Номер 2, страница 63, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §7 - номер 2, страница 63.

Условие.

2. Как, зная значение $ \cos t $, найти значение $ \operatorname{tg} t $?

Решение 6.

Чтобы найти значение $\tg t$, зная значение $\cos t$, необходимо использовать основные тригонометрические тождества. Существует два основных подхода к решению этой задачи.

Способ 1: Через нахождение синуса

Этот способ основан на определении тангенса и основном тригонометрическом тождестве.

1. Определение тангенса. Тангенс угла определяется как отношение синуса этого угла к его косинусу:
$\tg t = \frac{\sin t}{\cos t}$
Поскольку значение $\cos t$ нам известно, задача сводится к нахождению значения $\sin t$.

2. Основное тригонометрическое тождество. Оно связывает синус и косинус одного и того же угла:
$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$

3. Нахождение $\sin t$. Выразим из тождества $\sin^2 t$:
$\sin^2 t = 1 - \cos^2 t$
Тогда сам синус равен:
$\sin t = \pm\sqrt{1 - \cos^2 t}$

4. Определение знака $\sin t$. Знак перед корнем («+» или «−») зависит от того, в какой четверти тригонометрической окружности находится угол t. Если в условии задачи не указана четверть или знак синуса, то однозначно определить значение $\sin t$ (и, как следствие, $\tg t$) невозможно.
- Если t находится в I или II четверти ($0 < t < \pi$), то $\sin t > 0$.
- Если t находится в III или IV четверти ($\pi < t < 2\pi$), то $\sin t < 0$.

5. Вычисление $\tg t$. Подставив найденное значение $\sin t$ в формулу для тангенса, получаем:
$\tg t = \frac{\pm\sqrt{1 - \cos^2 t}}{\cos t}$

Способ 2: Через тождество, связывающее тангенс и косинус

Этот способ позволяет найти квадрат тангенса напрямую, минуя явное вычисление синуса.

1. Использование тождества. Существует тождество, которое напрямую связывает тангенс и косинус (оно является следствием основного тригонометрического тождества, разделенного на $\cos^2 t$):
$1 + \tg^2 t = \frac{1}{\cos^2 t}$

2. Нахождение $\tg^2 t$. Выразим из этого тождества $\tg^2 t$:
$\tg^2 t = \frac{1}{\cos^2 t} - 1$
Приведя к общему знаменателю, получаем:
$\tg^2 t = \frac{1 - \cos^2 t}{\cos^2 t}$

3. Нахождение $\tg t$. Извлекая квадратный корень, находим тангенс:
$\tg t = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos^2 t}{\cos^2 t}} = \pm\frac{\sqrt{1 - \cos^2 t}}{|\cos t|}$

4. Определение знака $\tg t$. Как и в первом способе, возникает неопределенность со знаком. Знак тангенса зависит от четверти, в которой находится угол t.
- Если t находится в I или III четверти, то $\tg t > 0$.
- Если t находится во II или IV четверти, то $\tg t < 0$.
Информация о четверти или о знаке другой тригонометрической функции (например, синуса) необходима для однозначного ответа.

Пример. Найти $\tg t$, если $\cos t = -\frac{4}{5}$ и известно, что $\frac{\pi}{2} < t < \pi$ (II четверть).
Воспользуемся второй формулой:
$\tg^2 t = \frac{1 - \cos^2 t}{\cos^2 t} = \frac{1 - (-\frac{4}{5})^2}{(-\frac{4}{5})^2} = \frac{1 - \frac{16}{25}}{\frac{16}{25}} = \frac{\frac{9}{25}}{\frac{16}{25}} = \frac{9}{16}$
Теперь найдем $|\tg t|$:
$|\tg t| = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$
Поскольку угол $t$ находится во II четверти, его тангенс отрицателен.
Следовательно, $\tg t = -\frac{3}{4}$.

Ответ: Для нахождения значения $\tg t$ по известному значению $\cos t$ следует использовать одну из формул, выведенных из основных тригонометрических тождеств, например: $\tg^2 t = \frac{1}{\cos^2 t} - 1$. После вычисления $\tg^2 t$ нужно извлечь квадратный корень и определить знак результата. Знак тангенса («+» или «−») зависит от четверти, в которой находится угол $t$. Если четверть не задана, то задача имеет два возможных решения, отличающихся знаком.