Номер 3, страница 60, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §6. ч. 1 - номер 3, страница 60.

3. Опишите область допустимых значений переменной для выражения $tgt$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для выражения $\tan(t)$ — это множество всех значений переменной $t$, при которых это выражение имеет смысл.

Тригонометрическая функция тангенс определяется как отношение синуса к косинусу:

$\tan(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)}$

Дробное выражение имеет смысл только тогда, когда его знаменатель не равен нулю. Следовательно, для выражения $\tan(t)$ должно выполняться условие:

$\cos(t) \neq 0$

Найдем значения $t$, при которых косинус равен нулю. На единичной окружности это точки, соответствующие ординатам $y=0$ на оси тангенсов, что происходит при углах, равных $\frac{\pi}{2}$ и $-\frac{\pi}{2}$, а также всех углах, получаемых из них добавлением целого числа полуоборотов ($\pi$).

Таким образом, $\cos(t) = 0$ при:

$t = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Следовательно, область допустимых значений для выражения $\tan(t)$ состоит из всех действительных чисел, кроме тех, для которых $\cos(t) = 0$.

Ответ: $t$ — любое действительное число, кроме $t = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.