответ: Равенство верно, так как функция косинус имеет период $360^\circ$, поэтому $\cos(540^\circ) = \cos(360^\circ + 180^\circ) = \cos(180^\circ)$, а значение $\cos(180^\circ)$ равно $-1$.