Номер 1, страница 63, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §7 - номер 1, страница 63.

Условие.

1. Как, зная значение $ \text{tg } t $, найти значение $ \text{ctg } t $?

Решение 6.

1. Чтобы найти значение котангенса угла $t$, зная значение тангенса того же угла, необходимо воспользоваться основным тригонометрическим тождеством, связывающим эти две функции.

По определению, тангенс и котангенс выражаются через синус и косинус следующим образом:

$\tg t = \frac{\sin t}{\cos t}$

$\ctg t = \frac{\cos t}{\sin t}$

Если перемножить эти два выражения, то получится:

$\tg t \cdot \ctg t = \frac{\sin t}{\cos t} \cdot \frac{\cos t}{\sin t} = 1$

Это тождество $\tg t \cdot \ctg t = 1$ справедливо для всех значений $t$, при которых и тангенс, и котангенс существуют (то есть $\sin t \neq 0$ и $\cos t \neq 0$).

Из этого тождества можно выразить котангенс через тангенс. Для этого необходимо разделить обе части равенства на $\tg t$ (при условии, что $\tg t \neq 0$):

$\ctg t = \frac{1}{\tg t}$

Таким образом, зная значение тангенса угла, для нахождения значения котангенса этого же угла нужно просто разделить единицу на известное значение тангенса. То есть, котангенс является величиной, обратной тангенсу.

Например, если $\tg t = 5$, то $\ctg t = \frac{1}{5}$.

Ответ: Чтобы найти значение $\ctg t$, зная значение $\tg t$, необходимо воспользоваться формулой: $\ctg t = \frac{1}{\tg t}$.