Номер 2, страница 63, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 1
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Вопросы к §7. ч. 1 - номер 2, страница 63.
№2 (с. 63)
Условие. №2 (с. 63)
скриншот условия

2. Как, зная значение $ \cos t $, найти значение $ \operatorname{tg} t $?
Решение 6. №2 (с. 63)
Чтобы найти значение $\tg t$, зная значение $\cos t$, необходимо использовать основные тригонометрические тождества. Существует два основных подхода к решению этой задачи.
Способ 1: Через нахождение синуса
Этот способ основан на определении тангенса и основном тригонометрическом тождестве.
1. Определение тангенса. Тангенс угла определяется как отношение синуса этого угла к его косинусу:
$\tg t = \frac{\sin t}{\cos t}$
Поскольку значение $\cos t$ нам известно, задача сводится к нахождению значения $\sin t$.
2. Основное тригонометрическое тождество. Оно связывает синус и косинус одного и того же угла:
$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$
3. Нахождение $\sin t$. Выразим из тождества $\sin^2 t$:
$\sin^2 t = 1 - \cos^2 t$
Тогда сам синус равен:
$\sin t = \pm\sqrt{1 - \cos^2 t}$
4. Определение знака $\sin t$. Знак перед корнем («+» или «−») зависит от того, в какой четверти тригонометрической окружности находится угол t. Если в условии задачи не указана четверть или знак синуса, то однозначно определить значение $\sin t$ (и, как следствие, $\tg t$) невозможно.
- Если t находится в I или II четверти ($0 < t < \pi$), то $\sin t > 0$.
- Если t находится в III или IV четверти ($\pi < t < 2\pi$), то $\sin t < 0$.
5. Вычисление $\tg t$. Подставив найденное значение $\sin t$ в формулу для тангенса, получаем:
$\tg t = \frac{\pm\sqrt{1 - \cos^2 t}}{\cos t}$
Способ 2: Через тождество, связывающее тангенс и косинус
Этот способ позволяет найти квадрат тангенса напрямую, минуя явное вычисление синуса.
1. Использование тождества. Существует тождество, которое напрямую связывает тангенс и косинус (оно является следствием основного тригонометрического тождества, разделенного на $\cos^2 t$):
$1 + \tg^2 t = \frac{1}{\cos^2 t}$
2. Нахождение $\tg^2 t$. Выразим из этого тождества $\tg^2 t$:
$\tg^2 t = \frac{1}{\cos^2 t} - 1$
Приведя к общему знаменателю, получаем:
$\tg^2 t = \frac{1 - \cos^2 t}{\cos^2 t}$
3. Нахождение $\tg t$. Извлекая квадратный корень, находим тангенс:
$\tg t = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos^2 t}{\cos^2 t}} = \pm\frac{\sqrt{1 - \cos^2 t}}{|\cos t|}$
4. Определение знака $\tg t$. Как и в первом способе, возникает неопределенность со знаком. Знак тангенса зависит от четверти, в которой находится угол t.
- Если t находится в I или III четверти, то $\tg t > 0$.
- Если t находится во II или IV четверти, то $\tg t < 0$.
Информация о четверти или о знаке другой тригонометрической функции (например, синуса) необходима для однозначного ответа.
Пример. Найти $\tg t$, если $\cos t = -\frac{4}{5}$ и известно, что $\frac{\pi}{2} < t < \pi$ (II четверть).
Воспользуемся второй формулой:
$\tg^2 t = \frac{1 - \cos^2 t}{\cos^2 t} = \frac{1 - (-\frac{4}{5})^2}{(-\frac{4}{5})^2} = \frac{1 - \frac{16}{25}}{\frac{16}{25}} = \frac{\frac{9}{25}}{\frac{16}{25}} = \frac{9}{16}$
Теперь найдем $|\tg t|$:
$|\tg t| = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$
Поскольку угол $t$ находится во II четверти, его тангенс отрицателен.
Следовательно, $\tg t = -\frac{3}{4}$.
Ответ: Для нахождения значения $\tg t$ по известному значению $\cos t$ следует использовать одну из формул, выведенных из основных тригонометрических тождеств, например: $\tg^2 t = \frac{1}{\cos^2 t} - 1$. После вычисления $\tg^2 t$ нужно извлечь квадратный корень и определить знак результата. Знак тангенса («+» или «−») зависит от четверти, в которой находится угол $t$. Если четверть не задана, то задача имеет два возможных решения, отличающихся знаком.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 2 расположенного на странице 63 для 1-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №2 (с. 63), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 1-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.