Номер 5, страница 60, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §6 - номер 5, страница 60.

Условие.

5. Объясните, почему в четвёртой четверти числовой окружности синус отрицателен, а косинус положителен.

Решение 6.

Для объяснения знаков синуса и косинуса в различных четвертях используется определение этих тригонометрических функций через числовую (или единичную) окружность.

Числовая окружность — это окружность с центром в начале декартовой системы координат, точке $O(0; 0)$, и радиусом, равным 1. Каждой точке $P$ на этой окружности соответствует определённый угол $\alpha$, образованный радиус-вектором $OP$ и положительным направлением оси абсцисс (оси $Ox$).

По определению, координаты $(x; y)$ точки $P$ на единичной окружности равны косинусу и синусу угла $\alpha$ соответственно:

• Косинус угла $\alpha$ — это абсцисса точки $P$, то есть $x = \cos(\alpha)$.
• Синус угла $\alpha$ — это ордината точки $P$, то есть $y = \sin(\alpha)$.

Координатные оси делят плоскость на четыре четверти. Четвёртая четверть — это область, в которой находятся все точки с положительной абсциссой ($x > 0$) и отрицательной ординатой ($y < 0$). На числовой окружности эта четверть соответствует углам от $270^\circ$ до $360^\circ$ (или в радианах от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$).

Почему синус отрицателен в четвёртой четверти

Синус угла $\alpha$ равен ординате ($y$) точки на числовой окружности. Для любой точки, находящейся в четвёртой четверти, её ордината $y$ отрицательна ($y < 0$). Следовательно, $\sin(\alpha) < 0$ для любого угла $\alpha$ из четвёртой четверти.

Почему косинус положителен в четвёртой четверти

Косинус угла $\alpha$ равен абсциссе ($x$) точки на числовой окружности. Для любой точки, находящейся в четвёртой четверти, её абсцисса $x$ положительна ($x > 0$). Следовательно, $\cos(\alpha) > 0$ для любого угла $\alpha$ из четвёртой четверти.

Ответ: В четвёртой четверти числовой окружности все точки имеют положительные абсциссы ($x>0$) и отрицательные ординаты ($y<0$). Поскольку по определению косинус угла равен абсциссе соответствующей точки на окружности ($\cos(\alpha) = x$), его значение в этой четверти положительно. А синус угла, равный ординате этой точки ($\sin(\alpha) = y$), соответственно, отрицателен.