Номер 3, страница 47, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §5 - номер 3, страница 47.

Условие.

3. Составьте общую формулу для всех чисел, которым на числовой окружности соответствуют точки с абсциссой:

а) $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

б) $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

в) $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Решение 6.

На числовой окружности абсцисса (координата $x$) точки равна косинусу числа $t$, соответствующего этой точке. Таким образом, задача сводится к решению простейших тригонометрических уравнений $\cos(t) = a$ для заданных значений $a$.

а) Нам нужно найти все числа $t$, которым на числовой окружности соответствуют точки с абсциссой 0. Это эквивалентно решению уравнения: $ \cos(t) = 0 $ На единичной окружности абсцисса равна нулю у точек, лежащих на оси ординат (оси OY). Это верхняя точка окружности, соответствующая углу $\frac{\pi}{2}$, и нижняя точка, соответствующая углу $-\frac{\pi}{2}$ (или $\frac{3\pi}{2}$). Поскольку функция косинуса периодична с периодом $2\pi$, все решения можно записать в виде двух серий: $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ $t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ Эти две серии можно объединить в одну, так как точки диаметрально противоположны, и углы, им соответствующие, повторяются через каждый полуоборот ($\pi$ радиан). Общая формула имеет вид: $t = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $t = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

б) Нам нужно найти все числа $t$, которым на числовой окружности соответствуют точки с абсциссой 1. Это эквивалентно решению уравнения: $ \cos(t) = 1 $ На единичной окружности этому условию удовлетворяет только одна точка — самая правая, с координатами (1, 0). Эта точка соответствует начальному углу, равному 0. Учитывая периодичность функции косинуса, все числа, соответствующие этой точке, можно найти, прибавляя к 0 целое число полных оборотов ($2\pi$). Общая формула имеет вид: $t = 0 + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $t = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

в) Нам нужно найти все числа $t$, которым на числовой окружности соответствуют точки с абсциссой -1. Это эквивалентно решению уравнения: $ \cos(t) = -1 $ На единичной окружности этому условию удовлетворяет только одна точка — самая левая, с координатами (-1, 0). Эта точка соответствует углу, равному $\pi$. Учитывая периодичность функции косинуса, все числа, соответствующие этой точке, можно найти, прибавляя к $\pi$ целое число полных оборотов ($2\pi$). Общая формула имеет вид: $t = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $t = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$