Номер 4, страница 60, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §6 - номер 4, страница 60.

Условие.

4. Опишите область допустимых значений переменной для выражения $ctg t$.

Решение 6.

Область допустимых значений (ОДЗ) переменной для выражения $ctg(t)$ — это множество всех значений аргумента $t$, при которых данное выражение определено (имеет смысл).

Функция котангенса определяется через отношение синуса и косинуса:

$ctg(t) = \frac{cos(t)}{sin(t)}$

Дробное выражение определено только в том случае, если его знаменатель не равен нулю. Поэтому для функции $ctg(t)$ должно выполняться условие:

$sin(t) \neq 0$

Решим уравнение $sin(t) = 0$. Это простейшее тригонометрическое уравнение, решениями которого являются значения $t$, соответствующие точкам на единичной окружности с ординатой, равной нулю. Такими точками являются $(1, 0)$ и $(-1, 0)$, что соответствует углам $0, \pi, 2\pi, -\pi, -2\pi$ и так далее.

Общая формула для всех корней уравнения $sin(t) = 0$ имеет вид:

$t = \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Следовательно, эти значения $t$ должны быть исключены из области допустимых значений. Таким образом, ОДЗ для выражения $ctg(t)$ — это все действительные числа, кроме чисел вида $\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.