Номер 8, страница 60, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §6. ч. 1 - номер 8, страница 60.

8. Объясните, почему $sin(-t) = -sin t$, а $cos(-t) = cos t$.

Для объяснения этих свойств удобнее всего использовать тригонометрическую (единичную) окружность. Это окружность с радиусом $1$, центр которой находится в начале координат $(0, 0)$. Любая точка $P$ на этой окружности, соответствующая углу $t$ (отсчитанному от положительного направления оси Ox против часовой стрелки), имеет координаты $(\cos t, \sin t)$.

Почему $\sin(-t) = -\sin t$

По определению, синус угла — это ордината (координата $y$) точки на единичной окружности.

1. Возьмем на окружности точку $P(x, y)$, соответствующую углу $t$. Ее координаты равны $P(\cos t, \sin t)$. Таким образом, $y = \sin t$.

2. Теперь рассмотрим угол $-t$. Этот угол имеет ту же величину, что и угол $t$, но откладывается в противоположном направлении (по часовой стрелке). Точка $P'$, соответствующая углу $-t$, будет симметрична точке $P$ относительно оси абсцисс (оси Ox).

3. Если точка $P$ имеет координаты $(x, y)$, то симметричная ей относительно оси Ox точка $P'$ будет иметь координаты $(x, -y)$.

4. С другой стороны, по определению, координаты точки $P'$ равны $(\cos(-t), \sin(-t))$.

5. Сравнивая две записи для координат точки $P'$, мы можем приравнять их ординаты (координаты $y$): $\sin(-t) = -y$.

6. Так как из пункта 1 мы знаем, что $y = \sin t$, то, подставив это значение, получаем: $\sin(-t) = -\sin t$.

Это свойство означает, что синус является нечетной функцией.

Ответ: Точки на единичной окружности, соответствующие углам $t$ и $-t$, симметричны относительно оси Ox. Поэтому их ординаты (синусы) противоположны по знаку, то есть $\sin(-t) = -\sin t$.

Почему $\cos(-t) = \cos t$

По определению, косинус угла — это абсцисса (координата $x$) точки на единичной окружности.

1. Возьмем ту же точку $P(x, y)$, соответствующую углу $t$, с координатами $P(\cos t, \sin t)$. Таким образом, $x = \cos t$.

2. Точка $P'$, соответствующая углу $-t$, как мы уже установили, симметрична точке $P$ относительно оси Ox и имеет координаты $(x, -y)$.

3. По определению, координаты точки $P'$ также равны $(\cos(-t), \sin(-t))$.

4. Теперь сравним абсциссы (координаты $x$) для точки $P'$: $\cos(-t) = x$.

5. Так как из пункта 1 мы знаем, что $x = \cos t$, то, подставив это значение, получаем: $\cos(-t) = \cos t$.

Это свойство означает, что косинус является четной функцией.

Ответ: Точки на единичной окружности, соответствующие углам $t$ и $-t$, симметричны относительно оси Ox. Поэтому их абсциссы (косинусы) равны, то есть $\cos(-t) = \cos t$.